Racines de l'unité

Définition Soit un groupe et un entier . Nous appellerons racine -ièmes de l'unité dans les solutions de l'équation .

Remarque 50   Les racines -ièmes de l'unité sont exactement les éléments de dont l'ordre est un diviseur de .

Lemme Soit un groupe cyclique d'ordre fini et un générateur de . Soit un entier et l'ensemble des solutions de l'équation

a)

Si divise , on a

b)

Si est premier avec , on a

c)

Dans le cas général, posons PGCD . Alors

Exemple 51   On cherche les solutions de l'équation dans . Si est solution de cette équation, alors et donc est inversible (d'inverse ). Ainsi, il revient au même de chercher les solutions de cette équation dans . Or le nombre est premier et le groupe est donc cyclique (). En outre divise l'ordre de qui est 2010. L'équation admet donc exactement solutions et ces solutions sont de la forme

où est un générateur de . Il reste à trouver un générateur et à calculer ces puissances. Si on calcule les puissances maximales de , on trouve que . Donc n'est pas un générateur. Par contre, les puissances maximales de sont toutes différentes de et engendre donc . Si on calcule , on trouve . L'ensemble des solutions de l'équation est donc formé de

Démonstration. Comme est cyclique, toute solution de est de la forme pour un . Dans le cas de a), on a donc d'après le lemme (). Cela signifie que est multiple de .

Dans le cas de b), la congruence implique car est inversible modulo .

Finalement, dans le cas de c), écrivons où et sont premiers entre eux. Alors la congruence est équivalente à qui, elle, exprime que est multiple de .

Lemme Soit un groupe cyclique d'ordre et un générateur de . Soit un diviseur de . Alors l'ensemble des éléments d'ordre de est formé des puissances

Exemple 52   Le nombre est premier et le groupe est donc cyclique (théorème ) d'ordre . Ce groupe contient donc générateurs.

Démonstration. Soit un élément d'ordre de . Alors d'après le théorème , nous avons pour un . Si est un facteur commun à et , alors on a . Puisque est d'ordre , il s'ensuit . Les éléments de l'affirmation sont deux à deux distincts d'après le lemme (). La dernière affirmation s'ensuit parce que est la réunion disjointe de ses parties formées des éléments d'ordre , où parcourt les diviseurs de , d'après le théorème de Lagrange ().