Nous démontrerons dans cette section le théorème ()
qui affirme que le groupe
est cyclique lorsque
est premier. Nous aurons besoin du
Lemme
Soit un nombre premier. Si
est un polynôme de degré à coefficients dans
,
alors l'équation admet au plus solutions dans
.
Remarque 53
On appelle racines de les solutions de .
Démonstration. Nous procédons par récurrence sur . Si , l'équation
devient
. Elle admet
pour
unique solution (le coefficient est non nul car est de degré ).
Supposons l'affirmation démontrée pour des polynômes de degré
et soit de degré . Supposons que .
Comme pour des polynômes à coefficients réels (ou à coefficients
dans tout autre corps) nous pouvons écrire
la division euclidienne du polynôme par le polynôme
où est un polynôme de degré (le quotient) et
un polynôme de degré (le reste) car est de degré .
Donc pour un
.
Si nous remplaçons par dans l'équation
de la division euclidienne nous trouvons
et donc . Ainsi, nous avons
. Si s'annule
en , alors on a ou car
est un corps. Ainsi
toute solution de est solution de et
par l'hypothèse de récurrence on conclut que admet au plus
racines différentes de , c'est-à-dire racines au total.
LemmeSoit un groupe d'ordre fini et tel que l'équation
admet au plus solutions dans pour tout diviseur de .
Alors est cyclique.
Démonstration. Pour un diviseur de , notons
le nombre d'éléments d'ordre de . Supposons que est
un diviseur de et qu'il existe dans un élément d'ordre
. Considérons le sous-groupe engendré par cet élément.
Il est cyclique d'ordre et chacun de ses éléments est solution
de l'équation dans . Ainsi, d'après l'hypothèse sur
, toute solution de dans se trouve en fait dans le
sous-groupe . En particulier, tout élément d'ordre de
se trouve dans ce sous-groupe. Or nous savons qu'un groupe cyclique
contient exactement éléments d'ordre (lemme
).
Ainsi, le groupe
contient exactement éléments d'ordre . Nous avons
donc
si et sinon. De toute
façon, nous avons
. Par conséquent, nous avons
où la dernière égalité provient du lemme ().
Nous avons donc
pour tout
diviseur de et en particulier, le groupe contient
éléments d'ordre . Il nous aurait suffi d'un seul pour
conclure que est cyclique d'ordre .
Corollaire (=Théorème )
Si est premier, le groupe
est
cyclique.
Démonstration. En effet, appliquons le lemme précédent
à
. D'après le lemme (), l'équation
admet au plus solutions pour tout diviseur
de (et même pour tout
).