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Structure du groupe des classes inversibles modulo un nombre premier


Nous démontrerons dans cette section le théorème ([*]) qui affirme que le groupe $ ({\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}})^*$ est cyclique lorsque $ p$ est premier. Nous aurons besoin du

Lemme Soit $ p$ un nombre premier. Si

$\displaystyle P(X)=a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \ldots + a_1 X + a_0 $

est un polynôme de degré $ n$ à coefficients $ a_i$ dans $ {\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}}$, alors l'équation $ P(x)=0$ admet au plus $ n$ solutions $ x$ dans $ {\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}}$.

Remarque 53   On appelle racines de $ P(X)$ les solutions $ x$ de $ P(x)=0$.


Démonstration. Nous procédons par récurrence sur $ n$. Si $ n=1$, l'équation $ P(x)=0$ devient $ a_1 x + a_0=0$. Elle admet $ x=-a_0/a_1$ pour unique solution (le coefficient $ a_1$ est non nul car $ P(X)$ est de degré $ 1$). Supposons l'affirmation démontrée pour des polynômes de degré $ <n$ et soit $ P(X)$ de degré $ n$. Supposons que $ P(x)=0$. Comme pour des polynômes à coefficients réels (ou à coefficients dans tout autre corps) nous pouvons écrire la division euclidienne du polynôme $ P(X)$ par le polynôme $ (X-x)$

$\displaystyle P(X)=(X-x) Q(X) + R(X)\: , \; $

où $ Q(X)$ est un polynôme de degré $ n-1$ (le quotient) et $ R(X)$ un polynôme de degré $ <1$ (le reste) car $ X-x$ est de degré $ 1$. Donc $ R(X)=c_0$ pour un $ c_0\in{\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}}$. Si nous remplaçons $ X$ par $ x$ dans l'équation de la division euclidienne nous trouvons

$\displaystyle 0=0\times Q(x) + c_0 $

et donc $ c_0=0$. Ainsi, nous avons $ P(X)=Q(X) (X-x)$. Si $ P(X)$ s'annule en $ y$, alors on a $ Q(y)=0$ ou $ y-x=0$ car $ {\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}}$ est un corps. Ainsi toute solution $ y\neq x$ de $ P(X)=0$ est solution de $ Q(X)=0$ et par l'hypothèse de récurrence on conclut que $ P(X)$ admet au plus $ n-1$ racines différentes de $ x$, c'est-à-dire $ n$ racines au total.$ \surd$

Lemme Soit $ G$ un groupe d'ordre fini $ n$ et tel que l'équation $ x^d=e$ admet au plus $ d$ solutions dans $ G$ pour tout diviseur $ d$ de $ n$. Alors $ G$ est cyclique.


Démonstration. Pour un diviseur $ d$ de $ n$, notons $ \psi(d)$ le nombre d'éléments d'ordre $ d$ de $ G$. Supposons que $ d$ est un diviseur de $ n$ et qu'il existe dans $ G$ un élément $ g$ d'ordre $ d$. Considérons le sous-groupe $ <g>$ engendré par cet élément. Il est cyclique d'ordre $ d$ et chacun de ses éléments est solution de l'équation $ x^d=e$ dans $ G$. Ainsi, d'après l'hypothèse sur $ G$, toute solution de $ x^d=e$ dans $ G$ se trouve en fait dans le sous-groupe $ <g>$. En particulier, tout élément d'ordre $ d$ de $ G$ se trouve dans ce sous-groupe. Or nous savons qu'un groupe cyclique contient exactement $ \phi(d)$ éléments d'ordre $ d$ (lemme [*]). Ainsi, le groupe $ G$ contient exactement $ \phi(d)$ éléments d'ordre $ d$. Nous avons donc $ \psi(d)=\phi(d)$ si $ \psi(d)>0$ et $ \psi(d)=0$ sinon. De toute façon, nous avons $ \psi(d)\leq \phi(d)$. Par conséquent, nous avons

$\displaystyle n= \sum_{d \vert n} \psi(d) \leq \sum_{d \vert n} \phi(d) =n\: , \; $

où la dernière égalité provient du lemme ([*]). Nous avons donc $ \psi(d)=\phi(d)$ pour tout diviseur $ d$ de $ n$ et en particulier, le groupe $ G$ contient $ \phi(n)$ éléments d'ordre $ n$. Il nous aurait suffi d'un seul pour conclure que $ G$ est cyclique d'ordre $ n$.$ \surd$

Corollaire (=Théorème [*]) Si $ p$ est premier, le groupe $ ({\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}})^*$ est cyclique.


Démonstration. En effet, appliquons le lemme précédent à $ G=({\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}})^*$. D'après le lemme ([*]), l'équation $ X^d -1 =0$ admet au plus $ d$ solutions pour tout diviseur $ d$ de $ n$ (et même pour tout $ d\in{\mbox{\bf N}}$). $ \surd$

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Bernhard_Keller
 
 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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