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Théorème de Cantor-Bernstein

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Construction de à partir de

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Construction de ${\mbox{\bf Z}}$ à partir de ${\mbox{\bf N}}$

En supposant connues les propriétés élémentaires de l'ensemble ${\mbox{\bf N}}$ et de l'addition des entiers naturels, nous allons donner une construction rigoureuse de ${\mbox{\bf Z}}$ et de l'addition des entiers relatifs. Dans cette construction, ${\mbox{\bf Z}}$ apparaîtra sous forme d'un quotient de ${\mbox{\bf N}}\times{\mbox{\bf N}}$ par une relation d'équivalence. Ce paragraphe est aussi l'occasion de rappeler les notions de relation d'équivalence et d'ensemble quotient, notions centrales pour le reste du cours.

Définition Soit un ensemble. Une relation sur est un ensemble $R\subset X\times X$ de couples d'éléments de . On écrit au lieu de $(x,x')\in R$ . Une relation est une relation d'équivalence si elle est

a): réflexive (i.e. pour tout $x\in X$ , on a )
b): symétrique (i.e. on a équivalence entre et quels que soient $x,x'\in X$ )
c): transitive (i.e. les conditions et impliquent que quels que soient $x,x',x''\in X$ )

Exemples 1 [1)] Soit

l'ensemble des villes de France. On définit une relation

sur

en déclarant que

signifie que

se trouvent dans la même région. Il est facile de vérifier qu'il s'agit d'une relation d'équivalence.

[2)] Soit $X={\mbox{\bf N}}\times {\mbox{\bf N}}$ et définissons par

$\displaystyle (x,y) R (x',y') \Leftrightarrow x+y'= y+x'.$

Par exemple, on a

. La réflexivité et la symétrie de

résultent de la commutativité de l'addition des entiers positifs. Montrons que

est transitive. En effet, par définition, les conditions

équivalent aux équations

$\displaystyle x+y'$	$\displaystyle =$	$\displaystyle y + x'$
$\displaystyle x' + y''$	$\displaystyle =$	$\displaystyle y' + x''$

En rajoutant la première à la seconde on obtient

$\displaystyle x+y'+x'+y'' = y+x'+y'+x''$

ou encore

$\displaystyle x+y''+(x'+y') = x'' + y + (x'+y').$

Or on sait que la loi d'addition sur ${\mbox{\bf N}}$ est régulière c'est-à-dire qu'une égalité

implique

quels que soient $a,b,c\in{\mbox{\bf N}}$ . Il s'ensuit que

c'est-à-dire que

. Notons que dans cette démonstration, nous avons utilisé l'associativité, la commutativité et la régularité des entiers naturels.

Définition Soit un ensemble et une relation d'équivalence sur . Pour $x\in X$ , on pose

$\displaystyle ^R\overline {x} = \{ x'\in X \;\vert \; x R x' \; \} \subset X$

et on appelle classe d'équivalence de par rapport à cette partie de

. Par définition, l'ensemble

est formé des classes $^R\overline {x}$ d'éléments $x\in X$ . On appelle

le quotient de par la relation d'équivalence . On définit l'application quotient (=la projection canonique) $q : X \rightarrow X/R$ par

$^R\overline {x}$ . Une partie de

est un système de représentants pour

si elle contient un élément de chaque classe d'équivalence et un seul.

Exemples 2 [1)] Dans l'exemple des villes de France (voir ci-dessus) la classe d'équivalence d'une ville

est formée de toutes les villes qui se trouvent dans la même région que

. En particulier deux classes $\overline {v}$ et $\overline {v'}$ sont égales ssi

se trouvent dans la même région. Les éléments de

sont des ensembles de villes, deux villes étant regroupé dans un même ensemble ssi elles se trouvent dans la même région. On a donc une bijection

$\displaystyle X/R \stackrel{_\sim}{\rightarrow}\{$ régions de France $\displaystyle \}\: , \; \overline {v} \mapsto$ la région où se trouve v $\displaystyle .$

Il existe beaucoup de systèmes de représentants. Par exemple, l'ensemble

formé des capitales des régions en est un. L'ensemble

formé des villes les plus éloignées de la capitale dans leur région en est un autre.

[2)] Dans le cas de l'exemple $X={\mbox{\bf N}}\times {\mbox{\bf N}}$ et de la relation introduite ci-dessus on vérifie que si et seulement si l'une des deux conditions suivantes est remplie

il existe $d\in{\mbox{\bf N}}$ tel que et
il existe $d\in{\mbox{\bf N}}$ tel que et .

Ainsi, deux éléments appartiennent à une même classe d'équivalence si on peut passer de l'un à l'autre en ajoutant un même entier naturel aux deux coordonnées. Les classes sont donc des `parties diagonales' du plan ${\mbox{\bf N}}\times{\mbox{\bf N}}$ :

$\includegraphics[width=10.0cm height=10.0cm]{classesNN.eps}$

Il y a beaucoup de systèmes de représentants. Par exemple

$\displaystyle X_0 = \{0\}\times{\mbox{\bf N}}\cup {\mbox{\bf N}}\times\{0\} = \{ \ldots, (0,3), (0,2), (0,1), (0,0), (1,0), (2,0), \ldots \}$

en est un. On définit l'ensemble ${\mbox{\bf Z}}_{ax}$ ( ${\mbox{\bf Z}}$ axiomatique) comme étant l'ensemble quotient $({\mbox{\bf N}}\times{\mbox{\bf N}}) / R$ .

Lemme [Propriété universelle de ] Soit un ensemble, une relation d'équivalence sur et $f:X \rightarrow Y$ une application constante sur les classes d'équivalence par rapport à (c'est-á-dire qu'on a à chaque fois que ). Alors il existe une application $g: X/R \rightarrow Y$ et une seule telle que $f=g\circ q$ . Réciproquement, toute application de la forme $g\circ q$ est constante sur les classes d'équivalence.

$\begin{picture}(14,8)(0,0) % multiput(0,0)(1,0)\{15\}\{ line(0,1)\{8\}\} % multi... ...3.5){\makebox(0,0)[tl]{$ \;g $}} \put(6,6.2){\makebox(2,2){$ f $}} \end{picture}$

Remarque 3 Le lemme signifie que la règle $g(\overline {x})=f(x)$ définit une application $g: X/R \rightarrow Y$ si et seulement si on a

quels que soient $x,x'\in X$ vérifiant

Démonstration. On pose $g(\overline {x})=f(x)$ . Il s'agit de vérifier que est indépendant du représantant de la classe $\overline {x}$ . Or si en est un autre, c'est-à-dire que $\overline {x}=\overline {x'}$ , alors par définition, on a et donc . $\surd$

Exemple 4 Il existe une application $g: {\mbox{\bf Z}}_{ax} \rightarrow {\mbox{\bf Z}}$ et une seule telle que $g(\overline {(x,y)})=x-y$ . En effet, si

alors

et donc

. L'application

est bijective : En effet, elle est surjective car si $n\in{\mbox{\bf Z}}$ , on a $n=g(\overline {(n,0)})$ si $n\geq 0$ et $n=g(\overline {(0,-n)})$ si

. Elle est injective car si on a

, alors

c'est-à-dire que

et que $\overline {(x,y)}=\overline {(x',y')}$ .

Lemme [Addition sur ${\mbox{\bf Z}}_{ax}$ ] Il existe une application

$\displaystyle {\mbox{\bf Z}}_{ax} \times {\mbox{\bf Z}}_{ax} \rightarrow {\mbox{\bf Z}}_{ax}$

et une seule telle que

$\displaystyle \overline {(a,b)} + \overline {(c,d)} = \overline {(a+c, b+d)}.$

Démonstration. Il s'agit de montrer que $\overline {(a+c, b+d)}=\overline {(a'+c', b'+d')}$ si et . Nous laissons au lecteur le soin de cette vérification. $\surd$

Définition Un groupe est un couple $(G, \star)$ formé d'un ensemble et d'une application

$\displaystyle \star : G\times G \rightarrow G \: , \;(g,h) \mapsto g\star h$

appelée la loi du groupe telle que

a): la loi $\star$ est associative (i.e. on a $(x\star y)\star z= x\star(y\star z)$ quels que soient $x,y,z\in G$ )
b): la loi $\star$ admet un élément neutre (i.e. il existe $e\in G$ tel que $x\star e = e\star x=x$ quel que soit $x\in G$ )
c): tout élément de admet un inverse pour la loi $\star$ (i.e. on a $x\star x'= e = x'\star x$ )

Un groupe $(G, \star)$ est commutatif si on a $x\star y = y \star x$ quels que soient $x,y\in G$ .

Exemple 5 [1)] Si les conditons a) et b) sont vérifiées, alors l'élément neutre

est unique. En effet, soient

deux éléments neutres. Alors on a $e=e\star e'$ (car

est neutre) et $e\star e'=e'$ (car

est neutre) et donc

[2)] Si les conditions a), b) et c) sont vérifiées, l'élément inverse de la conditon c) est unique. En effet, supposons que et sont deux éléments inverses à . Alors on a

$\displaystyle x'=x'\star e=x'\star(x\star x'')= (x'\star x)\star x'' = e\star x''=x''.$

On note $x^{-1}$ l'élement inverse de

Exemple 6 [1)] Le couple $({\mbox{\bf N}}, +)$ vérifie a) et b) (pour

) mais non pas c) car l'équation

n'admet pas de solution $n'\in{\mbox{\bf N}}$ si

[2)] Le couple $({\mbox{\bf Z}}_{ax}, +)$ est un groupe. En effet, on vérifie facilement l'associativité. L'élément neutre est la classe de . L'inverse de la classe de est la classe de ! En effet, nous avons

$\displaystyle \overline {(a,b)}+\overline {(b,a)} = \overline {(a+b, a+b)} = \overline {(0,0)}.$

Lemme [Propriété universelle de ${\mbox{\bf Z}}_{ax}$ ] Soit $\iota$ l'application

$\displaystyle \iota :{\mbox{\bf N}}\rightarrow {\mbox{\bf Z}}_{ax}\: , \;n \rightarrow \overline {(n,0)}.$

On a $\iota(n+n')=\iota(n)+\iota(n')$ et si $\phi : {\mbox{\bf N}}\rightarrow G$ est une autre application de ${\mbox{\bf N}}$ vers un groupe

telle que $\phi(n+n')=\phi(n)\star \phi(n')$ , alors il existe une application $\psi: {\mbox{\bf Z}}_{ax}\rightarrow G$ et une seule telle que a) $\psi\circ \iota = \phi$ et b) $\psi(x+x')=\psi(x)\star \psi(x')$ quels que soient $x,x'\in {\mbox{\bf Z}}_{ax}$ .

Remarque 7 On peut interpréter ce lemme en disant que ${\mbox{\bf Z}}_{ax}$ (et donc ${\mbox{\bf Z}}$ ) est le groupe universel contenant ${\mbox{\bf N}}$ .

Démonstration. Il est immédiat que $\iota$ est additive. Supposons donnée une application $\phi$ comme dans l'énoncé. Définissons $f: {\mbox{\bf N}}\times{\mbox{\bf N}}\rightarrow G$ par $f((a,b))=\phi(a)\star\phi(b)^{-1}$ . Montrons que induit une application ${\mbox{\bf Z}}_{ax}\rightarrow G$ , Supposons que et donc que . Alors pour montrer que

$\displaystyle \phi(a)\phi(b)^{-1} = \phi(a') \phi(b')^{-1}$

il suffit de montrer que

$\displaystyle \phi(a)\phi(b)^{-1} \phi(b) \phi(b') = \phi(a') \phi(b')^{-1} \phi(b) \phi(b').$

En utilisant que $\phi(b)\phi(b')=\phi(b+b')=\phi(b')\phi(b)$ nous sommes ramenés à montrer que

$\displaystyle \phi(a)\phi(b')=\phi(a')\phi(b)$

ce qui est clair car $\phi(a)\phi(b')=\phi(a+b')$ et $\phi(a')\phi(b)=\phi(a'+b)$ . Montrons l'unicité de $\psi$ . En effet, si $\psi$ et $\psi'$ vérifient les hypothèses, nous avons

$\displaystyle \psi(\overline {(n,0)})=\psi\circ\iota(n)= \phi(n)=\psi'\circ\iota(n)= \psi'(\overline {(n,0)}).$

En outre, si $x'=\overline {(0,n)}$ , alors $\psi(x')$ et $\psi'(x')$ sont tous les deux inverses de $\psi(x)=\psi'(x)$ où $x=\overline {(n,0)}$ . Donc $\psi(x')=\psi'(x')$ . Comme les