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Construction de $ {\mbox{\bf Z}}$ à partir de $ {\mbox{\bf N}}$


En supposant connues les propriétés élémentaires de l'ensemble $ {\mbox{\bf N}}$ et de l'addition des entiers naturels, nous allons donner une construction rigoureuse de $ {\mbox{\bf Z}}$ et de l'addition des entiers relatifs. Dans cette construction, $ {\mbox{\bf Z}}$ apparaîtra sous forme d'un quotient de $ {\mbox{\bf N}}\times{\mbox{\bf N}}$ par une relation d'équivalence. Ce paragraphe est aussi l'occasion de rappeler les notions de relation d'équivalence et d'ensemble quotient, notions centrales pour le reste du cours.

Définition Soit $ X$ un ensemble. Une relation sur $ X$ est un ensemble $ R\subset X\times X$ de couples d'éléments de $ X$. On écrit $ x R x'$ au lieu de $ (x,x')\in R$. Une relation $ R$ est une relation d'équivalence si elle est

a)
réflexive (i.e. pour tout $ x\in X$, on a $ x R x$)
b)
symétrique (i.e. on a équivalence entre $ x R x'$ et $ x' R x$ quels que soient $ x,x'\in X$)
c)
transitive (i.e. les conditions $ x R x'$ et $ x' R x''$ impliquent que $ x R x''$ quels que soient $ x,x',x''\in X$)

Exemples 1   [1)] Soit $ V$ l'ensemble des villes de France. On définit une relation $ R$ sur $ V$ en déclarant que $ v R v'$ signifie que $ v$ et $ v'$ se trouvent dans la même région. Il est facile de vérifier qu'il s'agit d'une relation d'équivalence.

[2)] Soit $ X={\mbox{\bf N}}\times {\mbox{\bf N}}$ et définissons $ R$ par

$\displaystyle (x,y) R (x',y') \Leftrightarrow x+y'= y+x'.
$

Par exemple, on a $ (0,1) R (1,2)$ et $ (1,2) R (2,3)$. La réflexivité et la symétrie de $ R$ résultent de la commutativité de l'addition des entiers positifs. Montrons que $ R$ est transitive. En effet, par définition, les conditions $ (x,y) R (x',y')$ et $ (x',y') R (x'',y'')$ équivalent aux équations
$\displaystyle x+y'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y + x'$  
$\displaystyle x' + y''$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y' + x''$  

En rajoutant la première à la seconde on obtient

$\displaystyle x+y'+x'+y'' = y+x'+y'+x''
$

ou encore

$\displaystyle x+y''+(x'+y') = x'' + y + (x'+y').
$

Or on sait que la loi d'addition sur $ {\mbox{\bf N}}$ est régulière c'est-à-dire qu'une égalité $ a+c=b+c$ implique $ a=b$ quels que soient $ a,b,c\in{\mbox{\bf N}}$. Il s'ensuit que $ x+y''=x''+y$ c'est-à-dire que $ (x,y) R (x'',y'')$. Notons que dans cette démonstration, nous avons utilisé l'associativité, la commutativité et la régularité des entiers naturels.

Définition Soit $ X$ un ensemble et $ R$ une relation d'équivalence sur $ X$. Pour $ x\in X$, on pose

     $\displaystyle ^R\overline {x} = \{ x'\in X \;\vert \; x R x' \; \} \subset X
$

et on appelle classe d'équivalence de $ x$ par rapport à $ R$ cette partie de $ X$. Par définition, l'ensemble $ X/R$ est formé des classes   $ ^R\overline {x}$ d'éléments $ x\in X$. On appelle $ X/R$ le quotient de $ X$ par la relation d'équivalence $ R$. On définit l'application quotient (=la projection canonique) $ q : X \rightarrow X/R$ par $ q(x)=$  $ ^R\overline {x}$. Une partie de $ X$ est un système de représentants pour $ R$ si elle contient un élément de chaque classe d'équivalence et un seul.

Exemples 2   [1)] Dans l'exemple des villes de France (voir ci-dessus) la classe d'équivalence d'une ville $ v$ est formée de toutes les villes qui se trouvent dans la même région que $ v$. En particulier deux classes $ \overline {v}$ et $ \overline {v'}$ sont égales ssi $ v$ et $ v'$ se trouvent dans la même région. Les éléments de $ V/R$ sont des ensembles de villes, deux villes étant regroupé dans un même ensemble ssi elles se trouvent dans la même région. On a donc une bijection

$\displaystyle X/R \stackrel{_\sim}{\rightarrow}\{$régions de France$\displaystyle \}\: , \;
\overline {v} \mapsto$   la région où se trouve v$\displaystyle .
$

Il existe beaucoup de systèmes de représentants. Par exemple, l'ensemble $ V_0$ formé des capitales des régions en est un. L'ensemble $ V_1$ formé des villes les plus éloignées de la capitale dans leur région en est un autre.

[2)] Dans le cas de l'exemple $ X={\mbox{\bf N}}\times {\mbox{\bf N}}$ et de la relation $ R$ introduite ci-dessus on vérifie que $ (x,y) R (x',y')$ si et seulement si l'une des deux conditions suivantes est remplie

  • il existe $ d\in{\mbox{\bf N}}$ tel que $ x'=x+d$ et $ y'=y+d$
  • il existe $ d\in{\mbox{\bf N}}$ tel que $ x=x'+d$ et $ y=y'+d$.
Ainsi, deux éléments appartiennent à une même classe d'équivalence si on peut passer de l'un à l'autre en ajoutant un même entier naturel aux deux coordonnées. Les classes sont donc des `parties diagonales' du plan $ {\mbox{\bf N}}\times{\mbox{\bf N}}$ :

\includegraphics[width=10.0cm height=10.0cm]{classesNN.eps}

Il y a beaucoup de systèmes de représentants. Par exemple

$\displaystyle X_0 = \{0\}\times{\mbox{\bf N}}\cup {\mbox{\bf N}}\times\{0\}
= \{ \ldots, (0,3), (0,2), (0,1), (0,0), (1,0), (2,0), \ldots \}
$

en est un. On définit l'ensemble $ {\mbox{\bf Z}}_{ax}$ ( $ {\mbox{\bf Z}}$ axiomatique) comme étant l'ensemble quotient $ ({\mbox{\bf N}}\times{\mbox{\bf N}}) / R$.

Lemme [Propriété universelle de $ X/R$] Soit $ X$ un ensemble, $ R$ une relation d'équivalence sur $ X$ et $ f:X \rightarrow Y$ une application constante sur les classes d'équivalence par rapport à $ R$ (c'est-á-dire qu'on a $ f(x)=f(x')$ à chaque fois que $ x R x'$). Alors il existe une application $ g: X/R \rightarrow Y$ et une seule telle que $ f=g\circ q$. Réciproquement, toute application de la forme $ g\circ q$ est constante sur les classes d'équivalence.


\begin{picture}(14,8)(0,0)
% multiput(0,0)(1,0)\{15\}\{ line(0,1)\{8\}\}
% multi...
...3.5){\makebox(0,0)[tl]{$ \;g $}}
\put(6,6.2){\makebox(2,2){$ f $}}
\end{picture}

Remarque 3   Le lemme signifie que la règle $ g(\overline {x})=f(x)$ définit une application $ g: X/R \rightarrow Y$ si et seulement si on a $ f(x)=f(x')$ quels que soient $ x,x'\in X$ vérifiant $ x R x'$.


Démonstration. On pose $ g(\overline {x})=f(x)$. Il s'agit de vérifier que $ f(x)$ est indépendant du représantant $ x$ de la classe $ \overline {x}$. Or si $ x'$ en est un autre, c'est-à-dire que $ \overline {x}=\overline {x'}$, alors par définition, on a $ x R x'$ et donc $ f(x)=f(x')$. $ \surd$

Exemple 4   Il existe une application $ g: {\mbox{\bf Z}}_{ax} \rightarrow {\mbox{\bf Z}}$ et une seule telle que $ g(\overline {(x,y)})=x-y$. En effet, si $ (x,y) R (x',y')$ alors $ x+y'=y+x'$ et donc $ x-y=x'-y'$. L'application $ g$ est bijective : En effet, elle est surjective car si $ n\in{\mbox{\bf Z}}$, on a $ n=g(\overline {(n,0)})$ si $ n\geq 0$ et $ n=g(\overline {(0,-n)})$ si $ n<0$. Elle est injective car si on a $ x-y=x'-y'$, alors $ x+y'=x'+y$ c'est-à-dire que $ (x,y) R (x',y')$ et que $ \overline {(x,y)}=\overline {(x',y')}$.

Lemme [Addition sur $ {\mbox{\bf Z}}_{ax}$] Il existe une application

$\displaystyle {\mbox{\bf Z}}_{ax} \times {\mbox{\bf Z}}_{ax} \rightarrow {\mbox{\bf Z}}_{ax}
$

et une seule telle que

$\displaystyle \overline {(a,b)} + \overline {(c,d)} = \overline {(a+c, b+d)}.
$


Démonstration. Il s'agit de montrer que $ \overline {(a+c, b+d)}=\overline {(a'+c', b'+d')}$ si $ (a,b) R (a',b')$ et $ (c,d) R (c',d')$. Nous laissons au lecteur le soin de cette vérification.$ \surd$

Définition Un groupe est un couple $ (G, \star)$ formé d'un ensemble $ G$ et d'une application

$\displaystyle \star : G\times G \rightarrow G \: , \;(g,h) \mapsto g\star h
$

appelée la loi du groupe telle que
a)
la loi $ \star$ est associative (i.e. on a $ (x\star y)\star z= x\star(y\star z)$ quels que soient $ x,y,z\in G$)
b)
la loi $ \star$ admet un élément neutre (i.e. il existe $ e\in G$ tel que $ x\star e = e\star x=x$ quel que soit $ x\in G$)
c)
tout élément $ x$ de $ G$ admet un inverse $ x'$ pour la loi $ \star$ (i.e. on a $ x\star x'= e = x'\star x$)
Un groupe $ (G, \star)$ est commutatif si on a $ x\star y = y \star x$ quels que soient $ x,y\in G$.

Exemple 5   [1)] Si les conditons a) et b) sont vérifiées, alors l'élément neutre $ e$ est unique. En effet, soient $ e$ et $ e'$ deux éléments neutres. Alors on a $ e=e\star e'$ (car $ e'$ est neutre) et $ e\star e'=e'$ (car $ e$ est neutre) et donc $ e=e'$.

[2)] Si les conditions a), b) et c) sont vérifiées, l'élément inverse $ x'$ de la conditon c) est unique. En effet, supposons que $ x'$ et $ x''$ sont deux éléments inverses à $ x$. Alors on a

$\displaystyle x'=x'\star e=x'\star(x\star x'')= (x'\star x)\star x'' = e\star x''=x''.
$

On note $ x^{-1}$ l'élement inverse de $ x$.

Exemple 6   [1)] Le couple $ ({\mbox{\bf N}}, +)$ vérifie a) et b) (pour $ e=0$) mais non pas c) car l'équation $ n+n'=0$ n'admet pas de solution $ n'\in{\mbox{\bf N}}$ si $ n>0$.

[2)] Le couple $ ({\mbox{\bf Z}}_{ax}, +)$ est un groupe. En effet, on vérifie facilement l'associativité. L'élément neutre est la classe de $ (0,0)$. L'inverse de la classe de $ (a,b)$ est la classe de $ (b,a)$ ! En effet, nous avons

$\displaystyle \overline {(a,b)}+\overline {(b,a)} = \overline {(a+b, a+b)} = \overline {(0,0)}.
$

Lemme [Propriété universelle de $ {\mbox{\bf Z}}_{ax}$] Soit $ \iota$ l'application

$\displaystyle \iota :{\mbox{\bf N}}\rightarrow {\mbox{\bf Z}}_{ax}\: , \;n \rightarrow \overline {(n,0)}.
$

On a $ \iota(n+n')=\iota(n)+\iota(n')$ et si $ \phi : {\mbox{\bf N}}\rightarrow G$ est une autre application de $ {\mbox{\bf N}}$ vers un groupe $ G$ telle que $ \phi(n+n')=\phi(n)\star \phi(n')$, alors il existe une application $ \psi: {\mbox{\bf Z}}_{ax}\rightarrow G$ et une seule telle que a) $ \psi\circ \iota = \phi$ et b) $ \psi(x+x')=\psi(x)\star \psi(x')$ quels que soient $ x,x'\in {\mbox{\bf Z}}_{ax}$.

Remarque 7   On peut interpréter ce lemme en disant que $ {\mbox{\bf Z}}_{ax}$ (et donc $ {\mbox{\bf Z}}$) est le groupe universel contenant $ {\mbox{\bf N}}$.


Démonstration. Il est immédiat que $ \iota$ est additive. Supposons donnée une application $ \phi$ comme dans l'énoncé. Définissons $ f: {\mbox{\bf N}}\times{\mbox{\bf N}}\rightarrow G$ par $ f((a,b))=\phi(a)\star\phi(b)^{-1}$. Montrons que $ f$ induit une application $ {\mbox{\bf Z}}_{ax}\rightarrow G$, Supposons que $ (a,b) R (a',b')$ et donc que $ a+b'=b+a'$. Alors pour montrer que

$\displaystyle \phi(a)\phi(b)^{-1} = \phi(a') \phi(b')^{-1}
$

il suffit de montrer que

$\displaystyle \phi(a)\phi(b)^{-1} \phi(b) \phi(b') = \phi(a') \phi(b')^{-1}
\phi(b) \phi(b').
$

En utilisant que $ \phi(b)\phi(b')=\phi(b+b')=\phi(b')\phi(b)$ nous sommes ramenés à montrer que

$\displaystyle \phi(a)\phi(b')=\phi(a')\phi(b)
$

ce qui est clair car $ \phi(a)\phi(b')=\phi(a+b')$ et $ \phi(a')\phi(b)=\phi(a'+b)$. Montrons l'unicité de $ \psi$. En effet, si $ \psi$ et $ \psi'$ vérifient les hypothèses, nous avons

$\displaystyle \psi(\overline {(n,0)})=\psi\circ\iota(n)= \phi(n)=\psi'\circ\iota(n)=
\psi'(\overline {(n,0)}).
$

En outre, si $ x'=\overline {(0,n)}$, alors $ \psi(x')$ et $ \psi'(x')$ sont tous les deux inverses de $ \psi(x)=\psi'(x)$ $ x=\overline {(n,0)}$. Donc $ \psi(x')=\psi'(x')$. Comme les $ (0,n)$ et les $ (n,0)$, $ n\in{\mbox{\bf N}}$, forment un système de représentants des classes d'équivalence par rapport à $ R$, il s'ensuit que $ \psi=\psi'$. $ \surd$


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Bernhard_Keller
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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