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Lemme Soit

un nombre premier et $1\leq k \leq p-1$ . Alors le coefficient binomial

est divisible par

Démonstration. Posons $G=({\mbox{\bf Z}}/p^k{\mbox{\bf Z}})^*$ resp. $G=({\mbox{\bf Z}}/2^k{\mbox{\bf Z}})^*$ .

Notons $\phi: ({\mbox{\bf Z}}/p^k{\mbox{\bf Z}})^* \rightarrow ({\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}})^*$ l'application qui à

associe sa classe modulo

. Clairement, $\phi$ est un homomorphisme de groupe. Notons

le noyau de $\phi$ , c'est-à-dire l'ensemble de $x\in G$ tels que $\phi(x)=e$ . C'est clairement un sous-groupe.

Seconde étape : L'élément est un générateur de . En particulier, il est d'ordre $p^{k-1}$ . Clairement,

est formé des éléments

où

est divisible par

(dans ${\mbox{\bf Z}}/p^k{\mbox{\bf Z}}$ ). Donc

est d'ordre $p^{k-1}$ . L'élément

appartient à

. Son ordre est donc une puissance de

. D'après la première partie c'est $p^{k-1}$ .

Troisième étape : construction d'un élément d'ordre . Soit

un générateur de $({\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}})^*$ et $x_1\in G$ un élément tel que $\phi(x_1)=x_0$ . Si on a

alors on a $\phi(x_1)^k=e$ et l'ordre de

est donc un multiple de l'ordre de

. Par conséquent, l'ordre de

est de la forme

pour un $l\in {\mbox{\bf N}}$ . Posons $x=x_1^{p^l}$ . Alors

est d'ordre

d'après le lemme

Quatrième étape : l'affirmation. Avec les notations introduites ci-dessus, considérons l'élément

. Il est d'ordre $(p-1) p^{k-1}$ d'après le lemme ci-dessous.

Notons $\phi: ({\mbox{\bf Z}}/2^k{\mbox{\bf Z}})^* \rightarrow ({\mbox{\bf Z}}/4{\mbox{\bf Z}})^*$ l'application qui à

associe sa classe modulo

. Clairement, $\phi$ est un homomorphisme de groupe. Notons

le noyau de $\phi$ , c'est-à-dire l'ensemble de $x\in G$ tels que $\phi(x)=e$ . C'est clairement un sous-groupe.

Seconde étape : L'élément est un générateur de . En particulier, il est d'ordre $2^{k-2}$ . Clairement,

est formé des éléments

où

est divisible par

(dans ${\mbox{\bf Z}}/2^k{\mbox{\bf Z}}$ ). Donc

est d'ordre $2^{k-2}$ . L'élément

appartient à

. Son ordre est donc une puissance de

. D'après la première partie c'est $2^{k-2}$ .

Lemme Soit

un groupe noté multiplicativement et soient

deux éléments d'ordre fini

tels que

sont premiers entre eux. Alors

est d'ordre

Démonstration. En effet, pour $k\in{\mbox{\bf Z}}$ , nous avons

si et seulement si $g^k=h^{-k}$ . L'ordre de l'élément $g^k=h^{-k}$ est donc un diviseur commun à ord

et ord

. Comme ces nombres sont premiers entre eux, l'ordre de $g^k=h^{-k}$ est égal à

et $g^k=h^{-k}=e$ . Cela veut dire que

est multiple de

et de

. Puisque les deux sont premiers entre eux,

doit être multiple du produit

. Réciproquement, nous avons $(gh)^{ab}= (g^a)^b (h^b)^a=e$ . $\surd$

Remarque 54 En combinaison avec le lemme chinois

, le théorème

permet de déterminer la structure du groupe $({\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}})^*$ pour tout entier

dont on connaît la décomposition en produit de facteurs premiers. Par exemple, considérons $n=3\times 5^3\times 7^2$ . Alors, par le théorème chinois, nous avons un isomorphisme

$\displaystyle ({\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}})^* \stackrel{_\sim}{\rightarrow}(... ...mbox{\bf Z}}/5^3{\mbox{\bf Z}})^* \times ({\mbox{\bf Z}}/7^2{\mbox{\bf Z}})^*.$

Le théorème

donne des isomorphismes $({\mbox{\bf Z}}/3{\mbox{\bf Z}})^*\stackrel{_\sim}{\rightarrow}{\mbox{\bf Z}}/2{\mbox{\bf Z}}$ , $({\mbox{\bf Z}}/5^3{\mbox{\bf Z}})\stackrel{_\sim}{\rightarrow}{\mbox{\bf Z}}/100{\mbox{\bf Z}}$ , ${\mbox{\bf Z}}/7^2{\mbox{\bf Z}}\stackrel{_\sim}{\rightarrow}{\mbox{\bf Z}}/42{\mbox{\bf Z}}$ . Donc on a

$\displaystyle ({\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}})^* \stackrel{_\sim}{\rightarrow}{... ...\times {\mbox{\bf Z}}/100{\mbox{\bf Z}}\times {\mbox{\bf Z}}/42{\mbox{\bf Z}}.$

Cela montre par exemple que le nombre de solutions de l'équation

dans ${\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}$ est égal à $2\times 4\times 2=16$ . Nous laissons au lecteur le soin de calculer explicitement ces 16 solutions.

Structure du groupe des classes inversibles modulo une puissance d'un nombre premier