Lemme
Soit un nombre premier et
. Alors
le coefficient binomial est divisible par .
Démonstration. En effet, nous avons
Puisque , le numérateur comporte un facteur ,
mais le dénominateur n'en comporte pas.
Théorème
a)
Soit un nombre premier et un entier .
Alors le groupe
est cyclique d'ordre
.
La classe de est un élément d'ordre dans .
b)
Le groupe
est trivial, le groupe
est cyclique d'ordre et pour , le groupe
est isomorphe à
. Dans ce dernier
cas, l'élément est d'ordre dans
et
tout élément de ce groupe est de la forme ,
.
Démonstration. Posons
resp.
.
a) Première étape : pour , nous
avons
Procédons par récurrence sur . Pour l'affirmation est
trivialement vraie. Supposons la démontrée pour . Nous avons donc
pour un
. Alors
Si nous réduisons modulo nous trouvons
car les sont divisibles par et
puisque .
Notons
l'application
qui à associe sa classe modulo . Clairement,
est un homomorphisme de groupe. Notons le noyau
de , c'est-à-dire l'ensemble de tels
que . C'est clairement un sous-groupe.
Seconde étape : L'élément est un générateur
de . En particulier, il est d'ordre .
Clairement, est formé
des éléments où est divisible par
(dans
). Donc est d'ordre .
L'élément appartient à . Son ordre est donc
une puissance de . D'après la première partie
c'est .
Troisième étape : construction d'un élément d'ordre
. Soit un générateur de
et
un élément tel que
. Si on
a alors on a
et l'ordre de
est donc un multiple de l'ordre de . Par conséquent,
l'ordre de est de la forme
pour un
. Posons
. Alors est d'ordre
d'après le lemme .
Quatrième étape : l'affirmation. Avec les notations
introduites ci-dessus, considérons l'élément .
Il est d'ordre
d'après le lemme ci-dessous.
b) Première étape : pour , nous
avons
Procédons par récurrence. Pour , l'affirmation est
trivialement vraie. Supposons-la démontrée pour .
Alors nous avons
Si nous réduisons modulo , nous trouvons bien .
Notons
l'application
qui à associe sa classe modulo . Clairement,
est un homomorphisme de groupe. Notons le noyau
de , c'est-à-dire l'ensemble de tels
que . C'est clairement un sous-groupe.
Seconde étape : L'élément est un générateur
de . En particulier, il est d'ordre .
Clairement, est formé
des éléments où est divisible par
(dans
). Donc est d'ordre .
L'élément appartient à . Son ordre est donc
une puissance de . D'après la première partie
c'est .
Troisième étape : l'affirmation.
Considérons l'application
On vérifie aisément que c'est un homomorphisme de
groupe. En outre, est surjectif (quel que soit ,
on a ou ). Comme les deux
groupes sont d'ordre , il s'ensuit que
est bijectif. Donc est un isomorphisme.
Lemme
Soit un groupe noté multiplicativement
et soient deux éléments d'ordre fini de tels que
et , sont premiers entre eux. Alors est
d'ordre .
Démonstration. En effet, pour
, nous avons
si et seulement si
.
L'ordre de l'élément
est donc un diviseur
commun à
ord et
ord. Comme ces nombres sont
premiers entre eux, l'ordre de
est égal à
et
. Cela
veut dire que est multiple de et de . Puisque
les deux sont premiers entre eux, doit être
multiple du produit . Réciproquement, nous avons
.
Remarque 54
En combinaison avec le lemme chinois, le
théorème permet
de déterminer la structure du groupe
pour tout
entier dont on connaît la décomposition en produit
de facteurs premiers. Par exemple, considérons
. Alors, par le théorème chinois,
nous avons un isomorphisme
Le théorème donne
des isomorphismes
,
,
. Donc
on a
Cela montre par exemple que le nombre de solutions de l'équation
dans
est égal à
.
Nous laissons au lecteur le soin de calculer
explicitement ces 16 solutions.