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Structure du groupe des classes inversibles modulo une puissance d'un nombre premier

Lemme Soit $ p$ un nombre premier et $ 1\leq k \leq p-1$. Alors le coefficient binomial $ C^k_p$ est divisible par $ p$.


Démonstration. En effet, nous avons

$\displaystyle C^k_p = \frac{p !}{k! (p-k)!} = \frac{p (p-1) (p-2) \ldots (p-k+1)}{1\times 2\times 3\times \ldots \times k}. $

Puisque $ 0<k<p$, le numérateur comporte un facteur $ p$, mais le dénominateur n'en comporte pas. $ \surd$

Théorème

a)
Soit $ p$ un nombre premier $ >2$ et $ k$ un entier $ \geq 1$. Alors le groupe $ G=({\mbox{\bf Z}}/p^k{\mbox{\bf Z}})^*$ est cyclique d'ordre $ (p-1) p^{k-1}$. La classe de $ 1+p$ est un élément d'ordre $ p^{k-1}$ dans $ G$.
b)
Le groupe $ ({\mbox{\bf Z}}/2{\mbox{\bf Z}})^*$ est trivial, le groupe $ ({\mbox{\bf Z}}/4{\mbox{\bf Z}})^*$ est cyclique d'ordre $ 2$ et pour $ k\geq 2$, le groupe $ ({\mbox{\bf Z}}/2^k{\mbox{\bf Z}})^*$ est isomorphe à $ {\mbox{\bf Z}}/2{\mbox{\bf Z}}\times {\mbox{\bf Z}}/2^{k-2}{\mbox{\bf Z}}$. Dans ce dernier cas, l'élément $ 5$ est d'ordre $ 2^{k-2}$ dans $ ({\mbox{\bf Z}}/2^k{\mbox{\bf Z}})^*$ et tout élément de ce groupe est de la forme $ \pm 5^a$, $ a\in{\mbox{\bf Z}}$.


Démonstration. Posons $ G=({\mbox{\bf Z}}/p^k{\mbox{\bf Z}})^*$ resp. $ G=({\mbox{\bf Z}}/2^k{\mbox{\bf Z}})^*$.

a) Première étape : pour $ e\geq 0$, nous avons

$\displaystyle (1+p)^{(p^e)} \equiv 1+ p^{e+1} \; (p^{e+2}). $

Procédons par récurrence sur $ e$. Pour $ e=0$ l'affirmation est trivialement vraie. Supposons la démontrée pour $ e$. Nous avons donc

$\displaystyle (1+p)^{(p^e)} = 1 + p^{e+1}(1 + x p) $

pour un $ x\in{\mbox{\bf Z}}$. Alors
$\displaystyle (1+p)^{p^{e+1}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ((1+p)^{(p^e)})^p = (1 + p^{e+1}(1+xp))^p$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1+ p p^{e+1}(1+xp) + (\sum_{k=2}^{p-1} C^k_p p^{k(e+1)}(1+xp)^k) + p^{p(e+1)}(1+xp)^{p}.$  

Si nous réduisons modulo $ p^{e+3}$ nous trouvons $ 1+p^{e+2}$ car les $ C^k_p$ sont divisibles par $ p$ et $ p(e+1)\geq 3$ puisque $ p\geq 3$.

Notons $ \phi: ({\mbox{\bf Z}}/p^k{\mbox{\bf Z}})^* \rightarrow ({\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}})^*$ l'application qui à $ x$ associe sa classe modulo $ p$. Clairement, $ \phi$ est un homomorphisme de groupe. Notons $ H$ le noyau de $ \phi$, c'est-à-dire l'ensemble de $ x\in G$ tels que $ \phi(x)=e$. C'est clairement un sous-groupe.

Seconde étape : L'élément $ 1+p$ est un générateur de $ H$. En particulier, il est d'ordre $ p^{k-1}$. Clairement, $ H$ est formé des éléments $ 1+x$ où $ x$ est divisible par $ p$ (dans $ {\mbox{\bf Z}}/p^k{\mbox{\bf Z}}$). Donc $ H$ est d'ordre $ p^{k-1}$. L'élément $ 1+p$ appartient à $ H$. Son ordre est donc une puissance de $ p$. D'après la première partie c'est $ p^{k-1}$.

Troisième étape : construction d'un élément d'ordre $ p-1$. Soit $ x_0$ un générateur de $ ({\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}})^*$ et $ x_1\in G$ un élément tel que $ \phi(x_1)=x_0$. Si on a $ x_1^k=e$ alors on a $ \phi(x_1)^k=e$ et l'ordre de $ x_1$ est donc un multiple de l'ordre de $ x_0$. Par conséquent, l'ordre de $ x_1$ est de la forme $ (p-1) p^l$ pour un $ l\in {\mbox{\bf N}}$. Posons $ x=x_1^{p^l}$. Alors $ x$ est d'ordre $ p-1$ d'après le lemme [*].

Quatrième étape : l'affirmation. Avec les notations introduites ci-dessus, considérons l'élément $ x (1+p)$. Il est d'ordre $ (p-1) p^{k-1}$ d'après le lemme ci-dessous.

b) Première étape : pour $ e\geq 0$, nous avons

$\displaystyle 5^{(2^e)} \equiv 1+ 2^{e+2} \; (2^{e+3}). $

Procédons par récurrence. Pour $ e=0$, l'affirmation est trivialement vraie. Supposons-la démontrée pour $ e$. Alors nous avons
$\displaystyle 5^{(2^{e+1})}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (1+2^{e+2}(1+2 x))^2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 + 2\times 2^{e+2}(1+2 x) + 2^{2 e+4}(1+2 x)^2.$  

Si nous réduisons modulo $ 2^{e+4}$, nous trouvons bien $ 1+2^{e+3}$.

Notons $ \phi: ({\mbox{\bf Z}}/2^k{\mbox{\bf Z}})^* \rightarrow ({\mbox{\bf Z}}/4{\mbox{\bf Z}})^*$ l'application qui à $ x$ associe sa classe modulo $ 4$. Clairement, $ \phi$ est un homomorphisme de groupe. Notons $ H$ le noyau de $ \phi$, c'est-à-dire l'ensemble de $ x\in G$ tels que $ \phi(x)=e$. C'est clairement un sous-groupe.

Seconde étape : L'élément $ 5$ est un générateur de $ H$. En particulier, il est d'ordre $ 2^{k-2}$. Clairement, $ H$ est formé des éléments $ 1+x$ où $ x$ est divisible par $ 4$ (dans $ {\mbox{\bf Z}}/2^k{\mbox{\bf Z}}$). Donc $ H$ est d'ordre $ 2^{k-2}$. L'élément $ 5$ appartient à $ H$. Son ordre est donc une puissance de $ 2$. D'après la première partie c'est $ 2^{k-2}$.

Troisième étape : l'affirmation. Considérons l'application

$\displaystyle f: {\mbox{\bf Z}}/2{\mbox{\bf Z}}\times {\mbox{\bf Z}}/2^{k-2}{\m... ...^k{\mbox{\bf Z}})^* \: , \; (\overline {a},\overline {b}) \mapsto (-1)^a 5^b. $

On vérifie aisément que c'est un homomorphisme de groupe. En outre, $ f$ est surjectif (quel que soit $ x\in G$, on a $ x\in H$ ou $ -x\in H$). Comme les deux groupes sont d'ordre $ 2^{k-1}$, il s'ensuit que $ f$ est bijectif. Donc $ f$ est un isomorphisme.

$ \surd$

Lemme Soit $ G$ un groupe noté multiplicativement et soient $ g,h$ deux éléments d'ordre fini $ a,b$ de $ G$ tels que $ gh=hg$ et $ a$, $ b$ sont premiers entre eux. Alors $ gh$ est d'ordre $ ab$.


Démonstration. En effet, pour $ k\in{\mbox{\bf Z}}$, nous avons $ (gh)^k=g^k h^k=e$ si et seulement si $ g^k=h^{-k}$. L'ordre de l'élément $ g^k=h^{-k}$ est donc un diviseur commun à ord$ g$ et ord$ h$. Comme ces nombres sont premiers entre eux, l'ordre de $ g^k=h^{-k}$ est égal à $ 1$ et $ g^k=h^{-k}=e$. Cela veut dire que $ k$ est multiple de $ a$ et de $ -b$. Puisque les deux sont premiers entre eux, $ k$ doit être multiple du produit $ ab$. Réciproquement, nous avons $ (gh)^{ab}= (g^a)^b (h^b)^a=e$.$ \surd$

Remarque 54   En combinaison avec le lemme chinois, le théorème [*] permet de déterminer la structure du groupe $ ({\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}})^*$ pour tout entier $ n$ dont on connaît la décomposition en produit de facteurs premiers. Par exemple, considérons $ n=3\times 5^3\times 7^2$. Alors, par le théorème chinois, nous avons un isomorphisme

$\displaystyle ({\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}})^* \stackrel{_\sim}{\rightarrow}(... ...mbox{\bf Z}}/5^3{\mbox{\bf Z}})^* \times ({\mbox{\bf Z}}/7^2{\mbox{\bf Z}})^*. $

Le théorème [*] donne des isomorphismes $ ({\mbox{\bf Z}}/3{\mbox{\bf Z}})^*\stackrel{_\sim}{\rightarrow}{\mbox{\bf Z}}/2{\mbox{\bf Z}}$, $ ({\mbox{\bf Z}}/5^3{\mbox{\bf Z}})\stackrel{_\sim}{\rightarrow}{\mbox{\bf Z}}/100{\mbox{\bf Z}}$, $ {\mbox{\bf Z}}/7^2{\mbox{\bf Z}}\stackrel{_\sim}{\rightarrow}{\mbox{\bf Z}}/42{\mbox{\bf Z}}$. Donc on a

$\displaystyle ({\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}})^* \stackrel{_\sim}{\rightarrow}{... ...\times {\mbox{\bf Z}}/100{\mbox{\bf Z}}\times {\mbox{\bf Z}}/42{\mbox{\bf Z}}. $

Cela montre par exemple que le nombre de solutions de l'équation $ x^4=1$ dans $ {\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}$ est égal à $ 2\times 4\times 2=16$. Nous laissons au lecteur le soin de calculer explicitement ces 16 solutions.

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Bernhard_Keller
 
 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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