L'indicatrice de Carmichael

Définition Soit un entier . On définit comme le maximum des ordres des éléments du groupe . On appelle indicatrice de Carmichael l'expression .

Exemple 55   Si est premier, on a car le groupe est cyclique d'ordre .

Lemme [Théorème de Carmichael] On a pour tout entier premier à . Réciproquement, si vérifie pour tout entier premier à , alors est multiple de .

Démonstration. Soit un élément d'ordre et un élément d'ordre . Nous allons montrer que contient un élément dont l'ordre est PPCM . Il s'ensuivra que PPCM  et donc que divise .

Pour cela, écrivons PPCM , où divise , divise et , sont premiers entre eux. Alors est d'ordre , est d'ordre et donc leur produit est d'ordre PPCM  d'après le lemme .

La deuxième affirmation est claire.

Lemme

a)

On a , et pour tout .

b)

Si est un nombre premier impair, on a .

c)

Si où et sont premiers entre eux, on a PPCM .

Remarque 56   Ce lemme permet de calculer l'indicatrice de Carmichael de tout nombre dont on connaît la décomposition en facteurs premiers. Par exemple, on a

   PPCM 

En particulier, comme divise , nous avons

pour tout premier à 561 (comme dans le petit théorème de Fermat). Un nombre tel que pour tout entier premier à s'appelle un nombre de Carmichael. Voici le tableau des premiers nombres de Carmichael non premiers.

		décomposition

Démonstration. Les parties a) et b) résultent du théorème . Pour c), nous avons l'isomorphisme de groupes