Définition Soit un entier . On définit
comme le maximum des ordres des éléments
du groupe
. On appelle indicatrice de Carmichael
l'expression
.
Exemple 55
Si est premier, on a
car le groupe
est cyclique d'ordre .
Lemme [Théorème de Carmichael]
On a
pour tout entier
premier à . Réciproquement, si vérifie
pour tout entier premier à , alors est multiple de
.
Démonstration. Soit
un élément d'ordre
et
un élément d'ordre .
Nous allons montrer que
contient un élément
dont l'ordre est
PPCM . Il s'ensuivra que
PPCM
et donc que divise
.
Pour cela, écrivons
PPCM , où divise ,
divise et , sont premiers entre eux. Alors
est d'ordre , est d'ordre et
donc leur produit est d'ordre
PPCM d'après le
lemme .
La deuxième affirmation est claire.
Lemme
a)
On a
,
et
pour tout .
b)
Si est un nombre premier impair, on a
.
c)
Si où et sont premiers entre eux, on a
PPCM .
Remarque 56
Ce lemme permet de calculer l'indicatrice de
Carmichael de tout nombre dont on connaît la décomposition
en facteurs premiers. Par exemple, on a
PPCM
En particulier, comme divise , nous avons
pour tout premier à 561 (comme dans le petit théorème
de Fermat). Un nombre tel que
pour tout
entier premier à s'appelle un nombre de Carmichael.
Voici le tableau des premiers nombres de Carmichael non premiers.
décomposition
Démonstration. Les parties a) et b) résultent du
théorème .
Pour c), nous avons l'isomorphisme de groupes
donné par le lemme chinois. L'ordre d'un couple
est clairement égal
au
PPCM des ordres des deux composantes. Ceci implique
que l'ordre maximal d'un couple sera le
PPCM des ordres
maximaux atteints dans chaque composante.