Définition Soit un nombre premier et
un entier. On pose
On appelle symbole de Legendre l'expression
.
Remarque 59
Par définition, le symbole de Legendre
ne dépend que de la classe de modulo .
Pour un nombre premier impair, onn a
ssi
est congru à modulo et
ssi est congru
à modulo . Si on tient à des formules explicites, on peut écrire
Lemme
Soit un nombre premier impair.
a)
On a
.
b)
On a
pour tous entiers et
si n'est pas divisible par .
Démonstration. a) résulte du lemme a) et b) de a).
Définition Pour deux entiers , , on pose
Remarque 60
On peut vérifier aisément que pour et impairs, on a
Théorème [Loi de réciprocité quadratique]
Si et sont deux nombres premiers impairs distincts, on a
Remarque 61
Le théorème est équivalent à la
conjecture d'Euler.
Il signifie que
si ou est congru à
modulo , et
dans le cas contraire.
Démonstration. On a toujours ou pour un
. Supposons d'abord que
. Alors on a
où nous avons utilisé le lemme . De l'autre côté,
nous avons
Or, d'après la conjecture d'Euler, nous avons
.
Puisque et ont même reste par , il s'ensuit que
ce qui termine la démonstration dans ce cas.
Supposons maintenant que . Alors nous avons
et de même
Donc d'après la conjecture d'Euler, nous avons
.
Résumé des propriétés du symbole de Legendre. Les règles suivantes permettent de calculer tout
symbole de Legendre ( et sont des nombres premiers impairs
distincts; sont des entiers)
(1)
Modularité :
si
.
(2)
Multiplicativité :
(3)
Réciprocité :
(4)
Valeurs particulières :
Exemple 62
Nous montrons comment les règles ci-dessus
permettent de calculer
: