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Le symbole de Legendre

Définition Soit $ p$ un nombre premier et $ a$ un entier. On pose

\begin{displaymath}
\left(\frac{a}{p}\right) = \left\{
\begin{array}{cl} 0 & \mb...
...$ est non \'residu quadratique modulo $p$}
\end{array}\right.
\end{displaymath}

On appelle symbole de Legendre l'expression $ (\frac{a}{p})$.

Remarque 59   Par définition, le symbole de Legendre $ (\frac{a}{p})$ ne dépend que de la classe de $ a$ modulo $ p$.

Pour un nombre premier impair, onn a $ (\frac{-1}{p})=1$ ssi $ p$ est congru à $ 1$ modulo $ 4$ et $ (\frac{2}{p})=1$ ssi $ p$ est congru à $ \pm 1$ modulo $ 8$. Si on tient à des formules explicites, on peut écrire

$\displaystyle (\frac{-1}{p})= (-1)^{\frac{p-1}{2}} \quad (\frac{2}{p})= (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}.
$

Lemme Soit $ p=2 l+1$ un nombre premier impair.

a)
On a $ (\frac{a}{p})\equiv (-1)^l \; (p)$.
b)
On a $ (\frac{ab}{p})= (\frac{a}{p}) (\frac{b}{p})$ pour tous entiers $ a,b$ et $ (\frac{a^2  b}{p})=(\frac{b}{p})$ si $ a$ n'est pas divisible par $ p$.


Démonstration. a) résulte du lemme [*] a) et b) de a).$ \surd$

Définition Pour deux entiers $ a$, $ b$, on pose

\begin{displaymath}
\theta(a,b)=\left\{
\begin{array}{cl} -1 & \mbox{si $a\equiv...
... et $b\equiv 3\;(4)$} \\
1 & \mbox{sinon}
\end{array}\right.
\end{displaymath}

Remarque 60   On peut vérifier aisément que pour $ a$ et $ b$ impairs, on a

$\displaystyle \theta(a,b)= (-1)^{\frac{a-1}{2} \frac{b-1}{2}}.
$

Théorème [Loi de réciprocité quadratique] Si $ p$ et $ q$ sont deux nombres premiers impairs distincts, on a

$\displaystyle (\frac{p}{q}) (\frac{q}{p})= \theta(p,q).
$


Remarque 61   Le théorème est équivalent à la conjecture d'Euler. Il signifie que $ (\frac{p}{q})=(\frac{q}{p})$ si $ p$ ou $ q$ est congru à $ 1$ modulo $ 4$, et $ (\frac{p}{q})=-(\frac{q}{p})$ dans le cas contraire.


Démonstration. On a toujours $ p-q=4a$ ou $ p+q=4a$ pour un $ a\in{\mbox{\bf Z}}$. Supposons d'abord que $ p-q=4a$. Alors on a

$\displaystyle (\frac{p}{q})=(\frac{q+4a}{q})= (\frac{4a}{q})=(\frac{a}{q}).
$

où nous avons utilisé le lemme [*]. De l'autre côté, nous avons

$\displaystyle (\frac{q}{p})=(\frac{p-4a}{p})=(\frac{-4a}{p})=(\frac{-1}{p}) (\frac{a}{p}).
$

Or, d'après la conjecture d'Euler, nous avons $ (\frac{a}{p})=(\frac{a}{q})$. Puisque $ p$ et $ q$ ont même reste par $ 4$, il s'ensuit que $ \theta(p,q)=(\frac{-1}{p})$ ce qui termine la démonstration dans ce cas.

Supposons maintenant que $ p+q=4a$. Alors nous avons

$\displaystyle (\frac{p}{q})=(\frac{4a-q}{q})= (\frac{4a}{q})= (\frac{a}{q})
$

et de même

$\displaystyle (\frac{q}{p})=(\frac{4a-p}{p})= (\frac{4a}{p})= (\frac{a}{p}).
$

Donc d'après la conjecture d'Euler, nous avons $ (\frac{p}{q})=(\frac{q}{p})$.$ \surd$


Résumé des propriétés du symbole de Legendre. Les règles suivantes permettent de calculer tout symbole de Legendre ($ p$ et $ q$ sont des nombres premiers impairs distincts; $ a,a',b$ sont des entiers)

(1)
Modularité :

$\displaystyle (\frac{a}{p})=(\frac{a'}{p})
$

si $ a \equiv a'\;(p)$.
(2)
Multiplicativité :

$\displaystyle (\frac{ab}{p})=(\frac{a}{p})(\frac{b}{p}).
$

(3)
Réciprocité :

\begin{displaymath}
(\frac{p}{q})= \left\{
\begin{array}{cl}
-(\frac{q}{p}) & \...
...v 3\;(4)$} \\
(\frac{q}{p}) & \mbox{sinon}
\end{array}\right.
\end{displaymath}

(4)
Valeurs particulières :

\begin{displaymath}
(\frac{-1}{p}) = \left\{
\begin{array}{cl}
1 & \mbox{si $...
...quiv \pm 1\;(8)$} \\
-1 & \mbox{sinon}
\end{array} \right. .
\end{displaymath}

Exemple 62   Nous montrons comment les règles ci-dessus permettent de calculer $ (\frac{541}{2011})$ :
$\displaystyle (\frac{541}{2011})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\frac{2011}{541})$   $\displaystyle \mbox{ (r\'eciprocit\'e, $541\equiv 1\;(4)$)}$$\displaystyle )$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (\frac{388}{541})$   $\displaystyle \mbox{(modularit\'e, $2011 \equiv 388\;(541)$)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (\frac{2}{541})^2  (\frac{97}{541})$   $\displaystyle \mbox{(multiplicativit\'e, $388=2^2\times 97$)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (\frac{541}{97})$   $\displaystyle \mbox{ (r\'eciprocit\'e, $541\equiv 1\;(4)$)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (\frac{56}{97})$   $\displaystyle \mbox{(modularit\'e, $541\equiv 56\;(97)$)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (\frac{7}{97}) (\frac{2}{97})^3$   (multiplicativité)  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (\frac{97}{7}) (\frac{2}{97})^3$   $\displaystyle \mbox{(\'reciprocit\'e, $97\equiv 1\;(4)$)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (\frac{-1}{7})  (\frac{2}{97})^3$   (modularité)  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$   $\displaystyle \mbox{(valeurs particuli\\lq eres, $(\frac{-1}{7})=-1$,
$(\frac{2}{97})= 1$)}$  


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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