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Le symbole de Legendre

Définition Soit un nombre premier et un entier. On pose

$\begin{displaymath} \left(\frac{a}{p}\right) = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \mb... ...$ est non \'residu quadratique modulo $p$} \end{array}\right. \end{displaymath}$

On appelle symbole de Legendre l'expression $(\frac{a}{p})$ .

Remarque 59 Par définition, le symbole de Legendre $(\frac{a}{p})$ ne dépend que de la classe de

modulo

Pour un nombre premier impair, onn a $(\frac{-1}{p})=1$ ssi est congru à modulo et $(\frac{2}{p})=1$ ssi est congru à $\pm 1$ modulo . Si on tient à des formules explicites, on peut écrire

$\displaystyle (\frac{-1}{p})= (-1)^{\frac{p-1}{2}} \quad (\frac{2}{p})= (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}.$

Lemme Soit un nombre premier impair.

a): On a $(\frac{a}{p})\equiv (-1)^l \; (p)$ .
b): On a $(\frac{ab}{p})= (\frac{a}{p}) (\frac{b}{p})$ pour tous entiers et $(\frac{a^2 b}{p})=(\frac{b}{p})$ si n'est pas divisible par .

Démonstration. a) résulte du lemme a) et b) de a). $\surd$

Définition Pour deux entiers , , on pose

$\begin{displaymath} \theta(a,b)=\left\{ \begin{array}{cl} -1 & \mbox{si $a\equiv... ... et $b\equiv 3\;(4)$} \\ 1 & \mbox{sinon} \end{array}\right. \end{displaymath}$

Remarque 60 On peut vérifier aisément que pour

impairs, on a

$\displaystyle \theta(a,b)= (-1)^{\frac{a-1}{2} \frac{b-1}{2}}.$

Théorème [Loi de réciprocité quadratique] Si et sont deux nombres premiers impairs distincts, on a

$\displaystyle (\frac{p}{q}) (\frac{q}{p})= \theta(p,q).$

Remarque 61 Le théorème est équivalent à la conjecture d'Euler

. Il signifie que $(\frac{p}{q})=(\frac{q}{p})$ si

est congru à

modulo

, et $(\frac{p}{q})=-(\frac{q}{p})$ dans le cas contraire.

Démonstration. On a toujours ou pour un $a\in{\mbox{\bf Z}}$ . Supposons d'abord que . Alors on a

$\displaystyle (\frac{p}{q})=(\frac{q+4a}{q})= (\frac{4a}{q})=(\frac{a}{q}).$

où nous avons utilisé le lemme

. De l'autre côté, nous avons

$\displaystyle (\frac{q}{p})=(\frac{p-4a}{p})=(\frac{-4a}{p})=(\frac{-1}{p}) (\frac{a}{p}).$

Or, d'après la conjecture d'Euler, nous avons $(\frac{a}{p})=(\frac{a}{q})$ . Puisque

ont même reste par

, il s'ensuit que $\theta(p,q)=(\frac{-1}{p})$ ce qui termine la démonstration dans ce cas.

Supposons maintenant que . Alors nous avons

$\displaystyle (\frac{p}{q})=(\frac{4a-q}{q})= (\frac{4a}{q})= (\frac{a}{q})$

et de même

$\displaystyle (\frac{q}{p})=(\frac{4a-p}{p})= (\frac{4a}{p})= (\frac{a}{p}).$

Donc d'après la conjecture d'Euler, nous avons $(\frac{p}{q})=(\frac{q}{p})$ . $\surd$

Résumé des propriétés du symbole de Legendre. Les règles suivantes permettent de calculer tout symbole de Legendre ( et sont des nombres premiers impairs distincts; sont des entiers)

(1)

Modularité :

$\displaystyle (\frac{a}{p})=(\frac{a'}{p})$

si $a \equiv a'\;(p)$ .

(2)

Multiplicativité :

$\displaystyle (\frac{ab}{p})=(\frac{a}{p})(\frac{b}{p}).$

(3)

Réciprocité :

$\begin{displaymath} (\frac{p}{q})= \left\{ \begin{array}{cl} -(\frac{q}{p}) & \... ...v 3\;(4)$} \\ (\frac{q}{p}) & \mbox{sinon} \end{array}\right. \end{displaymath}$

(4)

Valeurs particulières :

$\begin{displaymath} (\frac{-1}{p}) = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{si $... ...quiv \pm 1\;(8)$} \\ -1 & \mbox{sinon} \end{array} \right. . \end{displaymath}$

Exemple 62 Nous montrons comment les règles ci-dessus permettent de calculer $(\frac{541}{2011})$ :

$\displaystyle (\frac{541}{2011})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\frac{2011}{541})$ $\displaystyle \mbox{ (r\'eciprocit\'e, $541\equiv 1\;(4)$)}$ $\displaystyle )$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\frac{388}{541})$ $\displaystyle \mbox{(modularit\'e, $2011 \equiv 388\;(541)$)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\frac{2}{541})^2 (\frac{97}{541})$ $\displaystyle \mbox{(multiplicativit\'e, $388=2^2\times 97$)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\frac{541}{97})$ $\displaystyle \mbox{ (r\'eciprocit\'e, $541\equiv 1\;(4)$)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\frac{56}{97})$ $\displaystyle \mbox{(modularit\'e, $541\equiv 56\;(97)$)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\frac{7}{97}) (\frac{2}{97})^3$ (multiplicativité)
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\frac{97}{7}) (\frac{2}{97})^3$ $\displaystyle \mbox{(\'reciprocit\'e, $97\equiv 1\;(4)$)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\frac{-1}{7}) (\frac{2}{97})^3$ (modularité)
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -1$ $\displaystyle \mbox{(valeurs particuli\\lq eres, $(\frac{-1}{7})=-1$, $(\frac{2}{97})= 1$)}$