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Démonstration de la conjecture d'Euler badu3

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Démonstration de la conjecture d'Euler

Lemme Soit un nombre premier impair et un entier qui n'est pas divisible par . Pour $1\leq k \leq l$ , soit le reste de la division de par et soit $\nu$ le nombre de restes . Alors

$\displaystyle a^l \equiv (-1)^\nu \; (p)$

et en particulier,

est un résidu quadratique

modulo

si et seulement si $\nu$ est pair.

Démonstration. Si $a i\equiv \pm a j\;(p)$ , alors comme est inversible modulo , nous avons $i\equiv \pm j\; (p)$ ce qui est impossible si et sont compris entre et . Donc si nous posons

$\begin{displaymath} s_i=\left\{ \begin{array}{cc} r_i & \mbox{si $1 \leq r_i \leq l$} \\ p-r_i & \mbox{si $l < r_i$} \end{array}\right. \end{displaymath}$

les

sont deux à deux distincts et compris entre

. Puisque ils sont au nombre de

, tout entier entre

est égal à un

. Nous avons

$\displaystyle r_1 r_2 \cdots r_l \equiv (-1)^\nu s_1 s_2 \cdots s_l \equiv (-1)^\nu l ! \; (p).$

De l'autre côté, nous avons

$\displaystyle r_1 r_2 \cdots r_l \equiv l ! a^l\; (p).$

Puisque

est inversible modulo

, nous obtenons l'affirmation. La dernière partie résulte du lemme précédent. $\surd$

Exemple 63 Prenons

et donc

. Dans le dessin suivant, nous calculons $\nu$ pour

variant entre

. Par exemple, la ligne qui commence par le nombre

comporte

points aux abscisses

. Le nombre de points qui se trouvent dans des intervalles `sous-lignés' est égal à $\nu$ . Donc $\nu=3$ et

est un non-résidu quadratique modulo

. Les résidus quadratiques modulo 13 sont

$\begin{picture}(66,24)(0,-12) \put(0,0){\line(1,0){66}} \multiput(0,-11)(11,0){7... ...8){\makebox(0,0)[l]{$ -4 $}} \put(1,-10){\makebox(0,0)[l]{$ -5 $}} \end{picture}$

Théorème [Conjecture d'Euler] Soit un entier non nul et un nombre premier impair. Le fait que soit résidu quadratique modulo ou non ne dépend que de la classe de modulo .

Démonstration. D'après le lemme et l'exemple qui le suit, il s'agit de compter le nombre $\nu$ de points , $1\leq k \leq l$ , qui se trouvent dans l'un quelconque des intervalles , où est impair et compris entre et . En effet, le dernier point, , se trouve dans l'intervalle . Supposons que et que $\nu'$ est le nombre de points correspondant (peu importe si n'est pas premier). Alors le nombre d'intervalles reste le même (), mais le nombre de points augmente de . Je dis que chacun des intervalles comporte points de plus que l'intervalle correspondant. Ceci impliquera que $\nu'-\nu$ est pair et donc que $(-1)^{\nu'}=(-1)^\nu$ . Comparons en effet l'intervalle à l'intervalle : nous avons

$\displaystyle I_i$	$\displaystyle =$	$\displaystyle [i \frac{p}{2}, (i+1) \frac{p}{2}]$
$\displaystyle I'_i$	$\displaystyle =$	$\displaystyle [i (\frac{p}{2}+2a), (i+1) (\frac{p}{2}+2a)]$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle [ i \frac{p}{2}+2ia, (i+1) \frac{p}{2}+2ia] \cup [ (i+1) \frac{p}{2}+2ia, (i+1) \frac{p}{2}+2ia+2a].$