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Démonstration de la conjecture d'Euler

Lemme Soit $ p=2 l+1$ un nombre premier impair et $ a$ un entier qui n'est pas divisible par $ p$. Pour $ 1\leq k \leq l$, soit $ r_k$ le reste de la division de $ ka$ par $ p$ et soit $ \nu$ le nombre de restes $ r_k>l$. Alors

$\displaystyle a^l \equiv (-1)^\nu \; (p)
$

et en particulier, $ a$ est un résidu quadratique modulo $ p$ si et seulement si $ \nu$ est pair.


Démonstration. Si $ a i\equiv \pm a j\;(p)$, alors comme $ a$ est inversible modulo $ p$, nous avons $ i\equiv \pm j\; (p)$ ce qui est impossible si $ i$ et $ j$ sont compris entre $ 1$ et $ l$. Donc si nous posons

\begin{displaymath}
s_i=\left\{
\begin{array}{cc}
r_i & \mbox{si $1 \leq r_i \leq l$} \\
p-r_i & \mbox{si $l < r_i$}
\end{array}\right.
\end{displaymath}

les $ s_i$ sont deux à deux distincts et compris entre $ 1$ et $ l$. Puisque ils sont au nombre de $ l$, tout entier entre $ 1$ et $ l$ est égal à un $ s_j$. Nous avons

$\displaystyle r_1 r_2 \cdots r_l \equiv (-1)^\nu s_1 s_2 \cdots s_l \equiv (-1)^\nu l ! \; (p).
$

De l'autre côté, nous avons

$\displaystyle r_1 r_2 \cdots r_l \equiv l  !    a^l\; (p).
$

Puisque $ l !$ est inversible modulo $ p$, nous obtenons l'affirmation. La dernière partie résulte du lemme précédent.$ \surd$

Exemple 63   Prenons $ p=11$ et donc $ l=5$. Dans le dessin suivant, nous calculons $ \nu$ pour $ a$ variant entre $ -5$ et $ 5$. Par exemple, la ligne qui commence par le nombre $ 2$ comporte $ l=5$ points aux abscisses $ 2,4,6,8,10$. Le nombre de points qui se trouvent dans des intervalles `sous-lignés' est égal à $ \nu$. Donc $ \nu=3$ et $ 2$ est un non-résidu quadratique modulo $ 11$. Les résidus quadratiques modulo 13 sont $ -2,1,3,4,5$.


\begin{picture}(66,24)(0,-12)
\put(0,0){\line(1,0){66}}
\multiput(0,-11)(11,0){7...
...8){\makebox(0,0)[l]{$ -4 $}}
\put(1,-10){\makebox(0,0)[l]{$ -5 $}}
\end{picture}

Théorème [Conjecture d'Euler] Soit $ a$ un entier non nul et $ p$ un nombre premier impair. Le fait que $ a$ soit résidu quadratique modulo $ p$ ou non ne dépend que de la classe de $ p$ modulo $ 4a$.


Démonstration. D'après le lemme [*] et l'exemple qui le suit, il s'agit de compter le nombre $ \nu$ de points $ ka$, $ 1\leq k \leq l$, qui se trouvent dans l'un quelconque des intervalles $ I_i=[ip/2, (i+1)p/2]$, où $ i$ est impair et compris entre $ 1$ et $ a$. En effet, le dernier point, $ la=(p-1) a/2$, se trouve dans l'intervalle $ [(a-1)p/2, ap/2]$. Supposons que $ p'=p+4a$ et que $ \nu'$ est le nombre de points correspondant (peu importe si $ p'$ n'est pas premier). Alors le nombre d'intervalles $ I'_i$ reste le même ($ =a$), mais le nombre de points $ ka$ augmente de $ l'-l=2a$. Je dis que chacun des $ a$ intervalles $ I'_i$ comporte $ 2$ points $ ka$ de plus que l'intervalle $ I_i$ correspondant. Ceci impliquera que $ \nu'-\nu$ est pair et donc que $ (-1)^{\nu'}=(-1)^\nu$. Comparons en effet l'intervalle $ I_i$ à l'intervalle $ I'_i$ : nous avons

$\displaystyle I_i$ $\displaystyle =$ $\displaystyle [i  \frac{p}{2}, (i+1)  \frac{p}{2}]$  
$\displaystyle I'_i$ $\displaystyle =$ $\displaystyle [i  (\frac{p}{2}+2a), (i+1)  (\frac{p}{2}+2a)]$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle [ i  \frac{p}{2}+2ia, (i+1)  \frac{p}{2}+2ia]
\cup [ (i+1) \frac{p}{2}+2ia, (i+1) \frac{p}{2}+2ia+2a].$  

L'intervalle $ I'_i$ est donc obtenu à partir de $ I_i$ par deux opérations : décalage de $ 2ia$ et rajout d'un intervalle disjoint de longueur $ 2a$ dont les extrémités ne sont pas multiples de $ a$. Or le décalage d'un multiple de $ a$ laisse invariant le nombre de points $ ka$ contenus dans l'intervalle, et le rajout d'un intervalle disjoint de longueur $ 2a$ dont les extrémités ne sont pas multiples de $ a$ rajoute $ 2$ points $ ka$ car tout intervalle de longueur $ 2a$ dont les extrémités ne sont pas des multiples de $ a$ comporte exactement $ 2$ points $ ka$ (par mise à l'échelle, on peut supposer que $ a=1$ : tout intervalle de longueur $ 2$ dont les extrémités ne sont pas entières comporte exactement $ 2$ points entiers.)$ \surd$


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Bernhard_Keller
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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