Le nombre est-il premier ? Non. Il est divisible par
car la somme de ses chiffres est divisible par . De façon
générale, on sait qu'un nombre est divisible par
ssi la somme de ses chiffres l'est. De même pour au
lieu de . On sait aussi qu'un nombre est divisible par
ssi la somme alternée
de
ses chiffres l'est ( est le chiffre des unités,
celui des dizaines, ...). La divisibilité par
, par contre, ne semble être reliée ni à la
divisibilité par de la somme ni à celle de la
somme alternée de ses chiffres comme le montrent
les exemples
.
En fait, nous allons voir qu'un nombre est divisible par
si et seulement si c'est le cas pour le nombre
Par exemple, le nombre
est divisible par .
Plus généralement, tout nombre dont l'écriture
décimale est -périodique et comporte un nombre
de chiffres divisible par est divisible par .
Ces faits trouvent leur explication à l'aide de deux
outils : 1) le calcul des congruences et 2) le calcul des
restes de puissances. Le lemme suivant élucide le rôle
que joue le calcul des congruences :
Lemme Soit un entier et
une
suite d'entiers telle que
Soit
et soient
les chiffres de son écriture décimale (=unités, ...).
Alors nous avons
En particulier, est divisible par si et seulement
si
est divisible
par .
Démonstration. Par définition de l'écriture décimale,
on a
Puisque
, les règles du calcul des
congruences nous permettent de conclure que
Exemple 20
Déduisons le critère de divisibilité par
que nous avons évoqué plus haut. Pour pouvoir appliquer
le lemme, il nous faut calculer une suite d'entiers
tels que
. La suite des
vérifie donc les congruences
(car
). Pour
, nous trouvons
Donc
et par récurrence, on trouve que
pour tout
. Pour la
suite des , on peut donc choisir la suite
-périodique suivante
D'après le lemme, il s'ensuit que est divisible par
ssi c'est le cas pour le nombre
où les sont les chiffres de l'écriture décimale
de (=unités, =dizaines, ...).