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Généralisation à d'autres systèmes de numération


Le fondement mathématique des systèmes de numération est le lemme suivant :

Lemme Soit $ b\geq 2$ un entier. Pour tout entier $ N\in{\mbox{\bf N}}$, il existe des entiers uniques $ c_i\in\{0,\ldots, b-1\}$, $ i\in{\mbox{\bf N}}$, nuls sauf pour un nombre fini d'entre eux, tels que

$\displaystyle N = c_0 + c_1 b + c_2 b^2 + \cdots + c_i b^i + \cdots
$


Notation. Dans la situation du lemme, si $ N\neq 0$ et que $ c_s$ est le dernier coefficient non nul, nous écrivons

$\displaystyle N=[c_s, c_{s-1}, \ldots, c_1, c_0]_b.
$

et nous appelons l'expression à droite l'écriture de $ N$ en base $ b$. Il nous arrivera d'omettre les crochets et les virgules comme dans l'exemple suivant

$\displaystyle 1995_{10}= 11111001011_2 = 133023_8.
$

Dans les cas de $ b=2$, $ 8$ et $ 16$, on parle de l'écriture binaire, octale et hexadécimale, respectivement. Si $ b$ excède 10, les `chiffres' de $ 10$ à $ b$ sont représentés par les premières lettres de l'alphabet. Par exemple, les chiffres du système hexadécimal sont $ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F$. Ainsi on a

$\displaystyle 1995_{10}= 7CB_{16}.
$


Démonstration. On prouve d'abord l'existence par récurrence sur $ n$. Pour $ n=0$ on pose $ c_i=0$ pour tout $ i\in{\mbox{\bf N}}$. Supposons $ n>0$. Effectuons la division euclidienne par $ b$

$\displaystyle n=qb+r.
$

D'après l'hypothèse de récurrence, le nombre $ q$ s'écrit

$\displaystyle q=c_0'+c_1' b+ \cdots + c_t' b^t
$

et donc

$\displaystyle n= r+c_0' b+ c_1' b^2 + \cdots + c_t' b^{t+1}
$

On pose donc $ c_0=r$ et $ c_i=c'_{i-1}$ pour $ i>0$. Montrons l'unicité. Si nous avons

$\displaystyle n=c_0 + c_1 b + c_2 b^2 +\cdots = d_0 + d_1 b + d_2 b^2 +\cdots
$

alors $ c_0=d_0$ car les deux apparaissent comme le reste de la division euclidienne de $ n$ par $ b$. Nous enlevons $ c_0=d_0$ des deux côtés et nous divions par $ b$ pour obtenir

$\displaystyle (n-c_0)/b= c_1 + c_2 b + \cdots = d_1 + d_2 b + \cdots.
$

L'unicité s'ensuit par récurrence sur $ n$.$ \surd$

Lemme Soit $ n\geq 2$ un entier et $ a_i$, $ i\in{\mbox{\bf N}}$, une suite d'entiers tels que

$\displaystyle b^i\equiv a_i\;(n).
$

Soit $ N\in{\mbox{\bf N}}$ et $ c_i$, $ i\in{\mbox{\bf N}}$, les chiffres de son écriture en base $ b$ ($ c_0$=unités, ...). Alors on a

$\displaystyle N\equiv a_0 c_0 + a_1 c_1 + a_2 c_2 \cdots \;(n).
$

En particulier, $ N$ est divisible par $ n$, si c'est le cas pour $ a_0 c_0 + a_1 c_1 + a_2 c_2 \cdots $.


Démonstration. La démonstration est analogue à celle du cas $ b=10$.$ \surd$

Exemples 21   Nous avons $ 8^i\equiv 1 \;(7)$. Donc un nombre est divisible par $ 7$ ssi la somme des chiffres de son écriture octale est divisible par $ 7$.

Nous avons $ 16^i \equiv (-1)^i\;(16)$. Donc un nombre est divisible par $ 17$ ssi la somme alternée des chiffres de son écriture hexadécimale est divisible par $ 17$.


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Bernhard_Keller
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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