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Une autre approche de l'équation de Bézout


Soient $ a,b,c\in{\mbox{\bf Z}}$ tels que $ (a,b)\neq (0,0)$. L'équation de Bézout est l'équation

$\displaystyle ax+by=c
$

$ x,y$ désignent deux entiers relatifs. Si $ c\neq 0$ on dit qu'il s'agit d'une équation inhomogène d'inhomogénéité $ c$. Dans ce cas, l'équation homogène associée est l'équation

$\displaystyle ax+by=0.
$

Notons $ d=$PGCD $ (a,b)$.

Théorème

a)
La solution générale de l'équation homogène $ ax+by=0$ est donnée par

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
x_h & = & l \;\frac{b}{d} \\
y_h & = & -l \;\frac{a}{d}
\end{array}\;\; l\in{\mbox{\bf Z}}.
\end{displaymath}

b)
Si $ d$ divise $ c$ et que $ (x_p,y_p)$ est une solution (dite ``particulière'') de l'équation inhomogène $ ax+by=c$, alors la solution générale de l'équation inhomogène est donnée par

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
x & = & x_p+ l \;\frac{b}{d} \\
y & = & y_p- l \;\frac{a}{d}
\end{array}\end{displaymath}


Remarque 23   La construction de la solution générale de l'équation de Bézout se fait donc suivant le même schéma que la construction de la solution d'une équation différentielle linéaire :

   sol. gén. de l'éq. inhomogène$\displaystyle =$   sol. part. de l'éq. inhomogène$\displaystyle +$   sol. gén. de l'éq. homogène$\displaystyle .
$


Démonstration. a) Regardons d'abord le cas où $ b=0$. Alors l'équation se réduit à $ ax+0\;y =0$$ a\neq 0$ (car $ (a,b)\neq (0,0)$). Clairement la solution générale est donnée par $ x=0$, $ y=l$, $ l\in{\mbox{\bf Z}}$. De l'autre côté, on a $ d=\vert a\vert$, donc $ a/d=\pm 1$ et $ b/d=0$. L'affirmation est donc vraie dans ce cas.

Supposons maintenant $ b\neq 0$. L'équation $ ax+by=0$ équivaut à

$\displaystyle \frac{a}{d} \; x = - \frac{b}{d}  y.
$

Notons que les deux fractions qui apparaissent ici sont en fait des entiers, car $ d=$PGCD $ (a,b)$ divise $ a$ et $ b$. Cette dernière équation montre que $ b/d$ divise le produit $ x\; a/d$. Or, nous avons PGCD $ (a/d, b/d)=1$. Par le lemme de Gauss, il s'ensuit que $ b/d$ divise $ x$. Donc il existe un $ l\in{\mbox{\bf Z}}$ tel que $ x=l\; b/d$. Nous avons donc

$\displaystyle \frac{a}{d} \; l \; \frac{b}{d} = -\frac{b}{d}   y.
$

Puisque $ b\neq 0$, nous pouvons conclure que $ y=-l\; a/d$.

b) Supposons que $ (x,y)\in{\mbox{\bf Z}}^2$ est une solution de l'équation inhomogène. Si nous formons la différence des deux équations

$\displaystyle ax+by$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c$  
$\displaystyle a x_p + b y_p$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c$  

nous trouvons

$\displaystyle a (x-x_p) + b(y-y_p) = 0
$

c'est-à-dire que $ (x-x_p, y-y_p)$ est une solution de l'équation homogène. D'après a), il existe donc un $ l\in{\mbox{\bf Z}}$ tel que
$\displaystyle x-x_p$ $\displaystyle =$ $\displaystyle l\; \frac{b}{d}$  
$\displaystyle y-y_p$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -l\; \frac{a}{d}$  

L'affirmation en résulte.$ \surd$


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Bernhard_Keller
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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