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Soient
 tels que
 .
L'équation de Bézout est l'équation
où  désignent deux entiers relatifs. Si 
on dit qu'il s'agit d'une équation inhomogène
d'inhomogénéité  . Dans ce cas, l'équation homogène
associée est l'équation
Notons
 PGCD  .
Théorème
- a)
- La solution générale de l'équation homogène
 est donnée par
- b)
- Si
 divise et que  est une
solution (dite ``particulière'') de l'équation
inhomogène  , alors la solution générale
de l'équation inhomogène est donnée par
Remarque 23
La construction de la solution générale
de l'équation de Bézout se fait donc suivant le même
schéma que la construction de la solution d'une équation
différentielle linéaire :
sol. gén. de l'éq. inhomogène  sol. part. de l'éq. inhomogène  sol. gén. de l'éq. homogène 
Démonstration. a) Regardons d'abord le cas où  .
Alors l'équation se réduit à
 où 
(car
). Clairement la solution générale
est donnée par  ,  ,
 . De l'autre côté,
on a  , donc  et  . L'affirmation
est donc vraie dans ce cas.
Supposons maintenant  . L'équation
équivaut à
Notons que les deux fractions qui apparaissent ici sont
en fait des entiers, car
PGCD divise  et  .
Cette dernière équation montre que  divise le produit
 . Or, nous avons
PGCD  . Par le lemme
de Gauss , il s'ensuit que divise  . Donc il existe
un
tel que  . Nous avons donc
Puisque , nous pouvons conclure que
 .
b) Supposons que
 est une solution de l'équation
inhomogène. Si nous formons la différence des deux
équations
nous trouvons
c'est-à-dire que
 est une solution de l'équation
homogène. D'après a), il existe donc un
tel que
L'affirmation en résulte.
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Bernhard_Keller
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