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Interprétation géométrique


Nous considérons le plan $ {\mbox{\bf R}}^2$ et nous appelons points entiers les points $ (x,y)\in{\mbox{\bf R}}^2$ à coordonnées entières $ x,y\in{\mbox{\bf Z}}$. Soient $ a,b,c\in{\mbox{\bf Z}}$ tels que $ (a,b)\neq (0,0)$. Notons $ D=D(a,b,c)$ la droite dans $ {\mbox{\bf R}}^2$ formée des points $ (\xi,\eta)\in{\mbox{\bf R}}^2$ tels que $ a\xi+b\eta=c$. Alors l'ensemble des solutions $ (x,y)\in{\mbox{\bf Z}}^2$ de l'équation de Bézout $ ax+by=c$ s'identifie à l'ensemble des points entiers de la droite $ D$.

\includegraphics[width=12.0cm height=8.0cm]{droites.eps}

D'après les théorèmes cités ci-dessus, deux cas seulement sont possibles

  • soit la droite $ D$ ne contient aucun point entier
  • soit la droite $ D$ contient une infinité de points entiers.
Dans le deuxième cas, l'ensemble des points entiers est obtenu en rajoutant un multiple entier d'un vecteur $ v=(x_h,y_h)$ à un point entier $ p=(x_p,y_p)$ fixé de la droite. Le vecteur $ (x_h, y_h)$ peut être identifié avec un point entier de distance minimale à l'origine sur la droite $ D(a,b,0)$. Notons que cette droite contient exactement deux tels points (à savoir $ v$ et $ -v$).



Bernhard_Keller
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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