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Anneaux factoriels

Définition Soit A un anneau. Soient a et b des éléments de A. On dira que a divise b (et on notera a|b) si il existe un élément c de A tel que b=a.c.

Proposition Soient A un anneau, a et b des éléments de A. Si a divise b alors (b)$\subset$(a).
Démonstration Supposons qu'il existe c$\in$A tel que b=a.c. Soit x un élément de (b). Alors il existe y dans A tel que x=b.y. Donc x=y.c.a et donc x$\in$(a). (Rappelons que les anneaux considérés ici sont supposés commutatifs.)

Proposition Définissons la relation $\cal R$ sur l'anneau A par a$\cal R$b $\Leftrightarrow$a|b. $\cal R$ est transitive et réflexive.
Démonstration On vérifie facilement que si a|b et b|c alors a|c. On vérifie aussi sans trop de peine que a|a !

Proposition Soit un anneau A, soient a et b des éléments de A et soit $\cal R$ la relation définie précédemment alors: a$\cal R$ b $\Leftrightarrow$ (b)$\subset$(a).
Démonstration C'est juste la réécriture de la propriété précédente.

Définition On notera A$^{*}$ l'ensemble des éléments inversibles d'un anneau A.

Proposition Soit A un anneau intègre et unitaire, soient deux éléments a et b de cet anneau. On a: (a)=(b) $\Leftrightarrow$ $\exists u \in$ A$^{*}$ a=ub.

Démonstration Supposons que (a)=(b). Si a est nul, b aussi et la propriété est démontrée. Supposons donc que a n'est pas nul. Alors il existe u$\in$A tel que a=u.b et u'$\in$A tel que b=u'.a. En particulier a=u.u'.a, ou encore: a(1-u.u')=0. Comme a n'est pas nul et que l'anneau est intègre, cela implique que 1-u.u'=0 ou encore que u.u'=1. u est donc élément de A$^{*}$.
Supposons maintenant qu'il existe un élément u de A$^{*}$ tel que a=ub. Cette égalité permet d'affirmer que b divise a et donc que (a)$\subset$(b). Comme u est inversible, on a: b=u$^{-1}$.a ce qui signifie que a divise b et que (b)$\subset$(a), Cqfd.

Définition Dans le cas ou a et b sont éléments d'un anneau unitaire A et qu'il existe un élément u de A$^{*}$ tel que a=u.b, on dira que a et b sont des éléments associés de l'anneau.

Définition Soit p un élément d'un anneau A intègre. p est irréductible si il vérifie:

  • p$\not\in$A$^{*}$.
  • si il existe a et b$\in$A tels que p=a.b alors a$\in$A$^{*}$ ou b$\in$A$^{*}$.
On notera $\cal P$ l'ensemble des éléments irréductibles de A.

Proposition (p) est maximal $\Rightarrow$ p est irréductible.

Démonstration Supposons que p ne soit pas irréductible. Alors on peut trouver un diviseur a de p qui ne soit pas un élément inversible. Donc (p)$\subset$(a) et (p) n'est pas maximal.

Proposition Si A est un anneau principal alors: (p) est maximal $\Leftrightarrow$ p est irréductible.

Démonstration Il s'agit donc de démontrer la réciproque dans le cas où les idéaux de l'anneau sont tous de la forme (a) avec a$\in$A. Supposons que (p) ne soit pas maximal. On peut trouver un idéal I=(a) de A tel que (p)$\subset$I=(a). Mais a est alors un diviseur de p. Ceci implique que a est ou inversible ou associé à p. Si a est associé à p, (a)=(p). Si a est inversible alors (a)=A. Dans les deux cas, (a) n'est pas un idéal de A contenant (p) autre que A ou (p). Cela prouve la maximalité de (p).

Proposition Soit A un anneau intègre et soit p un élément de A. Supposons que l'idéal (p) est un idéal premier de A. Alors p est un élément irréductible de A.

Démonstration Soient a et b dans A tels que p= a.b. Alors a.b est élément de (p). L'idéal (p) étant premier cela implique que a ou b est élément de (p). Supposons que a$\in$(p). Alors il existe c$\in$A tel que a=p.c. On peut écrire: p=p.c.b. Soit encore: p(1-cb)=0. Comme A est intègre, on en déduit que cb=1 et donc que b$\in$A$^{*}$. Ceci démontre l'irréductibilité de p.

Définition Deux éléments a et b d'un anneau intègre A sont dits premiers entre eux si ils vérifient: $\forall c \in $A c|a et c|b $\Rightarrow$ c$\in$A$^{*}$.

Définition n éléments a$_1$,...,a$_n$ d'un anneau intègre sont dits premiers entre eux si ils vérifient: $\forall c \in $A c| a$_1$,...,c| a$_n$ $\Rightarrow$ c$\in$A$^{*}$.

Définition Soit A un anneau. A est dit factoriel si il vérifie chacune des 3 propriétés suivantes:

  • P$_1$: A est intègre.
  • P$_2$: Tout élément x non nul de A s'écrit x=u.p$_1$. ... . p$_n$ avec u$\in$A$^{*}$ et p$_i$ irréductibles dans A pour i=1,...,n.
  • P$_3$ La décomposition précédente, à permutation près des éléments irréductibles et à produit par un inversible près, est unique.
$ $

Voila une définition équivalente à la précédente:

Proposition - définition A est factoriel si et seulement si:

  • P$_1$: A est intègre.
  • P'$_2$: Tout élément x de A s'écrit

    $\displaystyle x=\displaystyle{\prod_{p\in \cal{P}} p^{v_p(x)}}.$

  • P'$_3$: On a unicité de l'écriture précédente.
Les entiers v$_p$(x) sont appelés valuation p-adique de x. $ $

Démonstration Il est évident que les propriétés P$_2$ et P'$_2$ sont équivalentes. L'unicité de ces deux écritures modulos les remarques faites dans les définitions sont elles aussi équivalentes.

Proposition Si a et b sont des éléments d'un même anneau factoriel alors a|b est équivalent à v$_p$(a)$\leq$v$_p$(b) $\forall $ p $\in \cal P$.

Nous allons énoncer maintenant deux lemmes qui sont équivalent, d'une certaine façon, à l'unicité d'écriture de la décomposition des éléments de l'anneau. Ces deux lemmes servent de pierres angulaires à l'arithmétique.

Théorème Soit A un anneau intègre et vérifiant la propriété P$_2$. On a équivalence entre:

  1. A vérifie P$_3$.
  2. Le lemme d'Euclide: Si p est irréductible et si p divise ab alors p divise a ou p divise b.
  3. p irréductible $\Leftrightarrow$ (p) est premier.
  4. Le lemme de Gauss: Si c est premier avec a et que c divise ab alors c divise b.
$ $

Démonstration Commençons par rappeler que dans un anneau intègre, il est toujours vrai que si (p) est un idéal premier alors p est irréductible. Supposons alors que 2 est vrai et démontrons que p irréductible $\Rightarrow$ (p) est premier. Soit a et b des éléments de A tels que ab$\in$(p). On sait donc que p|ab. Le lemme d'Euclide permet d'affirmer que p divise a ou que p divise b. Donc que a ou b est élément de (p), Cqfd.

Montrons aussi que 3 $\Rightarrow$2. Supposons pour cela que 3 est vrai. Soit p un élément irréductible de A et soient a et b$\in$A tels que p|ab. ab est alors élément de (p). Cet idéal étant premier, a ou b,nécessairement, est élément de (p). Donc p|a ou p|b. Cela implique le lemme d'Euclide.

On a donc démontré 2 $\Leftrightarrow$3.

Montrons maintenant que 1 $\Rightarrow$2. Supposons dons que A vérifie P'$_3$ ( qui est équivalent à P$_2$). Soit x un élément irréductible de A et soient a,b$\in$A tels que x|ab. Il suffit de démontrer que v$_x$(a)$\geq$1 ou que v$_x$(b)$\geq$1. Comme les propriétés P'$_2$ et P'$_3$ sont, par hypothèse, vérifiées, on peut écrire:

$\displaystyle ab=\displaystyle{u\prod_{p\in \cal{P}} p^{v_p(a.b)}}=\displaystyle{u\prod_{p\in \cal{P}} p^{v_p(a)+v_p(b)}}.$

x divise ce produit, donc v$_x$(ab)$\geq$1. Mais pour tout p $\in \cal P$, v$_p$(ab)=v$_p$(a)+v$_p$(b). Donc v$_x$(a)+v$_x$(b)$\geq$1. v$_x$(a) et v$_x$(b) étant des entiers positifs, cela implique que soit v$_x$(a)$\geq$1, soit v$_x$(b)$\geq$1. C'est à dire, soit x divise a, soit x divise b. Ceci permet de vérifier le lemme d'Euclide.

Montrons que 2 $\Rightarrow$1. Si l'anneau A vérifie le lemme d'Euclide, et si a$\in$A,montrons qu'on a une unique décomposition de a en produit d'éléments irréductibles. Supposons que

$\displaystyle a=\displaystyle{u\prod_{p\in \cal{P}} p^{v_p(a)}}=u'\displaystyle{\prod_{p\in \cal{P}} p^{v'_p(a)}}.$

Nous devons montré que v$_p$(a)=v'$_p$(a) pour tout p$\in \cal P$. Soit p $\in \cal P$ tel que v$_p$(a)$\geq$1. p est donc un diviseur de a. Il divise par conséquent le produit

$\displaystyle a=\displaystyle{u'\prod_{p\in \cal{P}} p^{v'_p(a)}}$

Comme p est premier avec tout les p' $\in \cal P$ qui sont différents de p, il est nécessaire que v'$_p$(a)$\geq$1. En répétant ce raisonnement sur

$\displaystyle a=\displaystyle{\prod_{q\in {\cal P},q \neq p} q^{v_q(a)}.p^{v_p(a)-i}}$

et sur

$\displaystyle a=\displaystyle{\prod_{q\in {\cal P},q \neq p} q^{v'_q(a)}.p^{v'_p(a)-i}}$

pour i=1,...,v$_p$(a), on démontre que v$_p$(a)$\geq$v'$_p$(a). De même on démontrerait que v'$_p$(a) $\geq$ v$_p$(a). On a alors établis que v$_p$(a)=v'$_p$(a). Cela est vrai pour tout p $\in \cal P$. L'unicité de la décomposition en éléments irréductibles est donc assurée.

Intéressons nous à 4 $\Rightarrow$2. Supposons que sur l'anneau A, le lemme de Gauss soit vérifié. Soit p un élément irréductible de A. Soient a,b$\in$A tels que p|ab. Si p n'est pas premier avec a alors, comme p est irréductible, p divise a, Cqfd ( comme p et a ne sont pas premiers entre eux, il existe d un élément de A tel que d divise a et d divise p. Mais comme p est irréductible, cet élément d est soit inversible soit égal à p. Si il est inversible alors p et a sont premiers entre eux. cet élément d est donc égal à p et p divise bien a). Sinon p est premier avec a et d'après le lemme de Gauss, p divise b.

Cette dernière implication permet de terminer la démonstration de l'équivalence des quatres points du théorème.

Proposition Si A est un anneau intègre et noethérien alors A vérifie P$_2$.

Démonstration Considérons l'ensemble $\cal F$ des idéaux de A de la forme (a) ou a est un élément de A qui n'a pas de décomposition de la forme u.p$_1$. ... . p$_r$ où u$\in$A$^{*}$ et où p $_i\in \cal P$ pour i=1,...,r. On suppose que $\cal F$ est non vide. Comme A est noethérien, $\cal F$ possède un élément maximal (x) pour l'inclusion. Pour tout (a) $\in \cal F$, (a)$\subset$(x). Si x était irréductible alors (x) ne serait pas élément de $\cal F$. Donc on peut écrire x sous la forme x=ab avec a,b$\in$A et a,b non inversibles. Mais a et b ne peuvent, en même temps, possèder une décomposition en élément irréductible de la forme u.p$_1$. ... . p$_r$ car sinon il en serait de même de leur produit et donc de x. (a) ou (b) est donc élément de$\cal F$. Supposons que (a) est élément de $\cal F$, on peut écrire (x)$\subset$(a). Ceci est en contradiction avec la maximalité de (x). Par conséquent $\cal F$ est vide et tout élément de A possède une décomposition en facteurs irréductibles.

Proposition Si A est un anneau principal alors A est factoriel.

Démonstration Si A est principal il est noéthérien et intègre. On peut alors lui appliquer la propriété précédente et conclure.


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E_Vieillard-Baron
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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