Définition Soit A un anneau. Soient a et b des éléments de A. On dira que a divise b (et on notera a|b) si il existe un élément c de A tel que b=a.c.
Proposition Soient A un anneau, a et b des éléments de A. Si a divise b alors (b)(a).
Démonstration Supposons qu'il existe cA tel que b=a.c. Soit x un élément de (b). Alors il existe y dans A tel que x=b.y. Donc x=y.c.a et donc x(a). (Rappelons que les anneaux considérés ici sont supposés commutatifs.)
Proposition Définissons la relation sur l'anneau A par ab
a|b. est transitive et réflexive.
Démonstration On vérifie facilement que si a|b et b|c alors a|c. On vérifie aussi sans trop de peine que a|a !
Proposition Soit un anneau A, soient a et b des éléments de A et soit la relation définie précédemment alors: a b
(b)(a).
Démonstration C'est juste la réécriture de la propriété précédente.
Définition On notera A l'ensemble des éléments inversibles d'un anneau A.
Proposition Soit A un anneau intègre et unitaire, soient deux éléments a et b de cet anneau. On a: (a)=(b) A a=ub.
Démonstration Supposons que (a)=(b). Si a est nul, b aussi et la propriété est démontrée. Supposons donc que a n'est pas nul. Alors il existe uA tel que a=u.b et u'A tel que b=u'.a. En particulier a=u.u'.a, ou encore: a(1-u.u')=0. Comme a n'est pas nul et que l'anneau est intègre, cela implique que 1-u.u'=0 ou encore que u.u'=1. u est donc élément de A.
Supposons maintenant qu'il existe un élément u de A tel que a=ub. Cette égalité permet d'affirmer que b divise a et donc que (a)(b). Comme u est inversible, on a: b=u.a ce qui signifie que a divise b et que (b)(a), Cqfd.
Définition Dans le cas ou a et b sont éléments d'un anneau unitaire A et qu'il existe un élément u de A tel que a=u.b, on dira que a et b sont des éléments associés de l'anneau.
Définition Soit p un élément d'un anneau A intègre. p est irréductible si il vérifie:
pA.
si il existe a et bA tels que p=a.b alors aA ou bA.
On notera l'ensemble des éléments irréductibles de A.
Proposition (p) est maximal p est irréductible.
Démonstration Supposons que p ne soit pas irréductible. Alors on peut trouver un diviseur a de p qui ne soit pas un élément inversible. Donc (p)(a) et (p) n'est pas maximal.
Proposition Si A est un anneau principal alors: (p) est maximal p est irréductible.
Démonstration Il s'agit donc de démontrer la réciproque dans le cas où les idéaux de l'anneau sont tous de la forme (a) avec aA. Supposons que (p) ne soit pas maximal. On peut trouver un idéal I=(a) de A tel que (p)I=(a). Mais a est alors un diviseur de p. Ceci implique que a est ou inversible ou associé à p. Si a est associé à p, (a)=(p). Si a est inversible alors (a)=A. Dans les deux cas, (a) n'est pas un idéal de A contenant (p) autre que A ou (p). Cela prouve la maximalité de (p).
Proposition Soit A un anneau intègre et soit p un élément de A. Supposons que l'idéal (p) est un idéal premier de A. Alors p est un élément irréductible de A.
Démonstration Soient a et b dans A tels que p= a.b. Alors a.b est élément de (p). L'idéal (p) étant premier cela implique que a ou b est élément de (p). Supposons que a(p). Alors il existe cA tel que a=p.c. On peut écrire: p=p.c.b. Soit encore: p(1-cb)=0. Comme A est intègre, on en déduit que cb=1 et donc que bA. Ceci démontre l'irréductibilité de p.
Définition Deux éléments a et b d'un anneau intègre A sont dits premiers entre eux si ils vérifient:
A c|a et c|b cA.
Définition n éléments a,...,a d'un anneau intègre sont dits premiers entre eux si ils vérifient:
A c| a,...,c| a cA.
Définition Soit A un anneau. A est dit factoriel si il vérifie chacune des 3 propriétés suivantes:
P: A est intègre.
P: Tout élément x non nul de A s'écrit x=u.p. ... . p avec uA et p irréductibles dans A pour i=1,...,n.
P La décomposition précédente, à permutation près des éléments irréductibles et à produit par un inversible près, est unique.
Voila une définition équivalente à la précédente:
Proposition - définition A est factoriel si et seulement si:
P: A est intègre.
P': Tout élément x de A s'écrit
P': On a unicité de l'écriture précédente.
Les entiers v(x) sont appelés valuation p-adique de x.
Démonstration Il est évident que les propriétés P et P' sont équivalentes. L'unicité de ces deux écritures modulos les remarques faites dans les définitions sont elles aussi équivalentes.
Proposition Si a et b sont des éléments d'un même anneau factoriel alors a|b est équivalent à v(a)v(b) p
.
Nous allons énoncer maintenant deux lemmes qui sont équivalent, d'une certaine façon, à l'unicité d'écriture de la décomposition des éléments de l'anneau. Ces deux lemmes servent de pierres angulaires à l'arithmétique.
Théorème Soit A un anneau intègre et vérifiant la propriété P. On a équivalence entre:
A vérifie P.
Le lemme d'Euclide: Si p est irréductible et si p divise ab alors p divise a ou p divise b.
p irréductible (p) est premier.
Le lemme de Gauss: Si c est premier avec a et que c divise ab alors c divise b.
Démonstration Commençons par rappeler que dans un anneau intègre, il est toujours vrai que si (p) est un idéal premier alors p est irréductible. Supposons alors que 2 est vrai et démontrons que p irréductible
(p) est premier. Soit a et b des éléments de A tels que ab(p). On sait donc que p|ab. Le lemme d'Euclide permet d'affirmer que p divise a ou que p divise b. Donc que a ou b est élément de (p), Cqfd.
Montrons aussi que 3
2. Supposons pour cela que 3 est vrai. Soit p un élément irréductible de A et soient a et bA tels que p|ab. ab est alors élément de (p). Cet idéal étant premier, a ou b,nécessairement, est élément de (p). Donc p|a ou p|b. Cela implique le lemme d'Euclide.
On a donc démontré 2
3.
Montrons maintenant que 1
2. Supposons dons que A vérifie P' ( qui est équivalent à P). Soit x un élément irréductible de A et soient a,bA tels que x|ab. Il suffit de démontrer que v(a)1 ou que v(b)1. Comme les propriétés P' et P' sont, par hypothèse, vérifiées, on peut écrire:
x divise ce produit, donc v(ab)1. Mais pour tout p
, v(ab)=v(a)+v(b). Donc v(a)+v(b)1. v(a) et v(b) étant des entiers positifs, cela implique que soit v(a)1, soit v(b)1. C'est à dire, soit x divise a, soit x divise b. Ceci permet de vérifier le lemme d'Euclide.
Montrons que 2
1. Si l'anneau A vérifie le lemme d'Euclide, et si aA,montrons qu'on a une unique décomposition de a en produit d'éléments irréductibles. Supposons que
Nous devons montré que v(a)=v'(a) pour tout p. Soit p
tel que v(a)1. p est donc un diviseur de a. Il divise par conséquent le produit
Comme p est premier avec tout les p'
qui sont différents de p, il est nécessaire que v'(a)1. En répétant ce raisonnement sur
et sur
pour i=1,...,v(a), on démontre que v(a)v'(a). De même on démontrerait que v'(a) v(a). On a alors établis que v(a)=v'(a). Cela est vrai pour tout p
. L'unicité de la décomposition en éléments irréductibles est donc assurée.
Intéressons nous à 4
2. Supposons que sur l'anneau A, le lemme de Gauss soit vérifié. Soit p un élément irréductible de A. Soient a,bA tels que p|ab. Si p n'est pas premier avec a alors, comme p est irréductible, p divise a, Cqfd ( comme p et a ne sont pas premiers entre eux, il existe d un élément de A tel que d divise a et d divise p. Mais comme p est irréductible, cet élément d est soit inversible soit égal à p. Si il est inversible alors p et a sont premiers entre eux. cet élément d est donc égal à p et p divise bien a). Sinon p est premier avec a et d'après le lemme de Gauss, p divise b.
Cette dernière implication permet de terminer la démonstration de l'équivalence des quatres points du théorème.
Proposition Si A est un anneau intègre et noethérien alors A vérifie P.
Démonstration Considérons l'ensemble des idéaux de A de la forme (a) ou a est un élément de A qui n'a pas de décomposition de la forme u.p. ... . p où uA et où p
pour i=1,...,r. On suppose que est non vide. Comme A est noethérien, possède un élément maximal (x) pour l'inclusion. Pour tout (a)
, (a)(x). Si x était irréductible alors (x) ne serait pas élément de . Donc on peut écrire x sous la forme x=ab avec a,bA et a,b non inversibles. Mais a et b ne peuvent, en même temps, possèder une décomposition en élément irréductible de la forme u.p. ... . p car sinon il en serait de même de leur produit et donc de x. (a) ou (b) est donc élément de. Supposons que (a) est élément de , on peut écrire (x)(a). Ceci est en contradiction avec la maximalité de (x). Par conséquent est vide et tout élément de A possède une décomposition en facteurs irréductibles.
Proposition Si A est un anneau principal alors A est factoriel.
Démonstration Si A est principal il est noéthérien et intègre. On peut alors lui appliquer la propriété précédente et conclure.