Définition - Proposition Soit A un anneau factoriel. Si on considère deux éléments a et b de A, on peut trouver des éléments c et d de A tels que:
(c) soit le plus grand idéal principal de A (au sens de l'inclusion) tel que (c)(a) et (c)(b).
(d) est le plus petit idéal principal de A (au sens de l'inclusion) tel que (a)(d) et (b)(d).
c est le plus petit commun multiple (ppcm) de a et b.
d est le plus grand commun diviseur (pgcd) de a et b.
On notera de plus d=ab.
Démonstration Il suffit de considérer pour c:
et pour d:
Proposition Soit A un anneau principal et soient a,bA
. Soit c=ppcm(a,b) et d=ab. c et d vérifient les égalités:
Démonstration Soit x un élément de (c) alors c|x. Comme a|c et que b|c, a|x et b|x. Mais x est alors élément de (a) et de (b) donc de (a)(b). De plus, (a)(b) est un idéal de A contenu dans (a) et (b). Comme (c) est le plus grand idéal de A vérifiant cette propriété, (a)(b) est contenu dans (c), d'où l'inclusion réciproque.
Soit x un élément de (a)+(b). Alors il existe des éléments k et k' de A tels que x=ka+k'b. Mais d divise a et b donc d divise une combinaison linéaire de leur somme et d divise donc x. x est alors élément de (d). Donc (a)+(b)(d). De plus (a)(a)+(b) et (b)(a)+(b). (a)+(b) est donc un idéal de A qui contient (a) et (b). Il est par définition de (d) contenu dans (d). Donc (d)=(a)+(b).
Théorème de Bezout A est un anneau principal. Alors a et b sont des éléments de A premiers entre eux si et seulement si il existe u et v dans A tels que au+bv=1.
Démonstration Supposons que a et b sont premiers entre eux, ab=1. On en déduit que (a)+(b)=A. En particulier, il existe u et v dans A tels que au+bv=1. Réciproquement si il existe u et v tel que au+bv=1, alors si d est un élément de A qui divise à la fois a et b, il existe a' et b' dans A tels que a=d.a' et b=d.b'. Mis dans l'égalité précédente, cela donne: d(a'.u+b'.v)=1. Cette égalité signifie que d est inversible et donc élément de A. a et b sont donc bien premiers entre eux.
Définition De la même façon que l'on a défini le pgcd de deux éléments d'un anneau principal A, on peut définir le pgcd de n éléments a,...,a de cet anneau: c'est le générateur du plus petit idéal de A qui contient chacun des idéaux (a).
Définition On peut encore définir le ppcm de n éléments a,...,a d'un anneau principal en affirmant que c'est le générateur du plus grand idéal de A qui est contenu dans chacun des (a).
Proposition de Bezout généralisée Soit A un anneau principal. Soient a,...,a des éléments de A. On a équivalence entre a,...,a sont premiers entre eux et pgcd(a,...,a)=1.
Démonstration La démonstration est absolument l'analogue de celle faite pour le théorème de Bezout précédent.