Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
143 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Pgcd, Ppcm, Théorème de Bezout next up previous
suivant: Anneaux Euclidiens monter: Anneaux factoriels, Anneaux euclidiens précédent: Anneaux factoriels

Pgcd, Ppcm, Théorème de Bezout

Définition - Proposition Soit A un anneau factoriel. Si on considère deux éléments a et b de A, on peut trouver des éléments c et d de A tels que:

  • (c) soit le plus grand idéal principal de A (au sens de l'inclusion) tel que (c)$\subset$(a) et (c)$\subset$(b).
  • (d) est le plus petit idéal principal de A (au sens de l'inclusion) tel que (a)$\subset$(d) et (b)$\subset$(d).
c est le plus petit commun multiple (ppcm) de a et b.
d est le plus grand commun diviseur (pgcd) de a et b.
On notera de plus d=a$\wedge$b.

Démonstration Il suffit de considérer pour c:

$\displaystyle c=\displaystyle{\prod_{p\in \cal{P}} p^{sup(v_p(a),v_p(b))}}$

et pour d:

$\displaystyle d=\displaystyle{\prod_{p\in \cal{P}} p^{inf(v_p(a),v_p(b))}}.$


Proposition Soit A un anneau principal et soient a,b$\in$A $ \setminus \{0\}$. Soit c=ppcm(a,b) et d=a$\wedge$b. c et d vérifient les égalités:

$\displaystyle (c)=(a)\cap(b)$

$\displaystyle (d)=(a)+(b).$


Démonstration Soit x un élément de (c) alors c|x. Comme a|c et que b|c, a|x et b|x. Mais x est alors élément de (a) et de (b) donc de (a)$\cap$(b). De plus, (a)$\cap$(b) est un idéal de A contenu dans (a) et (b). Comme (c) est le plus grand idéal de A vérifiant cette propriété, (a)$\cap$(b) est contenu dans (c), d'où l'inclusion réciproque.
Soit x un élément de (a)+(b). Alors il existe des éléments k et k' de A tels que x=ka+k'b. Mais d divise a et b donc d divise une combinaison linéaire de leur somme et d divise donc x. x est alors élément de (d). Donc (a)+(b)$\subset$(d). De plus (a)$\subset$(a)+(b) et (b)$\subset$(a)+(b). (a)+(b) est donc un idéal de A qui contient (a) et (b). Il est par définition de (d) contenu dans (d). Donc (d)=(a)+(b).

Théorème de Bezout A est un anneau principal. Alors a et b sont des éléments de A premiers entre eux si et seulement si il existe u et v dans A tels que au+bv=1.
Démonstration Supposons que a et b sont premiers entre eux, a$\wedge$b=1. On en déduit que (a)+(b)=A. En particulier, il existe u et v dans A tels que au+bv=1. Réciproquement si il existe u et v tel que au+bv=1, alors si d est un élément de A qui divise à la fois a et b, il existe a' et b' dans A tels que a=d.a' et b=d.b'. Mis dans l'égalité précédente, cela donne: d(a'.u+b'.v)=1. Cette égalité signifie que d est inversible et donc élément de A$^{*}$. a et b sont donc bien premiers entre eux.

Définition De la même façon que l'on a défini le pgcd de deux éléments d'un anneau principal A, on peut définir le pgcd de n éléments a$_1$,...,a$_n$ de cet anneau: c'est le générateur du plus petit idéal de A qui contient chacun des idéaux (a$_i$).

Définition On peut encore définir le ppcm de n éléments a$_1$,...,a$_n$ d'un anneau principal en affirmant que c'est le générateur du plus grand idéal de A qui est contenu dans chacun des (a$_i$).

Proposition de Bezout généralisée Soit A un anneau principal. Soient a$_1$,...,a$_n$ des éléments de A. On a équivalence entre a$_1$,...,a$_n$ sont premiers entre eux et pgcd(a$_1$,...,a$_n$)=1.

Démonstration La démonstration est absolument l'analogue de celle faite pour le théorème de Bezout précédent.


next up previous
suivant: Anneaux Euclidiens monter: Anneaux factoriels, Anneaux euclidiens précédent: Anneaux factoriels
E_Vieillard-Baron
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page