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Anneaux Euclidiens

La difficulté pour définir une division sur un anneau est que l'anneau considéré n'est pas forçément un ensemble ordonné ( Pensez par exemple aux anneaux polynomiaux). C'est pour cela qu'il nous faut recourir à une fonction qui nous permettra de ``plonger'' les éléments de notre anneau dans $ {\mathbb{N}}$qui lui est ordonné.

Définition Soit A un anneau. On dit que A est muni d'une division Euclidienne si il existe une application u:A$\setminus$0 $\rightarrow$ $ {\mathbb{N}}$telle que si a et b sont éléments de A$\setminus$0 alors il existe q et r $\in$A vérifiant a=bq+r et r=0 ou u(r)<u(b).

Remarquons que cette application u est dans le cas des anneaux polynômiaux l'application qui à un polynôme associe son degré.

Définition Un anneau A est Euclidien si:

  • A est intègre.
  • A possède une division Euclidienne.
$ $

Proposition Un anneau Euclidien est principal.

Démonstration Soit A un anneau Euclidien. A est par définition intègre. Soit I un idéal de A et soit u l'application de A dans $ {\mathbb{N}}$permettant de définir une division euclidienne sur A. Soit x un élément de I tel que u(x) soit minimal. Alors pour tout a dans I, il existe q et r dans A tels que a=xq+r. De plus soit r est nul soit il vérifie u(r)<u(x). Remarquons que x étant élément de I, il en est de même de xq. De plus, comme a-xq est aussi élément de I, r est élément de I. L'inégalité u(r)<u(b) est donc, par choix de x, impossible. Nécessairement, r=0 et a=qx. Comme a est quelconque dans I, I=(x). A est par conséquent principal.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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