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Qui sont-ils?

Définition Soit A un anneau. On appelle polynôme sur A ou à coefficient dans A toute application P vérifiant:

  • P:A$\rightarrow$A.
  • Il existe n$\in$${\mathbb{N}}$et a$_0$,...,a$_n$ dans A tels que $\forall$ x$\in$A, P(x)=a$_0$+a$_1$X+...+a$_n$X$^{n}$.
Les éléments a$_i$ de P sont appelés les coefficients de P.
a$_i$X$^{i}$ est le terme de degré i de P.
a$_i$ est le coefficient du terme de degré i.
L'ensemble des polynômes sur A est noté A[X].

Remarque Le polynôme nul est le polynôme ayant comme coefficient pour le terme de degré i l'élément nul de A et ce pour tout i dans ${\mathbb{N}}$.

Remarquons que pour tout n$\in$${\mathbb{N}}$, le polynôme P possède un terme de degré n. Dans le pire des cas, ce terme est nul.

Définition Un polynôme P de la forme P(X)=aX$^{k}$ est appelé un monôme de degré k.

Définition Soit A un anneau. Soient P et Q des polynômes sur A définis par :

\begin{displaymath}P(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i x^i}\end{displaymath}

et

\begin{displaymath}Q(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^m b_i X^i}.\end{displaymath}

On définit la somme de P et Q comme étant le polynôme noté P+Q et dont le terme d'ordre i a pour coefficient a$_i$+b$_i$
On définit aussi le produit des deux polynômes P et Q par le polynôme que l'on note PQ ou P.Q et dont le coefficient du terme de degré i vaut ${\displaystyle \sum_{k=0}^i a_k.b_{i-k}}$.

Proposition Soit A un anneau. L'ensemble A[X] des polynômes définit sur A muni de la multiplication et de l'addition précédemment définies possède une structure d'anneau.

Démonstration C'est facile à vérifier mais un peu long à écrire dans un traitement de texte.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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