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Racines d'un polynôme

Définition Soit $\alpha\in$A et soit P$\in$A[X]. $\alpha$ est une racine de P si et seulement si P($\alpha$)=0.

Avant toute chose, nous allons énonçer et démontrer ce petit lemme qui semble bien anodin:

Lemme Soit A un anneau et soit P un élément de A[X]. Soit aussi $\alpha\in$A. On peut alors trouver des éléments b$_0$,...,b$_n\in$A tels que P s'écrive:

\begin{displaymath}P(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^n b_i (X-\alpha)^i}.\end{displaymath}


Démonstration P s'écrit:

\begin{displaymath}P(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i X^i}.\end{displaymath}

Posons t=X+$\alpha$. Alors

\begin{displaymath}P(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i X^i = \sum_{i=0}^n a_i (X-\alpha+\alpha)^i=\sum_{i=0}^n a_i ((X-\alpha)+\alpha)^i}.\end{displaymath}

La formule du binôme donne, pour tout i=0,...,n:

\begin{displaymath}( (X-\alpha)+\alpha)^i=\displaystyle{\sum_{k=0}^iC_i^k(X-\alpha)^k\alpha^{i-k}}.\end{displaymath}

P(X) est donc de la forme:

\begin{displaymath}P(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^n \sum_{k=0}^i c_k (X-\alpha)^k}\end{displaymath}

où les c$_k$ sont éléments de A. On peut encore, en réunissant dans cette expression de P(X), les termes (X-$\alpha$) de même puissance, écrire P(X) sous la forme:

\begin{displaymath}P(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^n b_i (X-\alpha)^i}\end{displaymath}

où les b$_i$ sont éléments de A.

Proposition Soit A un anneau et P un élément de A[X]. Si $\alpha\in$A est une racine de P alors il existe un polynôme Q de A[X] tel que $P(X)=(X-\alpha)Q(X)$.

Démonstration On suppose que P s'écrit

\begin{displaymath}P(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i X^i}.\end{displaymath}

On utilise le lemme fraichement démontré: On peut trouver des coefficients b$_i$ dans A tel que P s'écrive:

\begin{displaymath}P(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^n b_i (X-\alpha)^i}.\end{displaymath}

Comme $\alpha$ est une racine de P, P($\alpha$)=0 et donc le coefficient b$_0$ est nul. P s'écrit donc:

\begin{displaymath}P(X)=b_1(X-\alpha)+b_2(X-\alpha)^2+...+b_n(X-\alpha)^n.\end{displaymath}

On peut mettre, dans cette expression, (X-$\alpha$) en facteur. Cela donne:

\begin{displaymath}P(X)=(X-\alpha)(b_1+b_2(X-\alpha)+...+b_n(X-\alpha)^{n-1}).\end{displaymath}

Le polynôme Q(X) est alors tout trouvé et la proposition est démontrée.

Définition Soit $\alpha$ une racine d'un polynôme P définit sur un anneau A. Le plus grand entier n tel que $(X-\alpha)^n$ divise P est appelé la multiplicité de $\alpha$ dans P. Si n=1, on dit que $\alpha$ est une racine simple de P.

Proposition Soit A un anneau et P un élément de A[X]. On suppose que P s'écrit

\begin{displaymath}P(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i x^i}\end{displaymath}

où les a$_i\in$A et où les a$_i$ ne sont pas tous nuls. Alors P a au plus n racines dans A.

Démonstration Montrons la propriété par récurrence. Si n=1, P ressemble à un polynôme du type aX+b. Il est clair que P a au plus une racine dans A. Supposons le résultat vrai à l'ordre n-1.Supposons aussi que P a plus de n racines dans A. Soient alors $\alpha_1$,...,$\alpha_{n+1}$ n+1 racines distinctes de P. Appliquons la proposition précédente à $\alpha=\alpha_1$. Il existe un polynôme Q1 de A[X] tel que P s'écrive P(X)=(X-$\alpha_1$)Q1(X). Notons que Q1(X) a une écriture de la forme $b_1+b_2 X+...+b_n X^{n-1}$ où les b$_i$ sont éléments de A. Mais P($\alpha_i$) est nul pour tout i=2,...,n+1. Q a donc plus de n-1 racines. On peut appliquer notre hypothèse de récurrence et donc affirmer que l'on a aboutit à une contradiction. P ne peut avoir plus de n racines.

Proposition Soit A un anneau possédant un nombre infini d'éléments et P un polynôme sur A. Alors P est égal au polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Démonstration Si tous les coefficients de P sont nuls alors P est égal au polynôme nul. Réciproquement si P est identiquement nul, alors P a plus de n racines et ce quelque soit n dans ${\mathbb{N}}$( car A possède un nombre infini d'éléments). La seule possibilité pour P est, d'après la proposition précédente, d'avoir tous ses coefficients nuls.

Corollaire Soient P et Q des polynômes définis sur un anneau A possédant une infinité d'éléments. On suppose que

\begin{displaymath}P(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i X^i} \end{displaymath}

et que

\begin{displaymath}Q(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^m b_i X^i}.\end{displaymath}

Si P et Q sont égaux en tout point de A alors P et Q ont la même écriture polynomiale: n=m et $\forall$ i=0,...,n a$_i$=b$_i$.

Démonstration Il suffit d'appliquer le résultat précédent à P-Q: ce polynôme est nul donc ces coefficients sont nuls. Ceci implique l'égalité entre les coefficients de P et ceux de Q.

On vient de démontrer un résultat plus important qu'il n'y paraît. En effet, on vient de prouver qu'une fonction polynomiale n'a qu'une écriture possible sous la forme

\begin{displaymath}{\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i X^i}.\end{displaymath}

En particulier, le plus grand entier n tel que a$_n\neq$0 est uniquement déterminé. Cet entier n s'appelle le degré du polynôme.

Définition Soit P un polynôme non nul de la forme

\begin{displaymath}P(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i X^i}.\end{displaymath}

Le plus grand entier n tel que a$_n\neq$0 est appelé le degré du polynôme P. On notera: deg(P) ou deg P le degré de P. Si P est le polynôme nul, on convient que deg(P)=-$\infty$.

Définition Soit P un polynôme de degré n. Le coefficient du monôme de degré n est appelé coefficient dominant de P.

Définition Si le coefficient dominant d'un polynôme est 1 alors on dit que le polynôme est unitaire. (1 désigne l'unité de l'anneau sur lequel le polynôme est défini).

La notion de degré d'un polynôme va permettre de travailler sur les anneaux polynomiaux et d'en fixer les propriétés.

Remarque On suppose pour tout ce qui suit que les anneaux utilisés ont une infinité d'éléments.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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