Convention: Afin de rendre valide la propriété suivante, on supposera les règles d'additions suivantes:
Proposition Soit A un anneau intègre et P,Q deux polynômes sur A. Alors:
Démonstration On suppose tout d'abord que les deux polynômes, P et Q sont non nuls. On peut écrire
et
où n=deg(P) et où m=deg(Q). P.Q s'écrit alors:
Remarquons que le monôme de degré n.m a pour coefficient a.b. Les deux facteurs de ce produit ne sont pas nuls ( autrement P et Q ne seraient pas du degré supposé), l'anneau étant intègre, le produit n'est donc pas nul et donc le degré de P.Q est bien n+m. Si P ou (et) Q est (sont) nul(s), la convention précédente nous permet de vérifier là encore la formule sur le degré.
Voici une application directe de cette formule.
Proposition Soit A un anneau intègre. Alors A[X] est aussi un anneau intègre.
Démonstration Soient P et Q des éléments de A[X]. On suppose que P.Q=0. La formule précédente qui est vraie dès que l'anneau est intègre nous permet d'écrire: deg(P)+deg(Q)=-. Ceci n'est possible que si deg(P) ou deg(Q)=- et donc que si P ou Q est nul. A[X] est bien intègre.
Voici une autre application de cette formule
Proposition Si A est un anneau intègre et que P est un élément inversible de A[X] alors P est en fait élément de A.
Démonstration P est inversible dans A[X]. On peut donc trouver QA[x] tel que P.Q=1. On peut alors écrire: 0=deg(P.Q)=deg(P)+deg(Q). Ceci implique que deg(P)=deg(Q)=0. P et Q sont donc éléments de A. Comme P.Q=1, ils sont aussi éléments de A
Grâce à la notion de degré d'un polynôme, nous allons pouvoir définir une division Euclidienne sur les anneaux polynomiaux. Rappelons que l'existence de cette division était conditionnée par l'existence d'une application de A[X]
. Cette application sera bien évidemment l'application qui à un polynôme de A[X]
associe son degré. Cette division ne sera par contre définie que pour les polynômes de coefficient dominant inversible.
Proposition Soit A un anneau intègre et soit P un élément non nul de A[X]. On suppose de plus que P est de coefficient dominant inversible. Soit L un autre élément de A[X]. Il existe Q et R dans A[X] tels que:
L=P.Q+R.
deg R < deg P ou R=0.
Démonstration Comme le coefficient dominant de P est inversible, on peut supposer ( quitte à multiplier P par l'inverse de son coefficient dominant) que P est unitaire.Notons:
Etudions l'image de L dans l'anneau quotient A[X]/(P). ( Rappelons que (P) désigne l'idéal engendré par P). Si la classe d'équivalence de L dans ce quotient a pour représentant un polynôme de degré plus petit que deg P ou a pour représentant le polynôme nul, c'est gagné car ( si on note M le représentant recherché), il existe Q dans A[X] tel que L-M=Q.P et on a obtenu le résultat escompté. Si L est un polynôme de degré plus petit que deg P ou est le polynôme nul, alors le représentant est tout trouvé: c'est L. Sinon, la classe d'équivalence de P dans A[X]/(P) admet le polynôme nul comme représentant. L'égalité suivante est donc vraie dans le quotient:
Cette égalité nous permet d'écrire le monôme x ainsi que tous les monômes de la forme x, i>0 en fonction des monômes 1,x,...,x. Dans A[X]/(P), le polynôme L est donc égal à un polynôme ne s'écrivant qu'avec des monômes de degré strictement plus petit que deg P. On a ainsi trouvé un représentant de la classe de L dans A[X]/(P) comme voulu. Cela démontre notre proposition.
Corollaire Si k est un corps, k[X] muni de la division définie via la fonction degré est un anneau Euclidien.
Démonstration Les éléments de k[X] ont leur coefficient dominant ( et les autres...) qui sont éléments de k et qui sont donc inversibles. On peut alors leur appliquer la proposition précédente.