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Quelques propriétés des anneaux polynomiaux

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Quelques propriétés des anneaux polynomiaux

Convention: Afin de rendre valide la propriété suivante, on supposera les règles d'additions suivantes:

$\begin{displaymath}-\infty+-\infty=-\infty,\; -\infty + n= -\infty.\end{displaymath}$

Proposition Soit A un anneau intègre et P,Q deux polynômes sur A. Alors:

$\begin{displaymath}deg(P.Q)=deg(P)+deg(Q).\end{displaymath}$

Démonstration On suppose tout d'abord que les deux polynômes, P et Q sont non nuls. On peut écrire

$\begin{displaymath}P(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i X^i} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}Q(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^m b_i X^i}.\end{displaymath}$

où n=deg(P) et où m=deg(Q). P.Q s'écrit alors:

$\begin{displaymath}(P.Q)(X)={\displaystyle \sum_{i=0}^{n+m}\sum_{k=0}^i a_k.b_{i-k}} X^i.\end{displaymath}$

Remarquons que le monôme de degré n.m a pour coefficient a

. Les deux facteurs de ce produit ne sont pas nuls ( autrement P et Q ne seraient pas du degré supposé), l'anneau étant intègre, le produit n'est donc pas nul et donc le degré de P.Q

est bien n+m. Si P ou (et) Q est (sont) nul(s), la convention précédente nous permet de vérifier là encore la formule sur le degré.

Voici une application directe de cette formule.

Proposition Soit A un anneau intègre. Alors A[X] est aussi un anneau intègre.

Démonstration Soient P et Q des éléments de A[X]. On suppose que P.Q=0. La formule précédente qui est vraie dès que l'anneau est intègre nous permet d'écrire: deg(P)+deg(Q)=- $\infty$ . Ceci n'est possible que si deg(P) ou deg(Q)=- $\infty$ et donc que si P ou Q est nul. A[X] est bien intègre.

Voici une autre application de cette formule

Proposition Si A est un anneau intègre et que P est un élément inversible de A[X] alors P est en fait élément de A $^{*}$ .

Démonstration P est inversible dans A[X]. On peut donc trouver Q $\in$ A[x] tel que P.Q=1. On peut alors écrire: 0=deg(P.Q)=deg(P)+deg(Q). Ceci implique que deg(P)=deg(Q)=0. P et Q sont donc éléments de A. Comme P.Q=1, ils sont aussi éléments de A $^{*}$

Grâce à la notion de degré d'un polynôme, nous allons pouvoir définir une division Euclidienne sur les anneaux polynomiaux. Rappelons que l'existence de cette division était conditionnée par l'existence d'une application de A[X] $\setminus\lbrace 0\rbrace\rightarrow$ ${\mathbb{N}}$ . Cette application sera bien évidemment l'application qui à un polynôme de A[X] $\setminus\lbrace 0\rbrace$ associe son degré. Cette division ne sera par contre définie que pour les polynômes de coefficient dominant inversible.

Proposition Soit A un anneau intègre et soit P un élément non nul de A[X]. On suppose de plus que P est de coefficient dominant inversible. Soit L un autre élément de A[X]. Il existe Q et R dans A[X] tels que:

L=P.Q+R.
deg R < deg P ou R=0.

Démonstration Comme le coefficient dominant de P est inversible, on peut supposer ( quitte à multiplier P par l'inverse de son coefficient dominant) que P est unitaire.Notons:

$\begin{displaymath}P=a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}+x^n\end{displaymath}$

Etudions l'image de L dans l'anneau quotient

A[X]/(P)

. ( Rappelons que (P) désigne l'idéal engendré par P). Si la classe d'équivalence

de L dans ce quotient a pour représentant un polynôme de degré plus petit que deg P ou a pour représentant

le polynôme nul, c'est gagné car ( si on note M le représentant recherché), il existe Q dans A[X] tel que L-M=Q.P

et on a obtenu le résultat escompté. Si L est un polynôme de degré plus petit que deg P ou est le polynôme nul, alors le représentant est tout trouvé: c'est L. Sinon, la classe d'équivalence de P dans A[X]/(P) admet le polynôme nul comme représentant. L'égalité suivante est donc vraie dans le quotient:

$\begin{displaymath}x^n=a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}.\end{displaymath}$

Cette égalité nous permet d'écrire le monôme x

ainsi que tous les monômes de la forme x $^{n+i}$ , i>0 en fonction des monômes 1,x,...,x $^{n-1}$ . Dans A[X]/(P), le polynôme L est donc égal à un polynôme ne s'écrivant qu'avec des monômes de degré strictement plus petit que deg P. On a ainsi trouvé un représentant de la classe de L dans A[X]/(P) comme voulu. Cela démontre notre proposition.

Corollaire Si k est un corps, k[X] muni de la division définie via la fonction degré est un anneau Euclidien.

Démonstration Les éléments de k[X] ont leur coefficient dominant ( et les autres...) qui sont éléments de k et qui sont donc inversibles. On peut alors leur appliquer la proposition précédente.