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Petite étude des éléments irréductibles dans A[X]

Définition Soit A un anneau factoriel. Soit P un polynôme de A[X]. On suppose que P s'écrit

\begin{displaymath}P=a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n.\end{displaymath}

Le contenu de P est l'élément de A que l'on note c(P) et qui est égal au pgcd(a$_0$,...,a$_n$).

Définition Un polynôme est dit primitif si son contenu vaut 1.

Lemme Soit A un anneau factoriel. Soient P et Q des éléments de A[X]. L'égalité suivante est vraie dans A/A$^{*}$:

\begin{displaymath}c(P.Q)=c(P).c(Q).\end{displaymath}


Démonstration Démontrons déjà cette égalité dans le cas où P et Q sont primitifs. Il suffit en fait de démontrer que le contenu de P.Q vaut 1. C'est à dire que si le pgcd des coefficients de P et Q est 1 modulo un élément de A$^{*}$, alors il en est de même pour celui des coefficients de P.Q. Si a$_l$ désignent les coefficients de P et b$_m$ ceux de q, les coefficients de P.Q sont de la forme: ${\displaystyle \sum_{k=0}^i a_k.b_{i-k}}$ pour i allant de 0 à deg P + deg Q. Soit d un diviseur de c(PQ). Comme A est factoriel, on peut supposer que d est irréductible. d divise donc les quantités ${\displaystyle \sum_{k=0}^i a_k.b_{i-k}}$ pour tout i allant de 0 à deg P+deg Q. Comme c(P)=1 et c(Q)=1, on peut trouver k$_1$ et k$_2$ tels que d|a$_k \forall k$<k$_1$ et d|b$_k \forall k$<k$_2$ mais d ne divise ni a$_{k_1}$ ni b$_{k_2}$. Comme d|c(PQ), d divise en particulier le coefficient du terme de degré k$_1$+k$_2$

\begin{displaymath}a_0b_{k_1+k_2}+...+a_{k_1+k_2}b_0\end{displaymath}

de PQ. Remarquons que d|a$_i$b $_{k_1+k_2-i} \forall$i=0,...,k$_1$+k$_2$ sauf si i=k$_1$ (car d'après le lemme d'Euclide, si un irréductible divise un produit, il divise nécessairement un des facteurs du produit). d ne peut diviser le coefficient d'ordre k$_1$+k$_2$ de PQ. Ce qui est en contradiction avec notre hypothèse de départ. Donc c(PQ)=1.
Si c(P)$\neq$1 ou c(Q)$\neq$l, alors P s'écrit P=c(P).P' où P' est un élément de A[X] vérifiant c(P')=1 et Q s'écrit Q=c(Q).Q' où Q' vérifie c(Q')=1. Clairement, c(PQ) = c((c(P).c(Q).P'.Q') = c(P).c(Q)c(P'.Q') = c(P).c(Q).

Proposition A est un anneau factoriel. K est le corps des fractions de A. Les polynômes irréductibles dans A[X] sont:

  • Les polynômes de degré 0 ( qui sont des éléments de A ) qui sont irréductibles dans A.
  • Les polynômes de degré $\geq$1 primitifs et irréductibles dans K[X] où K désigne le corps des fractions de A..
$\;$

Démonstration Commençons par montrer que ces éléments sont bels et bien des irréductibles. Soit a un élément irréductible de A. Supposons qu'il existe P,Q$\in$A[X] tels que a=P.Q. Comme A est factoriel, il est intègre. La notion de degré d'un polynôme de k[X] est donc bien définie. Mais deg(P.Q)=deg(P)+deg(Q). Ceci implique que deg(P)=deg(Q)=0. P et Q sont donc des éléments de A. Comme a est irréductible dans A, soit P est inversible dans A et donc dans A[X], soit Q est inversible dans A (et donc aussi dans A[X]). a est bien irréductible dans A[X].
Supposons que R est un polynôme de degré $\geq$1 de A[X] primitif et irréductible dans K[X]. Supposons qu'il existe P,Q$\in$A[X] tels que R=P.Q. Cette égalité est encore vraie dans K[X]. Donc P ou Q est un élément inversible de k[X]. On en déduit que P ou Q est élément de K. Supposons que Q est élément de K. Q est donc aussi élément de A. Re-nommons alors Q par q. Comme A est factoriel, l'égalité R=q.P nous permet d'affirmer que q divise c(R). Mais c(R)=1. q est donc un élément de A$^{*}$ et R est bien irréductible dans A[X].
Montrons maintenant que ce sont les seuls irréductibles. Soit R un élément irréductible de A[X]. Si deg(R)=0 alors R est clairement un irréductible de A. Sinon, deg(R)>0. Il est nécessaire que c(R)=1. Reste à voir que R est aussi irréductible dans K[X]. Supposons qu'il existe P et Q dans K[X] tels que R=P.Q. P et Q peuvent se re-écrire sous la forme : P=$a_1 \over b_1$P' Q=$a_2 \over b_2$Q' où P' et Q' sont des éléments de A[X] et où a$_i$,b$_i$, i=1,2 sont des éléments de A. On peut de plus supposer que les contenus respectifs de P' et Q' sont égaux à 1. En effet, si par exemple P s'écrit:

\begin{displaymath}P=\displaystyle{\sum_{i=0}^n {c_i \over d_i} X^i},\end{displaymath}

en prenant pour d le ppcm des d$_0$,...,d$_n$, P peut être mis sous la forme

\begin{displaymath}P=\displaystyle{\sum_{i=0}^n {c'_i \over d} X^i}.\end{displaymath}

Prenant maintenant pour c le pgcd des c'$_0$,...,c'$_n$, P s'écrit

\begin{displaymath}P=c.\displaystyle{\sum_{i=0}^n {c''_i \over d} X^i}\end{displaymath}

et si l'on prend pour P': $P'= \displaystyle{\sum_{i=0}^n {c''_i \over d} X^i}$, on a bien c(P')=1. R s'écrit alors: R=${a\over b}$P'.Q' où a=a$_1$.a$_2$ et où b=b$_1$.b$_2$ e où c(P')=c(Q')=1. Cela conduit à l'égalité b.R=a.P'.Q'. Cette dernière égalité entraîne l'égalité b=b.c(R)=a.c(P').c(Q')=a. Donc R=P'.Q'. Comme R est irréductible, on peut supposer, par exemple, que P'est élément de A$^{*}$. P est alors un élément de K$^{*}$ et R est bien irréductible dans K[X].

Théorème de Gauss Si A est un anneau factoriel alors A[X] est factoriel.

Démonstration Rappelons que si A est intègre il en est de même de A[X]. Rappelons aussi que les inversibles de A[X] sont les éléments de A$^{*}$: A[X]$^{*}$=A$^{*}$. Ajoutons encore que si K est un corps, K[X] est principal et que si K[X] est principal, K[X] est factoriel. K désignera ici le corps des fractions de A.
Prouvons pour commencer l'existence d'une décomposition en facteurs irréductibles pour tout élément de A[X]. Soit P$\in$A[X] que l'on suppose primitif. Comme K[X] est factoriel, on peut trouver des polynômes P1,...Pr irréductibles dans K[X] tels que P=P1$^{\alpha_1}$. ... . Pr$^{\alpha_r}$. Les polynômes peuvent être mis sous la forme Pi=$a_i \over b_i$P'i, comme on l'a fait dans la démonstration de la propriété précédente, avec P'i primitif dans A[X]. On obtient alors l'égalité:

\begin{displaymath}\displaystyle{(\prod_{i=1}^r b_i) P=\prod_{i=1}^r a_iP'i^{\alpha_i}} .\end{displaymath}

En passant au contenu, on voit que cette égalité n'est possible que si le produit des b$_i$ est égal à celui des a$_i$ modulo un élément de A$^{*}$. P vérifie alors

\begin{displaymath}\displaystyle{ P=a.\prod_{i=1}^r P'i^{\alpha_i}} \end{displaymath}

où a est élément de A$^{*}$. Si P n'est pas primitif, on peut l'écrire comme produit d'un élément de A et d'un élément primitif de A[X]. Cette décomposition de P permet d'écrire ensuite celle désirée en facteurs irréductibles.
Montrons enfin l'unicité de la décomposition des éléments de P en facteurs irréductibles. Rappelons que cette unicité est équivalente au fait que si P est irréductible dans A[X] $\Leftrightarrow$ (P) est un idéal premier de A[X]. Supposons donc que P est irréductible et montrons ue (P) est un idéal premier de A[X].
Si deg(P)=0 alors P est un irréductible de A et A étant factoriel, (P) est bien premier dans A[X].
Si deg(P)>0, remarquons que K[X] étant factoriel et P étant aussi irréductible dans K[X], (P) est premier dans K[X]. ( Il faut préciser au passage que l'idéal (P) dans K[X] est égal à P.K[X] tandis que l'idéal (P) dans A[X] est égal à P.A[X] ). Cela est équivalent à l'intégrité de K[X]/(P). Considérons l'application i:A[X]/(P)$\rightarrow$K[X]/(P) qui à la classe d'équivalence dans A[X]/(P) d'un polynôme R de A[X] associe sa classe d'équivalence dans K[X]/(P). i est clairement un morphisme d'anneau. Si de plus i est injective, l'intégrité de K[X]/(P) passe sur A[X]/(P). Et cela démontrerait la primalité de (P) dans A[X]. Montrons donc que i est injective. Pour montrer qu'un morphisme est injectif, il suffit de démontrer que son noyau est réduit à 0. Soit Q un polynôme de A[X]. Soit $\overline Q$ sa classe d'équivalence dans A[X]/(P). Supposons que i($\overline Q$)=0. Cela revient à supposer que Q est élément de l'idéal engendré par P.K[X]. Montrons que Q est alors aussi élément de P.A[X]. Cela établira en effet l'égalité $\overline Q$=0. Comme Q est élément de P.K[X], il existe R dans K[X] tel que Q=P.R. Q peut s'écrire d.Q' où Q' est primitif et où d$\in$A. On peut écrire, comme déjà fait dans la démonstration précédente R sous la forme ${a\over b}$.R' où R' est un élément primitif de A[X] et où a,b$\in$A. On peut de plus supposer que a et b sont premiers entre eux. On obtient l'égalité suivante: b.d.Q'=a.R.Q. En passant au contenu, on voit que b divise a. Donc b=a dans A/A$^{*}$. Autrement dit Q=uP.R' où u$\in$A et où Q'$\in$A[X], Cqfd.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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