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Petite étude des éléments irréductibles dans A[X]

monter: Anneaux polynomiaux précédent: Propriétés de A passants

Petite étude des éléments irréductibles dans A[X]

Définition Soit A un anneau factoriel. Soit P un polynôme de A[X]. On suppose que P s'écrit

$\begin{displaymath}P=a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n.\end{displaymath}$

Le contenu de P est l'élément de A que l'on note c(P) et qui est égal au pgcd(a

,...,a

)

Définition Un polynôme est dit primitif si son contenu vaut 1.

Lemme Soit A un anneau factoriel. Soient P et Q des éléments de A[X]. L'égalité suivante est vraie dans A/A $^{*}$ :

$\begin{displaymath}c(P.Q)=c(P).c(Q).\end{displaymath}$

Démonstration Démontrons déjà cette égalité dans le cas où P et Q sont primitifs. Il suffit en fait de démontrer que le contenu de P.Q vaut 1. C'est à dire que si le pgcd des coefficients de P et Q est 1 modulo un élément de A $^{*}$ , alors il en est de même pour celui des coefficients de P.Q. Si a désignent les coefficients de P et b ceux de q, les coefficients de P.Q sont de la forme: $\sum_{k=0}^i a_k.b_{i-k}$ pour i allant de 0 à deg P + deg Q. Soit d un diviseur de c(PQ). Comme A est factoriel, on peut supposer que d est irréductible. d divise donc les quantités $\sum_{k=0}^i a_k.b_{i-k}$ pour tout i allant de 0 à deg P+deg Q. Comme c(P)=1 et c(Q)=1, on peut trouver k et k tels que d|a $_k \forall k$ <k et d|b $_k \forall k$ <k mais d ne divise ni a $_{k_1}$ ni b $_{k_2}$ . Comme d|c(PQ), d divise en particulier le coefficient du terme de degré k+k

$\begin{displaymath}a_0b_{k_1+k_2}+...+a_{k_1+k_2}b_0\end{displaymath}$

de PQ. Remarquons que d|a

b $_{k_1+k_2-i} \forall$ i=0,...,k

sauf si i=k

(car d'après le lemme d'Euclide, si un irréductible divise un produit, il divise nécessairement un des facteurs du produit

). d ne peut diviser le coefficient d'ordre k

de PQ. Ce qui est en contradiction avec notre hypothèse de départ. Donc c(PQ)=1.
Si c(P) $\neq$ 1 ou c(Q) $\neq$ l, alors P s'écrit P=c(P).P' où P' est un élément de A[X] vérifiant c(P')=1 et Q s'écrit Q=c(Q).Q' où Q' vérifie c(Q')=1. Clairement, c(PQ) = c((c(P).c(Q).P'.Q') = c(P).c(Q)c(P'.Q') = c(P).c(Q).

Proposition A est un anneau factoriel. K est le corps des fractions de A. Les polynômes irréductibles dans A[X] sont:

Les polynômes de degré 0 ( qui sont des éléments de A ) qui sont irréductibles dans A.
Les polynômes de degré $\geq$ 1 primitifs et irréductibles dans K[X] où K désigne le corps des fractions de A..

$\;$

Démonstration Commençons par montrer que ces éléments sont bels et bien des irréductibles. Soit a un élément irréductible de A. Supposons qu'il existe P,Q $\in$ A[X] tels que a=P.Q. Comme A est factoriel, il est intègre. La notion de degré d'un polynôme de k[X] est donc bien définie. Mais deg(P.Q)=deg(P)+deg(Q). Ceci implique que deg(P)=deg(Q)=0. P et Q sont donc des éléments de A. Comme a est irréductible dans A, soit P est inversible dans A et donc dans A[X], soit Q est inversible dans A (et donc aussi dans A[X]). a est bien irréductible dans A[X].
Supposons que R est un polynôme de degré $\geq$ 1 de A[X] primitif et irréductible dans K[X]. Supposons qu'il existe P,Q $\in$ A[X] tels que R=P.Q. Cette égalité est encore vraie dans K[X]. Donc P ou Q est un élément inversible de k[X]. On en déduit que P ou Q est élément de K. Supposons que Q est élément de K. Q est donc aussi élément de A. Re-nommons alors Q par q. Comme A est factoriel, l'égalité R=q.P nous permet d'affirmer que q divise c(R). Mais c(R)=1. q est donc un élément de A $^{*}$ et R est bien irréductible dans A[X].
Montrons maintenant que ce sont les seuls irréductibles. Soit R un élément irréductible de A[X]. Si deg(R)=0 alors R est clairement un irréductible de A. Sinon, deg(R)>0. Il est nécessaire que c(R)=1. Reste à voir que R est aussi irréductible dans K[X]. Supposons qu'il existe P et Q dans K[X] tels que R=P.Q. P et Q peuvent se re-écrire sous la forme : P= $a_1 \over b_1$ P' Q= $a_2 \over b_2$ Q' où P' et Q' sont des éléments de A[X] et où a,b, i=1,2 sont des éléments de A. On peut de plus supposer que les contenus respectifs de P' et Q' sont égaux à 1. En effet, si par exemple P s'écrit:

$\begin{displaymath}P=\displaystyle{\sum_{i=0}^n {c_i \over d_i} X^i},\end{displaymath}$

en prenant pour d le ppcm

des d

,...,d

, P peut être mis sous la forme

$\begin{displaymath}P=\displaystyle{\sum_{i=0}^n {c'_i \over d} X^i}.\end{displaymath}$

Prenant maintenant pour c le pgcd

des c'

,...,c'

, P s'écrit

$\begin{displaymath}P=c.\displaystyle{\sum_{i=0}^n {c''_i \over d} X^i}\end{displaymath}$

et si l'on prend pour P': $P'= \displaystyle{\sum_{i=0}^n {c''_i \over d} X^i}$ , on a bien c(P')=1

. R s'écrit alors: R= ${a\over b}$ P'.Q' où a=a

et où b=b

e où c(P')=c(Q')=1. Cela conduit à l'égalité b.R=a.P'.Q'. Cette dernière égalité entraîne l'égalité b=b.c(R)=a.c(P').c(Q')=a. Donc R=P'.Q'. Comme R est irréductible, on peut supposer, par exemple, que P'est élément de A $^{*}$ . P est alors un élément de K $^{*}$ et R est bien irréductible dans K[X]

Théorème de Gauss Si A est un anneau factoriel alors A[X] est factoriel.

Démonstration Rappelons que si A est intègre il en est de même de A[X]. Rappelons aussi que les inversibles de A[X] sont les éléments de A $^{*}$ : A[X] $^{*}$ =A $^{*}$ . Ajoutons encore que si K est un corps, K[X] est principal et que si K[X] est principal, K[X] est factoriel. K désignera ici le corps des fractions de A.
Prouvons pour commencer l'existence d'une décomposition en facteurs irréductibles pour tout élément de A[X]. Soit P $\in$ A[X] que l'on suppose primitif. Comme K[X] est factoriel, on peut trouver des polynômes P1,...Pr irréductibles dans K[X] tels que P=P1 $^{\alpha_1}$ . ... . Pr $^{\alpha_r}$ . Les polynômes peuvent être mis sous la forme Pi= $a_i \over b_i$ P'i, comme on l'a fait dans la démonstration de la propriété précédente, avec P'i primitif dans A[X]. On obtient alors l'égalité:

$\begin{displaymath}\displaystyle{(\prod_{i=1}^r b_i) P=\prod_{i=1}^r a_iP'i^{\alpha_i}} .\end{displaymath}$

En passant au contenu

, on voit que cette égalité n'est possible que si le produit des b

est égal à celui des a

modulo un élément de A $^{*}$ . P vérifie alors

$\begin{displaymath}\displaystyle{ P=a.\prod_{i=1}^r P'i^{\alpha_i}} \end{displaymath}$

où a est élément de A $^{*}$ . Si P n'est pas primitif, on peut l'écrire comme produit d'un élément de A et d'un élément primitif de A[X]. Cette décomposition de P permet d'écrire ensuite celle désirée en facteurs irréductibles.
Montrons enfin l'unicité de la décomposition des éléments de P en facteurs irréductibles. Rappelons que cette unicité est équivalente au fait que si P est irréductible dans A[X] $\Leftrightarrow$ (P) est un idéal premier de A[X]

. Supposons donc que P est irréductible et montrons ue (P) est un idéal premier de A[X].
Si deg(P)=0 alors P est un irréductible de A et A étant factoriel, (P) est bien premier dans A[X]

.
Si deg(P)>0, remarquons que K[X] étant factoriel et P étant aussi irréductible dans K[X], (P) est premier dans K[X]

. ( Il faut préciser au passage que l'idéal (P) dans K[X] est égal à P.K[X] tandis que l'idéal (P) dans A[X] est égal à P.A[X] ). Cela est équivalent à l'intégrité de K[X]/(P)

. Considérons l'application i:A[X]/(P) $\rightarrow$ K[X]/(P) qui à la classe d'équivalence

dans A[X]/(P) d'un polynôme R de A[X] associe sa classe d'équivalence dans K[X]/(P)

. i est clairement un morphisme d'anneau

. Si de plus i est injective, l'intégrité de K[X]/(P) passe sur A[X]/(P). Et cela démontrerait la primalité de (P) dans A[X]

. Montrons donc que i est injective. Pour montrer qu'un morphisme est injectif, il suffit de démontrer que son noyau est réduit à 0

. Soit Q un polynôme de A[X]. Soit $\overline Q$ sa classe d'équivalence

dans A[X]/(P). Supposons que i( $\overline Q$ )=0. Cela revient à supposer que Q est élément de l'idéal engendré par P.K[X]. Montrons que Q est alors aussi élément de P.A[X]. Cela établira en effet l'égalité $\overline Q$ =0. Comme Q est élément de P.K[X], il existe R dans K[X] tel que Q=P.R. Q peut s'écrire d.Q' où Q' est primitif et où d $\in$ A. On peut écrire, comme déjà fait dans la démonstration précédente R sous la forme ${a\over b}$ .R' où R' est un élément primitif de A[X] et où a,b $\in$ A. On peut de plus supposer que a et b sont premiers entre eux

. On obtient l'égalité suivante: b.d.Q'=a.R.Q. En passant au contenu

, on voit que b divise a. Donc b=a dans A/A $^{*}$ . Autrement dit Q=uP.R' où u $\in$ A et où Q' $\in$ A[X], Cqfd.

monter: Anneaux polynomiaux précédent: Propriétés de A passants

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