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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

Introduction

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Introduction

Tous les corps considérés dans ce cours seront des corps commutatifs. Soit un tel corps.

Définition On dit qu'un corps est une extension du corps si, et seulement si, est un sous-corps de .

Exemple $\mathbb{C}$ est une extension de $\mathbb{R}$ et de $\mathbb{Q}$ .

Exemple $\mathbb{R}$ est une extension de $\mathbb{Q}\left( \sqrt{2}\right)$ .

Exemple $\mathbb{Q}\left( \sqrt{2}\right)$ est une extension de $\mathbb{Q}$ .

Exemple Le corps $K\left( X\right)$ des fractions rationnelles à une indeterminée sur le corps est une extension de .

Définition On appelle équation polynomiale sur toute équation de la forme $P\left( x\right) =0$ , où est polynôme appartenant à $K\left[ X\right]$ .

Le degré de cette équation est le degré du polynôme. Les solutions de cette équation $P\left( x\right) =0$ sont les racines du polynôme dans une extension de .

Exemple Une équation de degré 1 est de la forme où $a\in K^{\ast }$ et $b\in K$ .

Exemple Une équation de degré 2 est de la forme $ax^{2}+bx+c=0$ où $a\in K^{\ast }$ , $b\in K$ et $c\in K$ .

Le but de ce cours est de répondre aux deux questions suivantes :

Question 1 : Ayant une équation polynomiale de degré sur un corps , est-il possible de trouver une extension de , dans laquelle, l'équation possède une solution ?

Question 2 : Dans le cas où l'équation polynomiale $P\left( x\right) =0$ possède une solution dans une extension de , sous quelles conditions cette solution s'exprime-elle, à partir des coefficients de P, à l'aide des quatre opérations et des radicaux ?