Tous les corps considérés dans ce cours seront des corps commutatifs.
Soit un tel corps.
Définition
On dit qu'un corps est une extension du corps si, et
seulement si, est un sous-corps de .
Exemple est une extension de
et de
.
Exemple est une extension de
.
Exemple est une extension de
.
Exemple Le corps
des fractions rationnelles à une
indeterminée sur le corps est une extension de .
Définition
On appelle équation polynomiale sur toute équation de la
forme
, où est polynôme appartenant à
.
Le degré de cette équation est le degré du polynôme.
Les solutions de cette équation
sont les
racines du polynôme dans une extension de .
Exemple Une équation de degré 1 est de la forme où
et .
Exemple Une équation de degré 2 est de la forme
où
, et .
Le but de ce cours est de répondre aux deux questions suivantes :
Question 1 : Ayant une équation polynomiale de degré sur
un corps , est-il possible de trouver une extension de , dans
laquelle, l'équation possède une solution ?
Question 2 : Dans le cas où l'équation polynomiale
possède une solution dans une extension de , sous
quelles conditions cette solution s'exprime-elle, à partir des
coefficients de P, à l'aide des quatre opérations et des radicaux ?