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Introduction

Tous les corps considérés dans ce cours seront des corps commutatifs. Soit $ K$ un tel corps.

Définition On dit qu'un corps $ E$ est une extension du corps $ K$ si, et seulement si, $ K$ est un sous-corps de $ E$.

Exemple $ \mathbb{C}$ est une extension de $ \mathbb{R}$ et de $ \mathbb{Q}$.

Exemple $ \mathbb{R}$ est une extension de $ \mathbb{Q}\left( \sqrt{2}\right) $.

Exemple $ \mathbb{Q}\left( \sqrt{2}\right) $ est une extension de $ \mathbb{Q}$.

Exemple Le corps $ K\left( X\right) $ des fractions rationnelles à une indeterminée sur le corps $ K$ est une extension de $ K$.

Définition On appelle équation polynomiale sur $ K$ toute équation de la forme $ P\left( x\right) =0$, où $ P$ est polynôme appartenant à $ K\left[ X\right] $.

Le degré de cette équation est le degré du polynôme. Les solutions de cette équation $ P\left( x\right) =0$ sont les racines du polynôme $ P$ dans une extension $ E$ de $ K$.

Exemple Une équation de degré 1 est de la forme $ ax+b=0$ $ a\in K^{\ast
}$ et $ b\in K$.

Exemple Une équation de degré 2 est de la forme $ ax^{2}+bx+c=0$ $ a\in K^{\ast
}$, $ b\in K$ et $ c\in K$.

Le but de ce cours est de répondre aux deux questions suivantes :

Question 1 : Ayant une équation polynomiale de degré $ n$ sur un corps $ K$, est-il possible de trouver une extension $ E$ de $ K$, dans laquelle, l'équation possède une solution ?

Question 2 : Dans le cas où l'équation polynomiale $ P\left( x\right) =0$ possède une solution dans une extension $ E$ de $ K$, sous quelles conditions cette solution s'exprime-elle, à partir des coefficients de P, à l'aide des quatre opérations et des radicaux ?
$  $


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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