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Corps des racines

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Corps des racines

Soit un corps.

Définition une extension de est un corps de rupture pour le polynôme $f\left( X\right) \in K\left[ X\right]$ sur si, et seulement si, contient une racine de .

Exemple $\mathbb{R}$ est un corps de rupture pour $X^{3}-2$ sur $\mathbb{Q}$ .

Théorème Si $f\left( X\right)$ est un polynôme irréductible dans $K\left[ X\right]$ , alors possède un corps de rupture sur .

Démonstration Soit l'idéal de $K\left[ X\right]$ engendré par le polynôme . est un idéal maximal car $K\left[ X\right]$ est un anneau principal et est irréductible. Si désigne l'anneau quotient $K\left[ X\right] /M$ , alors est un corps. On peut regarder comme un sous-corps de . Pour voir ça, soit
$p;K\left[ X\right] \longrightarrow K\left[ X\right] /M$ la surjection canonique. La restriction de à est un homomorphisme non nul car $p\left( 1\right) =\overline{1}$ . Il en résulte que cet homomorphisme est injectif car son anneau de départ est un corps. On en déduit que est isomorphe à $q\left( K\right)$ , ce qui permet d'identifier et $q\left( K\right)$ . Ainsi devient une extension de . Soit $\alpha=\overline{X\text{ }}=p\left( X\right)$ . En écrivant

$\displaystyle f\left( X\right) =a_{0}+a_{1}X+\cdot\cdot\cdot+a_{n}X^{n}$

nous obtenons

$\displaystyle f\left( \alpha\right)$	$\displaystyle =a_{0}+a_{1}\alpha+\cdot\cdot\cdot+a_{n}\alpha ^{n}$
	$\displaystyle =q\left( a_{0}\right) +q\left( a_{1}\right) p\left( X\right) +\cdot\cdot\cdot+q\left( a_{n}\right) \left( p\left( X\right) \right) ^{n}$
	$\displaystyle =p\left( a_{0}\right) +p\left( a_{1}\right) p\left( X\right) +\cdot\cdot\cdot+p\left( a_{n}\right) \left( p\left( X\right) \right) ^{n}$
	$\displaystyle =p\left( a_{0}+a_{1}X+\cdot\cdot\cdot+a_{n}X^{n}\right)$
	$\displaystyle =p\left( f\right)$
	$\displaystyle =\overline{0}$

Donc

est une extension de

contenant la racine $\alpha$ de

Corollaire Tout polynôme $f\left( X\right) \in K\left[ X\right]$ possède un corps de rupture sur .

Démonstration En effet, tout polynôme $f\in K\left[ X\right]$ se décompose en produit de polynômes irréductibles.

Définition Une extension de est un corps de décomposition pour un polynôme sur si, et seulement si, peut être scindé dans $E\left[ X\right]$ c.d. il peut être décomposé en produit de polynômes linéaires dans $E\left[ X\right]$ .

Exemple Le corps $\mathbb{C}$ est un corps de décomposition sur $\mathbb{R}$ pour le polynôme $X^{2}+1$ .

Exemple Le corps $\mathbb{Q}$ est un corps de décomposition sur $\mathbb{Q}$ pour le polynôme $X^{2}-1$ .

Théorème Tout polynôme $f\in K\left[ X\right]$ possède un corps de décomposi-tion sur .

Démonstration On procède par récurrence sur le degré de . Si , alors est un corps de décomposition pour sur . Supposons le théorème vrai pour tout polynôme de degré plus petit que et démontrons-le pour les polynômes de degré . D'après le corollaire précédent , il existe une extension de contenant une racine de . Le polynôme divise $f\left( X\right)$ dans $E\left[ X\right]$ . Nous avons $f\left( X\right) =\left( X-a\right) g\left( X\right)$ dans $E\left[ X\right]$ , avec $\deg\left( g\right) =n-1$ . L'hypothèse de récurrence nous permet de trouver un corps de décomposition pour $g\left( X\right)$ sur . On a $g\left( X\right) =k\prod\limits_{i=2}^{i=n}\left( X-a_{i}\right)$ dans $F\left[ X\right]$ et

$\displaystyle f\left( X\right) =\left( X-a\right) g\left( X\right) =\left( X-a... ...^{i=n}\left( X-a_{i}\right) =k\prod \limits_{i=1}^{i=n}\left( X-a_{i}\right)$