Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
218 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Corps des racines next up previous
suivant: Adjonction monter: Corps des racines précédent: Introduction

Corps des racines

Soit $ K$ un corps.

Définition une extension $ E$ de $ K$ est un corps de rupture pour le polynôme $ f\left( X\right) \in K\left[ X\right] $ sur $ K$ si, et seulement si, $ E$ contient une racine de $ f$.

Exemple $ \mathbb{R}$ est un corps de rupture pour $ X^{3}-2$ sur $ \mathbb{Q}$.

Théorème Si $ f\left( X\right) $ est un polynôme irréductible dans $ K\left[ X\right] $, alors $ f$ possède un corps de rupture sur $ K$.

Démonstration Soit $ M$ l'idéal de $ K\left[ X\right] $ engendré par le polynôme $ f$. $ M$ est un idéal maximal car $ K\left[ X\right] $ est un anneau principal et $ f$ est irréductible. Si $ E$ désigne l'anneau quotient $ K\left[ X\right] /M$, alors $ E$ est un corps. On peut regarder $ K$ comme un sous-corps de $ E$. Pour voir ça, soit
$ p;K\left[ X\right]
\longrightarrow K\left[ X\right] /M$ la surjection canonique. La restriction $ q$ de $ p$ à $ K$ est un homomorphisme non nul car $ p\left(
1\right) =\overline{1}$. Il en résulte que cet homomorphisme est injectif car son anneau de départ est un corps. On en déduit que $ K$ est isomorphe à $ q\left( K\right) $, ce qui permet d'identifier $ K$ et $ q\left( K\right) $. Ainsi $ E$ devient une extension de $ K$. Soit $ \alpha=\overline{X\text{ }}=p\left( X\right) $. En écrivant

$\displaystyle f\left( X\right) =a_{0}+a_{1}X+\cdot\cdot\cdot+a_{n}X^{n}
$

nous obtenons

$\displaystyle f\left( \alpha\right)$ $\displaystyle =a_{0}+a_{1}\alpha+\cdot\cdot\cdot+a_{n}\alpha ^{n}$    
  $\displaystyle =q\left( a_{0}\right) +q\left( a_{1}\right) p\left( X\right) +\cdot\cdot\cdot+q\left( a_{n}\right) \left( p\left( X\right) \right) ^{n}$    
  $\displaystyle =p\left( a_{0}\right) +p\left( a_{1}\right) p\left( X\right) +\cdot\cdot\cdot+p\left( a_{n}\right) \left( p\left( X\right) \right) ^{n}$    
  $\displaystyle =p\left( a_{0}+a_{1}X+\cdot\cdot\cdot+a_{n}X^{n}\right)$    
  $\displaystyle =p\left( f\right)$    
  $\displaystyle =\overline{0}$    

Donc $ E$ est une extension de $ K$ contenant la racine $ \alpha$ de $ f$.

Corollaire Tout polynôme $ f\left( X\right) \in K\left[ X\right] $ possède un corps de rupture sur $ K$.

Démonstration En effet, tout polynôme $ f\in K\left[ X\right] $ se décompose en produit de polynômes irréductibles.

Définition Une extension $ E$ de $ K$ est un corps de décomposition pour un polynôme $ f$ sur $ K$ si, et seulement si, $ f$ peut être scindé dans $ E\left[ X\right] $ c.d. il peut être décomposé en produit de polynômes linéaires dans $ E\left[ X\right] $.

Exemple Le corps $ \mathbb{C}$ est un corps de décomposition sur $ \mathbb{R}$ pour le polynôme $ X^{2}+1$.

Exemple Le corps $ \mathbb{Q}$ est un corps de décomposition sur $ \mathbb{Q}$ pour le polynôme $ X^{2}-1$.

Théorème Tout polynôme $ f\in K\left[ X\right] $ possède un corps de décomposi-tion sur $ K$.

Démonstration On procède par récurrence sur le degré $ n$ de $ f$. Si $ n=1$, alors $ K$ est un corps de décomposition pour $ f$ sur $ K$. Supposons le théorème vrai pour tout polynôme de degré plus petit que $ n$ et démontrons-le pour les polynômes de degré $ n$. D'après le corollaire précédent , il existe une extension $ E$ de $ K$ contenant une racine $ a$ de $ f$. Le polynôme $ X-a$ divise $ f\left( X\right) $ dans $ E\left[ X\right] $. Nous avons $ f\left( X\right) =\left( X-a\right) g\left(
X\right) $ dans $ E\left[ X\right] $, avec $ \deg\left( g\right) =n-1$. L'hypothèse de récurrence nous permet de trouver un corps de décomposition $ F$ pour $ g\left( X\right) $ sur $ E$. On a $ g\left(
X\right) =k\prod\limits_{i=2}^{i=n}\left( X-a_{i}\right) $ dans $ F\left[
X\right] $ et

$\displaystyle f\left( X\right) =\left( X-a\right) g\left( X\right) =\left(
X-a...
...^{i=n}\left( X-a_{i}\right) =k\prod
\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-a_{i}\right)
$

dans $ F\left[
X\right] $$ a_{1}=a$. Ainsi, $ F$ est un corps de décomposition pour $ f$ sur $ K$.

Définition Un corps de décomposition minimal pour $ f$ sur $ K$ est appelé un corps des racines pour $ f$ sur $ K$.

Exemple $ \mathbb{C}$ est un corps des racines sur $ \mathbb{R}$ pour le polynôme $ X^{2}+1$.

Exemple $ \mathbb{Q}\left( \sqrt{2}\right) $ est un corps de décomposition sur $ \mathbb{Q}$ pour le polynôme $ X^{2}-2$.


next up previous
suivant: Adjonction monter: Corps des racines précédent: Introduction
I_El_Hage_Les-mathematiques.net
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page