Définition
une extension de est un corps de rupture pour le polynôme sur si, et seulement si,
contient une racine de .
Exemple est un corps de rupture pour sur
.
Théorème
Si
est un polynôme irréductible dans
, alors possède un corps de rupture sur .
Démonstration Soit l'idéal de
engendré par le polynôme
. est un idéal maximal car
est un anneau
principal et est irréductible. Si désigne l'anneau quotient
, alors est un corps. On peut regarder comme un
sous-corps de . Pour voir ça, soit la surjection canonique. La
restriction de à est un homomorphisme non nul car
. Il en résulte que cet homomorphisme est injectif
car son anneau de départ est un corps. On en déduit que est
isomorphe à
, ce qui permet d'identifier et
. Ainsi devient une extension de . Soit
. En écrivant
nous obtenons
Donc est une extension de contenant la racine de .
Corollaire
Tout polynôme
possède un
corps de rupture sur .
Démonstration En effet, tout polynôme
se décompose en
produit de polynômes irréductibles.
Définition
Une extension de est un corps dedécomposition
pour un polynôme sur si, et seulement si, peut être scindé dans
c.d. il peut être décomposé en produit de
polynômes linéaires dans
.
Exemple Le corps
est un corps de décomposition sur
pour
le polynôme .
Exemple Le corps
est un corps de décomposition sur
pour
le polynôme .
Théorème
Tout polynôme
possède un corps de
décomposi-tion sur .
Démonstration On procède par récurrence sur le degré de . Si , alors
est un corps de décomposition pour sur . Supposons le
théorème vrai pour tout polynôme de degré plus petit que
et démontrons-le pour les polynômes de degré . D'après le
corollaire précédent , il existe une extension de contenant une racine
de . Le polynôme divise
dans
. Nous avons
dans
, avec
.
L'hypothèse de récurrence nous permet de trouver un corps de
décomposition pour
sur . On a
dans
et
dans
où . Ainsi, est un corps de
décomposition pour sur .
Définition
Un corps de décomposition minimal pour sur est appelé un
corps des racines pour sur .
Exemple est un corps des racines sur
pour le polynôme
.
Exemple est un corps de décomposition sur
pour le polynôme .