Définition
Soit est une partie d'une extension de . Le sous-corps de
engendré par est appelé le corps engendré par A
sur K ou le corps obtenu par l'adjonction de à . On dira
alors que est un système de générateurs de
sur .
Notation
Le corps engendré par sur sera désigné par
. Si est fini et si
sont ses éléments, alors nous écrirons
à
la place de
.
Exemple Si
, alors
.
Exemple .
Remarque
Une extension de peut avoir plusieurs système de générateurs sur : ainsi
.
Théorème
Si et sont deux parties d'une extension de , alors
.
Démonstration Tout sous-corps de qui contient et contient
et . Réciproquement, tout sous-corps de de qui contient
et contient et .Il en résulte que la famille de
tous les sous-corps de contenant , et est égale à celle
de tous les sous-corps de qui contiennent
et .
Ceci prouve que
, qui est le plus petit élément de la première famille, est égal à
, qui est le plus petit élément de la seconde.
Corollaire .
Théorème
Tout polynôme
, possède un corps des racines
sur .
Démonstration Soit un corps de décomposition pour sur . Ce polynôme
s'écrit sous la forme
dans
. Soit
. Il est
facile de voir que est un corps de décomposition pour sur . Ce
corps de décomposition est minimal car, si est un corps de
décomposition pour sur contenu dans , alors s'écrit
dans
. Mais
. Il en résulte que s'écrit de deux manières comme
produit de polynômes linéaires qui sont irréductibles.
L'unicité d'une telle décomposition implique
et
.
D'où
ce qui prouve . est un corps des racines pour sur .
Théorème
Si est un corps de décomposition sur pour le polynôme
, alors contient un corps de
racines unique pour sur .
Démonstration Si
est la décomposition de comme produit de facteurs linéaires dans
, alors
sont les racines de
dans et
est un corps de
racines pour sur comme nous l'avons vu. Si est un autre corps de
racines pour sur , alors s'écrit
Il en résulte
L'unicité d'une telle décomposition implique
et
.
Ainsi
et car est un corps de décomposition
minimal pour sur .