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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

Adjonction

suivant: Degré d'une extension monter: Corps des racines précédent: Corps des racines

Adjonction

Définition Soit est une partie d'une extension de . Le sous-corps de engendré par $K\cup A$ est appelé le corps engendré par A sur K ou le corps obtenu par l'adjonction de à . On dira alors que est un système de générateurs de $K\left( A\right)$ sur .
Notation Le corps engendré par sur sera désigné par $K\left( A\right)$ . Si est fini et si $a_{1},...,a_{n}$ sont ses éléments, alors nous écrirons $K\left( a_{1},...,a_{n}\right)$ à la place de $K\left( A\right)$ .

Exemple Si $A=\emptyset$ , alors $K\left( A\right) =K$ .

Exemple $\mathbb{C}=\mathbb{R}\left( i\right)$ .

Remarque Une extension de peut avoir plusieurs système de générateurs sur : ainsi $\mathbb{R}\left( i\right) =\mathbb{C}%% =\mathbb{R}\left( 1+i\right)$ .

Théorème Si et sont deux parties d'une extension de , alors $K\left( A\cup B\right) =K\left( A\right) \left( B\right)$ .

Démonstration Tout sous-corps de qui contient et contient $K\left( A\right)$ et . Réciproquement, tout sous-corps de de qui contient $K\left( A\right)$ et contient et .Il en résulte que la famille de tous les sous-corps de contenant , et est égale à celle de tous les sous-corps de qui contiennent $K\left( A\right)$ et . Ceci prouve que $K\left( A\cup B\right)$ , qui est le plus petit élément de la première famille, est égal à $K\left( A\right) \left( B\right)$ , qui est le plus petit élément de la seconde.

Corollaire $K\left( a_{1},...,a_{n}\right) =K\left( a_{1},...,a_{n-1}\right) \left( a_{n}\right)$ .

Théorème Tout polynôme $f\in K\left[ X\right]$ , possède un corps des racines sur .

Démonstration Soit un corps de décomposition pour sur . Ce polynôme s'écrit sous la forme

$\displaystyle f\left( X\right) =k\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-a_{i}\right)$

dans $E\left[ X\right]$ . Soit $S=K\left( a_{1},...,a_{n}\right)$ . Il est facile de voir que

est un corps de décomposition pour

sur

. Ce corps de décomposition est minimal car, si

est un corps de décomposition pour

sur

contenu dans

, alors

s'écrit

$\displaystyle f\left( X\right) =k^{\prime}\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-b_{i}\right)$

dans $R\left[ X\right]$ . Mais $R\left[ X\right] \subseteq S\left[ X\right]$ . Il en résulte que

s'écrit de deux manières comme produit de polynômes linéaires qui sont irréductibles. L'unicité d'une telle décomposition

implique $k=k^{\prime}$ et $\left\{ a_{1},...,a_{n}\right\} =\left\{ b_{1},...,b_{n}\right\}$ . D'où

$\displaystyle R\subseteq S=K\left( a_{1},...,a_{n}\right) =K\left( b_{1},...,b_{n}%% \right) \subseteq R$

ce qui prouve

est un corps des racines pour

sur

Théorème Si est un corps de décomposition sur pour le polynôme $f\left( X\right) \in K\left[ X\right]$ , alors contient un corps de racines unique pour sur .

Démonstration Si

$\displaystyle f\left( X\right) =k\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-a_{i}\right) \in E\left[ X\right]$

est la décomposition de

comme produit de facteurs linéaires dans $E\left[ X\right]$ , alors $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ sont les racines de

dans

et $R=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right)$ est un corps de racines pour

sur

comme nous l'avons vu. Si

est un autre corps de racines pour

sur

, alors

s'écrit

$\displaystyle f\left( X\right) =k^{\prime}\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-b_{i}\right) \in T\left[ X\right]$

Il en résulte

$\displaystyle f\left( X\right) =k\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-a_{i}\right) =k^{\prime}\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-b_{i}\right) \in E\left[ X\right]$