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Adjonction

Définition Soit $ A$ est une partie d'une extension $ E$ de $ K$. Le sous-corps de $ E$ engendré par $ K\cup A$ est appelé le corps engendré par A sur K ou le corps obtenu par l'adjonction de $ A$ à $ K$. On dira alors que $ A$ est un système de générateurs de $ K\left(
A\right) $ sur $ K$.
Notation Le corps engendré par $ A$ sur $ K$ sera désigné par $ K\left(
A\right) $. Si $ A$ est fini et si $ a_{1},...,a_{n}$ sont ses éléments, alors nous écrirons $ K\left( a_{1},...,a_{n}\right) $ à la place de $ K\left(
A\right) $.

Exemple Si $ A=\emptyset$, alors $ K\left( A\right) =K$.

Exemple $ \mathbb{C}=\mathbb{R}\left( i\right) $.

Remarque Une extension $ E$ de $ K$ peut avoir plusieurs système de générateurs sur $ K$ : ainsi $ \mathbb{R}\left( i\right) =\mathbb{C}%%
=\mathbb{R}\left( 1+i\right) $.

Théorème Si $ A$ et $ B$ sont deux parties d'une extension $ E$ de $ K$, alors $ K\left(
A\cup B\right) =K\left( A\right) \left( B\right) $.

Démonstration Tout sous-corps de $ E$ qui contient $ K,A$ et $ B$ contient $ K\left(
A\right) $ et $ B$. Réciproquement, tout sous-corps de de $ E$ qui contient $ K\left(
A\right) $ et $ B$ contient $ K,A$ et $ B$.Il en résulte que la famille de tous les sous-corps de $ E$ contenant $ K$, $ A$ et $ B$ est égale à celle de tous les sous-corps de $ E$ qui contiennent $ K\left(
A\right) $ et $ B$. Ceci prouve que $ K\left( A\cup B\right) $, qui est le plus petit élément de la première famille, est égal à $ K\left( A\right)
\left( B\right) $, qui est le plus petit élément de la seconde.

Corollaire $ K\left( a_{1},...,a_{n}\right) =K\left( a_{1},...,a_{n-1}\right) \left(
a_{n}\right) $.

Théorème Tout polynôme $ f\in K\left[ X\right] $, possède un corps des racines sur $ K$.

Démonstration Soit $ E$ un corps de décomposition pour $ f$ sur $ K$. Ce polynôme s'écrit sous la forme

$\displaystyle f\left( X\right) =k\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-a_{i}\right)
$

dans $ E\left[ X\right] $. Soit $ S=K\left( a_{1},...,a_{n}\right) $. Il est facile de voir que $ S$ est un corps de décomposition pour $ f$ sur $ K$. Ce corps de décomposition est minimal car, si $ R$ est un corps de décomposition pour $ f$ sur $ K$ contenu dans $ S$, alors $ f$ s'écrit

$\displaystyle f\left( X\right) =k^{\prime}\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-b_{i}\right)
$

dans $ R\left[ X\right] $. Mais $ R\left[ X\right] \subseteq S\left[
X\right] $. Il en résulte que $ f$ s'écrit de deux manières comme produit de polynômes linéaires qui sont irréductibles. L'unicité d'une telle décomposition implique $ k=k^{\prime}$ et $ \left\{ a_{1},...,a_{n}\right\} =\left\{ b_{1},...,b_{n}\right\} $. D'où

$\displaystyle R\subseteq S=K\left( a_{1},...,a_{n}\right) =K\left( b_{1},...,b_{n}%%
\right) \subseteq R
$

ce qui prouve $ R=S$. $ S$ est un corps des racines pour $ f$ sur $ K$.

Théorème Si $ E$ est un corps de décomposition sur $ K$ pour le polynôme $ f\left( X\right) \in K\left[ X\right] $, alors $ E$ contient un corps de racines unique pour $ f$ sur $ K$.

Démonstration Si

$\displaystyle f\left( X\right) =k\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-a_{i}\right) \in
E\left[ X\right]
$

est la décomposition de $ f$ comme produit de facteurs linéaires dans $ E\left[ X\right] $, alors $ a_{1},a_{2},...,a_{n}$ sont les racines de $ f$ dans $ E$ et $ R=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right) $ est un corps de racines pour $ f$ sur $ K$ comme nous l'avons vu. Si $ T$ est un autre corps de racines pour $ f$ sur $ K$, alors $ f$ s'écrit

$\displaystyle f\left( X\right) =k^{\prime}\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-b_{i}\right)
\in T\left[ X\right]
$

Il en résulte

$\displaystyle f\left( X\right) =k\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-a_{i}\right)
=k^{\prime}\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-b_{i}\right) \in E\left[
X\right]
$

L'unicité d'une telle décomposition implique $ k=k^{\prime}$ et

$\displaystyle \left\{ a_{1},...,a_{n}\right\} =\left\{ b_{1},...,b_{n}\right\}
$

. Ainsi $ R\subseteq T$ et $ R=T$ car $ T$ est un corps de décomposition minimal pour $ f$ sur $ K$.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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