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Degré d'une extension

Soit $ E$ une extension de $ K$. $ E$ peut être muni d'une structure de $ K$-espace vectoriel en définissant la multiplication par un scalaire par

$\displaystyle \left( \alpha,x\right) \mapsto\alpha x
$

$  $

Définition On appelle degré de l'extension $ E$, la dimension de $ E$ en tant que $ K$-espace vectoriel. Ce degré sera noté $ \left[ E:K\right] $.

Exemple $ \left[ \mathbb{C}:\mathbb{R}\right] =2$, $ \left[ \mathbb{Q}\left(
\sqrt{2}\right) :\mathbb{Q}\right] =2$, $ \left[ \mathbb{R}:\mathbb{Q}%%
\right] $ est infini.

Exemple $ \left[ K:K\right] =1$.

Définition Une extension $ E$ de $ K$ sera dite finie si, et seulement si, $ \left[ E:K\right] $ est fini. Elle sera dite infinie dans le cas contraire.

Théorème de la multiplicativité du degré Si $ E$ est une extension de $ K$ et $ L$ est un corps intermédiaire entre $ K$ et $ L$, alors

$\displaystyle \left[ E:K\right] =\left[ E:L\right] \left[ L:K\right] .
$


Démonstration Soit $ \left( x_{i}\right) _{i\in I}$ une base du $ L$-espace vectoriel $ E$ et $ \left( y_{j}\right) _{j\in J}$ une base du $ K$-espace vectoriel $ L$. Nous allons prouver que $ \left( x_{i}y_{j}\right) _{\left( i,j\right) \in
I\times J}$ est une base du $ K$-espace vectoriel $ E$.

C'est un système de générateurs : tout $ x\in E$ s'écrit $ x=\sum\limits_{i\in I}a_{i}x_{i}$ $ a_{i}\in L$ pour tout $ i\in I $. Or tout $ a_{i}$ peut s'écrire $ a_{i}=$ $ \sum\limits_{j\in
J}b_{ij}y_{j}$. Nous obtenons

$\displaystyle x=\sum\limits_{i\in I}a_{i}x_{i}=\sum\limits_{i\in I}\left( \sum\...
...right) x_{i}=\sum\limits_{\left( i,j\right) \in I\times
J}b_{ij}x_{i}y_{j}%%
$


C'est un système libre : Si $ \sum\limits_{\left( i,j\right) \in
I\times J}b_{ij}x_{i}y_{j}=0$ alors

$\displaystyle \sum\limits_{i\in I}\left( \sum\limits_{j\in J}b_{ij}y_{j}\right) x_{i}=0
$

ce qui implique $ \sum\limits_{j\in J}b_{ij}y_{j}=0$ pour tout $ i\in I $ car $ \left( x_{i}\right) _{i\in I}$ est une base du
$ L$-espace vectoriel $ E$. Mais $ \left( y_{j}\right) _{j\in J}$ est une base du $ K$-espace vectoriel $ L$, d'où $ b_{ij}=0$ pour tout $ \left( i,j\right)
\in I\times J$.

La famille $ \left( x_{i}y_{j}\right) _{\left( i,j\right) \in
I\times J}$ étant une base du $ K$-espace vectoriel $ E$, nous avons

$\displaystyle \left[ E:K\right]$ $\displaystyle =\dim_{K}\left( E\right) =Card\left( I\times J\right) =Card\left( I\right) \times Card\left( J\right)$    
  $\displaystyle =\dim_{L}\left( E\right) \times\dim_{K}\left( L\right) =\left[ E:L\right] \left[ L:K\right] .$    


Corollaire Si (E$ _i$) $ _{i=1,...,n}$ est une suite croissante de corps $ K=E_{0}\subseteq E_{1}\subseteq....\subseteq E_{n}=E$ alors

$\displaystyle \left[ E:K\right] =\left[ E_{n}:E_{0}\right] =\prod\limits_{i=1}%%
^{i=n}\left[ E_{i}:E_{i-1}\right]
$


Démonstration Par une simple récurrence.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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