Définition
Une extension de est simple si, et seulement si, il existe
tel que
.
Exemple est une extension simple de
,
est une extension simple de .
L'importance des extensions simples provient du fait que leurs structures
peuvent être parfaitement déterminées d'une part et que la
majorité des extensions que nous allons rencontrer sont en réalité
des extensions simples. Nous allons déterminer la structure d'une
extension simple.
Théorème
Soit
une extension de . Il existe un homomorphisme
d'anneaux et un seul
qui vérifie
et
pour tout .
Démonstration Soit
l'application définie
par pour tout
. Il est facile de vérifier que satisfait les
conditions du théorème. Il nous reste à prouver l'unicité de
. Si est une autre solution, alors nous avons pour tout
dans
D'où
.
Définition - Notation
Le sous-anneau de engendré par
sera
noté
alors que
désigne le
sous-corps de engendré
.
Théorème est le sous-anneau
de engendré par
.
Démonstration est un sous-anneau de . Il
contient
et
. Si
est un sous-anneau de contenant
alors
car tout
élément de
s'écrit
.
Définition
Soit
l'application définie
par pour tout
. Considérons le noyau de . C'est un idéal de
. Deux cas sont possibles :
ou
. Dans le
premier cas, l'élément de sera dit transcendant sur
, et dans le second, sera dit algébrique sur .
Exemple est algébrique sur
alors que est
transcendant sur
.