Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
106 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Extensions bbaa1 simples next up previous
suivant: Cas où est algébrique monter: Extensions simples précédent: Extensions simples

Extensions simples

Définition Une extension $ E$ de $ K$ est simple si, et seulement si, il existe $ a\in E$ tel que $ E=K\left( a\right) $.

Exemple $ \mathbb{C}=\mathbb{R}\left( i\right) $ est une extension simple de $ \mathbb{R}$, $ K\left( X\right) $ est une extension simple de $ K$.

L'importance des extensions simples provient du fait que leurs structures peuvent être parfaitement déterminées d'une part et que la majorité des extensions que nous allons rencontrer sont en réalité des extensions simples. Nous allons déterminer la structure d'une extension simple.

Théorème Soit $ E=K\left( a\right) $ une extension de $ K$. Il existe un homomorphisme d'anneaux et un seul

$\displaystyle \sigma;K\left[ X\right] \longrightarrow E
$

qui vérifie $ \sigma\left( X\right) =a$ et $ \sigma\left( k\right) =k$ pour tout $ k\in K$.

Démonstration Soit $ \sigma;K\left[ X\right] \longrightarrow E$ l'application définie par
$ \sigma\left( P\right) =P\left( a\right) $ pour tout $ P\in
K\left[ X\right] $. Il est facile de vérifier que $ \sigma$ satisfait les conditions du théorème. Il nous reste à prouver l'unicité de $ \sigma$. Si $ \tau$ est une autre solution, alors nous avons pour tout $ P=\sum\limits_{i=0}^{i=n}b_{i}X^{i}$ dans $ K\left[ X\right] $

$\displaystyle \tau\left( P\right) =\tau\left( \sum\limits_{i=0}^{i=n}b_{i}X^{i}...
...i}=\sum\limits_{i=0}^{i=n}b_{i}a^{i}=P\left( a\right) =\sigma\left(
P\right)
$

D'où $ \tau=\sigma$.

Définition - Notation Le sous-anneau de $ E$ engendré par $ K\cup\left\{ a\right\} $ sera noté $ K\left[ a\right] $ alors que $ K\left( a\right) $ désigne le sous-corps de $ E$ engendré $ K\cup\left\{ a\right\} $.

Théorème $ \operatorname{Im}\left( \sigma\right) $ est le sous-anneau $ K\left[ a\right] $ de $ E$ engendré par $ K\cup\left\{ a\right\} $.

Démonstration $ \operatorname{Im}\left( \sigma\right) $ est un sous-anneau de $ E$. Il contient $ K=\sigma\left( K\right) $ et $ a=\sigma\left( X\right) $. Si $ L$ est un sous-anneau de $ E$ contenant $ K\cup\left\{ a\right\} $ alors
$ \operatorname{Im}\left( \sigma\right) \subseteq L$ car tout élément $ c$ de $ \operatorname{Im}\left( \sigma\right) $ s'écrit $ c=P\left( a\right) =\sum\limits_{i=0}^{i=n}b_{i}a^{i}\in L$.

Définition Soit $ \sigma;K\left[ X\right] \longrightarrow E$ l'application définie par
$ \sigma\left( P\right) =P\left( a\right) $ pour tout $ P\in
K\left[ X\right] $. Considérons le noyau de $ \sigma$. C'est un idéal de $ K\left[ X\right] $. Deux cas sont possibles : $ Ker\left( \sigma\right) =\left(
0\right) $ ou $ Ker\left( \sigma\right) \neq\left( 0\right) $. Dans le premier cas, l'élément $ a$ de $ E$ sera dit transcendant sur $ K$, et dans le second, $ a$ sera dit algébrique sur $ K$.

Exemple $ \sqrt{2}$ est algébrique sur $ \mathbb{Q}$ alors que $ \pi$ est transcendant sur $ \mathbb{Q}$.

Exemple $ X\in K\left( X\right) $ est transcendant sur $ K$.



Sous-sections
next up previous
suivant: Cas où est algébrique monter: Extensions simples précédent: Extensions simples
I_El_Hage_Les-mathematiques.net
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page