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Extensions bbaa1 simples

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Extensions simples

Définition Une extension de est simple si, et seulement si, il existe $a\in E$ tel que $E=K\left( a\right)$ .

Exemple $\mathbb{C}=\mathbb{R}\left( i\right)$ est une extension simple de $\mathbb{R}$ , $K\left( X\right)$ est une extension simple de .

L'importance des extensions simples provient du fait que leurs structures peuvent être parfaitement déterminées d'une part et que la majorité des extensions que nous allons rencontrer sont en réalité des extensions simples. Nous allons déterminer la structure d'une extension simple.

Théorème Soit $E=K\left( a\right)$ une extension de . Il existe un homomorphisme d'anneaux et un seul

$\displaystyle \sigma;K\left[ X\right] \longrightarrow E$

qui vérifie $\sigma\left( X\right) =a$ et $\sigma\left( k\right) =k$ pour tout $k\in K$ .

Démonstration Soit $\sigma;K\left[ X\right] \longrightarrow E$ l'application définie par
$\sigma\left( P\right) =P\left( a\right)$ pour tout $P\in K\left[ X\right]$ . Il est facile de vérifier que $\sigma$ satisfait les conditions du théorème. Il nous reste à prouver l'unicité de $\sigma$ . Si $\tau$ est une autre solution, alors nous avons pour tout $P=\sum\limits_{i=0}^{i=n}b_{i}X^{i}$ dans $K\left[ X\right]$

$\displaystyle \tau\left( P\right) =\tau\left( \sum\limits_{i=0}^{i=n}b_{i}X^{i}... ...i}=\sum\limits_{i=0}^{i=n}b_{i}a^{i}=P\left( a\right) =\sigma\left( P\right)$

D'où $\tau=\sigma$ .

Définition - Notation Le sous-anneau de engendré par $K\cup\left\{ a\right\}$ sera noté $K\left[ a\right]$ alors que $K\left( a\right)$ désigne le sous-corps de engendré $K\cup\left\{ a\right\}$ .

Théorème $\operatorname{Im}\left( \sigma\right)$ est le sous-anneau $K\left[ a\right]$ de engendré par $K\cup\left\{ a\right\}$ .

Démonstration $\operatorname{Im}\left( \sigma\right)$ est un sous-anneau de . Il contient $K=\sigma\left( K\right)$ et $a=\sigma\left( X\right)$ . Si est un sous-anneau de contenant $K\cup\left\{ a\right\}$ alors
$\operatorname{Im}\left( \sigma\right) \subseteq L$ car tout élément de $\operatorname{Im}\left( \sigma\right)$ s'écrit $c=P\left( a\right) =\sum\limits_{i=0}^{i=n}b_{i}a^{i}\in L$ .

Définition Soit $\sigma;K\left[ X\right] \longrightarrow E$ l'application définie par
$\sigma\left( P\right) =P\left( a\right)$ pour tout $P\in K\left[ X\right]$ . Considérons le noyau de $\sigma$ . C'est un idéal de $K\left[ X\right]$ . Deux cas sont possibles : $Ker\left( \sigma\right) =\left( 0\right)$ ou $Ker\left( \sigma\right) \neq\left( 0\right)$ . Dans le premier cas, l'élément de sera dit transcendant sur , et dans le second, sera dit algébrique sur .