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Cas où $ a$ est algébrique sur $ K$

$ I\left( a\right) =Ker\left( \sigma\right) $, est un idéal non nul de $ K\left[ X\right] $. Mais $ K\left[ X\right] $ est un anneau principal. Donc $ Ker\left( \sigma\right) $ est principal. D'un autre côté, deux générateurs de $ I\left( a\right) $ sont tels que l'un d'eux est le produit de l'autre par un élément de $ K^{\ast}$, il en résulte que cet idéal possède un générateur unitaire et un seul.

Définition Le générateur unitaire de $ I\left( a\right) =Ker\left( \sigma\right) $ sera noté $ Irr(a,K) $ et appelé le polynôme minimal de $ a$ sur $ K$.

Exemple $ i$ est algébrique sur $ \mathbb{R}$ et $ Irr(i,\mathbb{R})=X^{2}+1$.

Exemple $ \sqrt{2}$ est algébrique sur $ \mathbb{Q}$ et $ Irr(i,\mathbb{Q})=X^{2}-2$.

Théorème Le polynôme $ Irr(a,K) $ est irréductible dans $ K\left[ X\right] $.

Démonstration Sinon, on pourra l'écrire sous la forme $ Irr(a,K)=gh$$ g$ et $ h$ sont deux polynômes de degré inférieur au degré $ n$ de $ Irr(a,K) $. Mais, nous avons

$\displaystyle g\left( a\right) h\left( a\right) =\left( gh\right) \left( a\right)
=Irr(a,K)\left( a\right) =0
$

qui implique $ g\left( a\right) =0$ ou $ h\left( a\right) =0$. Dans le premier cas, nous aurons $ g\in I\left( a\right) $ et $ Irr(a,K) $ divise $ g$, et dans le second cas, $ h\in I\left( a\right) $ et $ Irr(a,K) $ divise $ h$ ce qui est impossible vu les degrés de ces polynômes.

Remarque Nous avons

$\displaystyle \left[ f\left( a\right) =0\right] \Longleftrightarrow\left[ f\in ...
...
a\right) \right] \Longleftrightarrow\left[ Irr(a,K)\text{ divise
}f\right]
$


Le théorème précédent justifie la notation $ Irr(a,K) $ pour le polynôme minimal de $ a$ sur $ K$.

Théorème

Soient L et E des extensions du corps K. Si $ K\subseteq L\subseteq E=K\left( a\right) $, alors $ E=L\left( a\right)
$ et $ Irr(a,L)$ divise $ Irr(a,K) $ dans $ L\left[ X\right] $.

Démonstration $ E$ est un sous-corps de $ E$ contenant $ L\cup\left\{ a\right\} $. Si $ H$ est un sous-corps de $ E$ contenant $ L\cup\left\{ a\right\} $, alors $ H$ contient $ K\cup\left\{ a\right\} $ et $ E\subseteq H$ car $ E$ est le plus petit sous-corps de $ E$ contenant $ K\cup\left\{ a\right\} $. Donc $ E$ est le plus petit sous-corps de $ E$ contenant $ L\cup\left\{ a\right\} $, ce qui prouve $ E=L\left( a\right)
$. Le polynôme $ Irr(a,K) $ appartient à $ L\left[ X\right] $ et vérifie $ Irr(a,K)\left( a\right) =0$. Il en résulte que $ Irr(a,L)$ divise $ Irr(a,K) $ dans $ L\left[ X\right] $.

Théorème Si $ a$ est algébrique sur $ K$, alors

$\displaystyle K\left( a\right) =K\left[ a\right] \approx K\left[ X\right] /I\left(
a\right)$

$ I\left( a\right)=\{P(a); P\in K[X]\}$.

Démonstration Considérons l'homomorphisme $ \sigma$ défini par
$ \sigma\left( P\right) =P\left( a\right) $ pour tout $ P\in
K\left[ X\right] $. Nous avons

$\displaystyle K\left[ a\right] =\operatorname{Im}\left( \sigma\right) \approx K...
...right] /Ker\left( \sigma\right) \approx K\left[ X\right] /I\left(
a\right) .
$

Il en résulte que $ K\left[ a\right] $ est un corps car l'idéal $ I\left( a\right) $ est maximal. Ceci prouve $ K\left( a\right) =K\left[
a\right] $ et par suite $ K\left( a\right) =K\left[ a\right] \approx
K\left[ X\right] /I\left( a\right) $.

Théorème Soit a algébrique sur le corps k. Si $ n=deg\left( Irr\left( a,K\right) \right) $, alors $ E=K\left( a\right) $ est une extension de degré $ n$ et $ \left\{ 1,a,a^{2}%%
,...,a^{n-1}\right\} $ est une base du $ K$-espace vectoriel $ E$.

Démonstration Les éléments $ 1,a,a^{2},...,a^{n-1}$ sont linéairement indépendants car sinon, on peut trouver un polynôme non nul de degré inférieur ou égal à $ n-1$ dont $ a$ est une racine. Ce polynôme appartiendrait à $ I\left( a\right) $ ce qui est impossible car $ I\left( a\right) $ est engendré par un polynôme de degré $ n$. Pour prouver que ces éléments forment un système de générateurs du $ K$-espace vectoriel $ E$, il suffit de démontrer que

$\displaystyle a^{m}\in Vect\left( 1,a,a^{2},...,a^{n-1}\right)
$

pour tout $ m\in\mathbb{N}$ car tout élément de $ K\left( a\right) =K\left[
a\right] $ s'écrit sous la forme $ x=\alpha_{0}+\alpha
_{1}a+\cdot\cdot\cdot+\alpha_{q}a^{q}$. Ceci est vrai pour $ m\leq n-1$. Si $ m\geq n$, alors $ m$ s'écrit $ m=n+r$. Nous allons démontrer $ a^{m}\in
Vect\left( 1,a,a^{2},...,a^{n-1}\right) $ par récurrence sur $ r$. Si $ r=0$, alors $ m=n$. En écrivant $ Irr\left( a,K\right) $ sous la forme

$\displaystyle Irr\left( a,K\right) =b_{0}+b_{1}X+\cdot\cdot\cdot+b_{n-1}X^{n-1}+X^{n},
$

on obtient

$\displaystyle b_{0}+b_{1}a+\cdot\cdot\cdot+b_{n-1}a^{n-1}+a^{n}=0
$

et

$\displaystyle a^{n}=c_{0}+c_{1}a+\cdot\cdot\cdot+c_{n-1}a^{n-1}\in Vect\left(
1,a,a^{2},...,a^{n-1}\right)
$

$ c_{i}=-b_{i}$ pour $ 1=0,1,...,n-1$.

Supposons que

$\displaystyle a^{n+r}=t_{0}+t_{1}a+\cdot\cdot\cdot+t_{n-1}a^{n-1}\in Vect\left(
1,a,a^{2},...,a^{n-1}\right)
$

alors nous avons

$\displaystyle a^{n+r+1}=aa^{n+r}=at_{0}+t_{1}a^{2}+\cdot\cdot\cdot+t_{n-1}a^{n}\in
Vect\left( 1,a,a^{2},...,a^{n-1}\right)
$

car

$\displaystyle at_{0}+t_{1}a^{2}+\cdot\cdot\cdot+t_{n-2}a^{n-1}\in Vect\left( 1,a,a^{2}%%
,...,a^{n-1}\right)$    $\displaystyle %%
$

et

$\displaystyle t_{n-1}a^{n}\in Vect\left( 1,a,a^{2},...,a^{n-1}\right)
$

Il en résulte $ a^{m}\in
Vect\left( 1,a,a^{2},...,a^{n-1}\right) $ pour tout $ m\in\mathbb{N}$. Ceci prouve $ \left[ E:K\right] =\dim_{K}\left(
E\right) =n$.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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