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Extensions algébriques

Définition Une extension $ E$ d'un corps $ K$ sera dite algébrique si, et seulement si, tout élément $ a$ de $ E$ est algébrique sur $ K$. Elle sera dite transcendante dans le cas contraire.

Exemple $ \mathbb{C}$ est une extension algébrique de $ \mathbb{R}$, mais $ \mathbb{R}$ est une extension transcendante de $ \mathbb{Q}$.

Théorème Toute extension finie $ E$ d'un corps $ K$ est algébrique.

Démonstration Soit $ a$ un élément de $ E$ et $ n=\left[ E:K\right] $. Les éléments $ 1,a,a^{2},...,a^{n}$ sont linéairement dépendants car $ \dim_{K}\left( E\right) =n$. Il existe des scalaires (éléments de $ K$) $ b_{0},b_{1},...,b_{n}$, non tous nuls, tels que

$\displaystyle b_{0}+b_{1}a+\cdot\cdot\cdot+b_{n-1}a^{n-1}+b_{n}a^{n}=0
.$

Si

$\displaystyle P=b_{0}+b_{1}X+\cdot\cdot\cdot+b_{n-1}X^{n-1}+b_{n}X^{n}%%
,$

alors $ P\neq0$ et $ P\left( a\right) =0$ ce qui prouve que $ a$ est algébrique sur $ K$. Il en résulte que $ E$ est une extension algébrique de $ K$.

Théorème Une extension simple $ E=K\left( a\right) $ est algébrique si, et seulement si, $ a$ est algébrique sur $ K$.

Démonstration Si $ a$ est algébrique sur $ K$, alors $ E$ est une extension finie de $ K$ ce qui prouve que cette extension est algébrique. Réciproquement, si l'extension $ E$ est algébrique, alors $ a$, élément de $ E$, est algébrique sur $ K$.

Théorème Si $ K\subseteq L\subseteq E$, alors si $ a\in E$ est algébrique sur $ K$, alors il est algébrique sur $ L$.

Démonstration Si $ a$ est algébrique sur $ K$, alors $ a$ est une racine d'un polynôme $ f\in K\left[ X\right] $. Mais $ f\in L\left[ X\right] $ car $ K\subseteq
L$. Il en résulte que $ a$ est algébrique sur $ L$.

Théorème L'extension $ E=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right) $ de $ K$ est algébrique si, et seulement si, les éléments $ a_{1},a_{2}%%
,...,a_{n}$ sont tous algébriques sur $ K$.

Démonstration Si $ E$ algébrique sur $ K$, alors les éléments $ a_{1}%%
,a_{2},...,a_{n}$ de $ E$ sont tous algébriques sur $ K$. Réciproquement, nous allons démontrer que si les éléments $ a_{1},a_{2},...,a_{n}$ sont tous algébriques sur $ K$, alors l'extension $ E$ de $ K$ est finie. Posons

$\displaystyle K_{0}=K$ et $\displaystyle K_{i}=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{i}\right)$    pour $\displaystyle i=1,2,..,n
$

Nous avons $ K_{i}=K_{i-1}\left( a_{i}\right) .$ D'un autre côté, $ a_{i}$ est algébrique sur $ K_{i-1}$ car $ a_{i}$ est algébrique sur $ K$ et $ K\subseteq K_{i-1}\subseteq K_{i}$. Ceci implique que le degré $ \left[ K_{i}:K_{i-1}\right] $ est fini pour tout $ i$ et $ \left[
E:K\right] =\left[ K_{n}:K_{0}\right] =\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left[
K_{i}:K_{i-1}\right] $ est fini. Ainsi, l'extension $ E$ de $ K$ est finie. Elle est algébrique.

Corollaire Si $ R$ est un corps des racines pour $ P\left( X\right) \in K\left[
X\right] $ sur $ K$, alors $ R$ est une extension algébrique de $ K$.

Démonstration Nous avons $ R=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right) $ $ a_{1}%%
,a_{2},...,a_{n}$ sont les racines de $ P$ dans $ R$. Comme chaque $ a_{i}$ est algébrique sur $ K$ (il est racine de $ P$), $ R$ est une extension algébrique de $ K$.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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