Définition
Une extension d'un corps sera dite algébrique si, et seulement
si, tout élément de est algébrique sur . Elle sera dite
transcendante dans le cas contraire.
Exemple est une extension algébrique de
, mais
est une extension transcendante de
.
Théorème
Toute extension finie d'un corps est algébrique.
Démonstration Soit un élément de et
. Les
éléments
sont linéairement dépendants
car
. Il existe des scalaires (éléments
de )
, non tous nuls, tels que
Si
alors et
ce qui prouve que est
algébrique sur . Il en résulte que est une extension
algébrique de .
Théorème
Une extension simple
est algébrique si, et
seulement si, est algébrique sur .
Démonstration Si est algébrique sur , alors est une extension finie de ce
qui prouve que cette extension est algébrique. Réciproquement, si
l'extension est algébrique, alors , élément de , est
algébrique sur .
Théorème
Si
, alors si est algébrique sur ,
alors il est algébrique sur .
Démonstration Si est algébrique sur , alors est une racine d'un polynôme
. Mais
car
. Il en résulte que est algébrique sur .
Théorème
L'extension
de est
algébrique si, et seulement si, les éléments
sont tous algébriques sur .
Démonstration Si algébrique sur , alors les éléments
de sont tous algébriques sur . Réciproquement, nous allons démontrer que si les éléments
sont tous algébriques sur , alors l'extension
de est finie. Posons
et pour
Nous avons
D'un autre côté,
est algébrique sur car est algébrique sur et
. Ceci implique que le degré
est fini pour tout et
est fini. Ainsi, l'extension de est finie.
Elle est algébrique.
Corollaire
Si est un corps des racines pour
sur , alors est une extension algébrique de .
Démonstration Nous avons
où
sont les racines de dans . Comme chaque est
algébrique sur (il est racine de ), est une extension
algébrique de .