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Extensions algébriques

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Extensions algébriques

Définition Une extension d'un corps sera dite algébrique si, et seulement si, tout élément de est algébrique sur . Elle sera dite transcendante dans le cas contraire.

Exemple $\mathbb{C}$ est une extension algébrique de $\mathbb{R}$ , mais $\mathbb{R}$ est une extension transcendante de $\mathbb{Q}$ .

Théorème Toute extension finie d'un corps est algébrique.

Démonstration Soit un élément de et $n=\left[ E:K\right]$ . Les éléments $1,a,a^{2},...,a^{n}$ sont linéairement dépendants car $\dim_{K}\left( E\right) =n$ . Il existe des scalaires (éléments de ) $b_{0},b_{1},...,b_{n}$ , non tous nuls, tels que

$\displaystyle b_{0}+b_{1}a+\cdot\cdot\cdot+b_{n-1}a^{n-1}+b_{n}a^{n}=0 .$

$\displaystyle P=b_{0}+b_{1}X+\cdot\cdot\cdot+b_{n-1}X^{n-1}+b_{n}X^{n}%% ,$

alors $P\neq0$ et $P\left( a\right) =0$ ce qui prouve que

est algébrique sur

. Il en résulte que

est une extension algébrique de

Théorème Une extension simple $E=K\left( a\right)$ est algébrique si, et seulement si, est algébrique sur .

Démonstration Si est algébrique sur , alors est une extension finie de ce qui prouve que cette extension est algébrique. Réciproquement, si l'extension est algébrique, alors , élément de , est algébrique sur .

Théorème Si $K\subseteq L\subseteq E$ , alors si $a\in E$ est algébrique sur , alors il est algébrique sur .

Démonstration Si est algébrique sur , alors est une racine d'un polynôme $f\in K\left[ X\right]$ . Mais $f\in L\left[ X\right]$ car $K\subseteq L$ . Il en résulte que est algébrique sur .

Théorème L'extension $E=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right)$ de est algébrique si, et seulement si, les éléments $a_{1},a_{2}%% ,...,a_{n}$ sont tous algébriques sur .

Démonstration Si algébrique sur , alors les éléments $a_{1}%% ,a_{2},...,a_{n}$ de sont tous algébriques sur . Réciproquement, nous allons démontrer que si les éléments $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ sont tous algébriques sur , alors l'extension de est finie. Posons

$\displaystyle K_{0}=K$ et $\displaystyle K_{i}=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{i}\right)$ pour $\displaystyle i=1,2,..,n$

Nous avons $K_{i}=K_{i-1}\left( a_{i}\right) .$ D'un autre côté, $a_{i}$ est algébrique sur $K_{i-1}$ car $a_{i}$ est algébrique sur

et $K\subseteq K_{i-1}\subseteq K_{i}$ . Ceci implique que le degré $\left[ K_{i}:K_{i-1}\right]$ est fini pour tout

et $\left[ E:K\right] =\left[ K_{n}:K_{0}\right] =\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left[ K_{i}:K_{i-1}\right]$ est fini. Ainsi, l'extension

est finie. Elle est algébrique.

Corollaire Si est un corps des racines pour $P\left( X\right) \in K\left[ X\right]$ sur , alors est une extension algébrique de .

Démonstration Nous avons $R=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right)$ où $a_{1}%% ,a_{2},...,a_{n}$ sont les racines de dans . Comme chaque $a_{i}$ est algébrique sur (il est racine de ), est une extension algébrique de .