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Simplicité d'une extension

Le but de ce paragraphe est de prouver qu'une extension finie $ E$ de $ K$ est simple si, et seulement si, l'ensemble des corps inermédiaires entre $ K$ et $ E$ est fini. Ceci découlera des théorèmes suivants :

Théorème Si $ E=K\left( a\right) $, où $ a$ est algébrique sur $ K$, et si $ L$ est un corps intermédiaire entre $ K$ et $ E$, alors $ Irr(a,L)$ divise $ Irr(a,K) $ et
$ L=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n-1}\right) $ $ a_{1},a_{2},...,a_{n-1}$ sont les coéfficients de $ Irr(a,L)$.

Démonstration Soit $ H=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n-1}\right) $. Nous avons

$\displaystyle K\subseteq H\subseteq L\subseteq E=K\left( a\right).
$

$ Irr(a,L)$ appartient à $ H\left[ X\right] $ et est irréductible dans $ H\left[ X\right] $ car il est irréductible dans $ L\left[ X\right] $ ( $ H\left[
X\right] \subseteq L\left[ X\right] $). Il en résulte

$\displaystyle Irr(a,H)=irr(a,L)$ et $\displaystyle H\left( a\right) =E=L\left( a\right) .
$

Ce qui précède implique

$\displaystyle \left[ E:H\right] =\deg\left( Irr\left( a,H\right) \right)
=\deg(Irr\left( a,L\right) )=\left[ E:L\right]
$

et

$\displaystyle \left[ L:H\right] =\frac{\left[ E:H\right] }{\left[ E:L\right] }=1.
$

D'où $ H=L$.

Théorème Si $ E=K\left( a\right) $ est une extension simple, alors l'ensemble des corps intermédiaires entre $ K$ et $ E$ est fini.

Démonstration Soit $ \varphi$ l'application de l'ensemble des corps intermédiaires dans celui des facteurs de $ Irr(a,K) $ qui associe à $ L$ le facteur $ Irr(a,L)$. Cette application est injective, car si $ Irr(a,L)=Irr(a,L^{\prime})$, alors $ L$ et $ L^{\prime}$ sont tous les deux égaux au corps engendré sur $ K$ par les coefficients du polynôme $ Irr(a,L)=Irr(a,L^{\prime})$. On en déduit que l'ensemble des corps intermédiaires est fini car l'ensemble des facteurs de $ Irr(a,K) $ est fini.

Pour prouver la réciproque, nous distingons deux cas :_



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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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