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Cas où $ K$ est fini

Théorème Si $ K$ est un corps fini et $ E$ est une extension finie de $ K$, alors $ E$ est une extension simple de $ K$.

Démonstration Si $ Card\left( K\right) =q$ et $ \left[ E:K\right] =n$, alors $ Card\left(
E\right) =q^{n}$ car le $ K$-espace vectoriel $ E$ est isomorphe à $ K^{n}$. Il en résulte que $ E$ est un corps fini. Nous prouverons par la suite que le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique. On en déduit que si $ a$ est un générateur du groupe $ E^{\ast}$, alors $ E=K\left( a\right) $.



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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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