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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

Cas où est infini

monter: Simplicité d'une extension précédent: Cas où est fini

Cas où est infini

Théorème Si l'ensemble des corps intermédiaires entre et est fini et si $E=K\left( a_{1},a_{2}\right)$ , alors est une extension simple de .

Démonstration Considérons l'ensemble des corps intermédiaires de la forme $K\left( a_{1}+ta_{2}\right)$ où $t\in K$ . Cet ensemble est fini. Comme est infini, il existe deux éléments distincts et tels que

$\displaystyle K\left( a_{1}+ta_{2}\right) =K\left( a_{1}+ua_{2}\right) =L$

. Nous avons

$\displaystyle \left( t-u\right) a_{2}=\left( a_{1}+ta_{2}\right) -\left( a_{1}%% +ua_{2}\right) \in L$

et $a_{2}\in L$ car $t-u\neq0$ . Nous avons aussi $a_{1}=\left( a_{1}%% +ta_{2}\right) -ta_{2}\in L$ . Il en résulte

$\displaystyle L=K\left( a_{1}+ta_{2}\right) =K\left( a_{1},a_{2}\right) =E.$

Théorème Toute extension finie de est engendrée sur par un nombre fini d'éléments c.à.d. elle est de la forme $E=K\left( a_{1}%% ,a_{2},...,a_{n}\right)$ .

Démonstration Nous allons démontrer ce théorème par récurrence sur le degré $p=\left[ E:K\right]$ . Si et $a\in{E-K}$ , alors $K\neq K\left( a\right) \subseteq E$ et

$\displaystyle 1<\left[ K\left( a\right) :K\right] \leq\left[ E:K\right] =2.$

Il en résulte $\left[ K\left( a\right) :K\right] =\left[ E:K\right] =2$ et $E=K\left( a\right)$ . Si le théorème est vrai pour les extensions de degrés $\leq p-1$ , il est aussi vrai pour les extensions de degré

. En effet, si $a_{1}\in E-K$ , alors $\left[ E:K\left( a_{1}\right) \right] \leq p-1$ . Il en résulte que

s'écrit $E=K\left( a_{1}\right) \left( a_{2},...,a_{n}\right) =K\left( a_{1},...,a_{n}\right)$

Théorème Si l'ensemble des corps intermédiaires entre et est fini, alors est une extension simple de .

Démonstration Comme est une extension finie de , est de la forme

$\displaystyle E=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right) .$

Nous allons prouver le théorème par récurrence sur

. Pour

, le théorème est vrai comme nous l'avons démontré ci-haut

. Supposons le théorème vrai pour

. L'extension $E=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n-1}\right)$ est telle que l'ensemble des corps intermédiaires est fini. C'est donc une extension simple $K\left( b\right)$ de

. Nous obtenons

$\displaystyle E=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right) =K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n-1}%% \right) \left( a_{n}\right) =K\left( b,a_{1}\right) .$

Mais cette extension est simple d'après ce qui a été démontré. Donc

est une extension simple de

Théorème Une extension finie de est simple si, seulement si, l'ensemble des corps intermédiaires entre et est fini.

Exemple $\mathbb{Q}\left( \sqrt{2},\sqrt{3}\right) =\mathbb{Q}\left( \sqrt{2}%% +\sqrt{3}\right)$ .

Définition On appelle élément primitif d'une extension finie de , tout élément de tel que $E=K\left( a\right)$ .

Exemple est un élément primitif de l'extension $\mathbb{C}$ de $\mathbb{R}$ . $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ est un élément primitif de l'extension $\mathbb{Q}\left( \sqrt{2},\sqrt{3}\right)$ de $\mathbb{Q}$ .