Théorème
Si l'ensemble des corps intermédiaires entre et est fini et si
, alors est une extension simple de .
Démonstration Considérons l'ensemble des corps intermédiaires de la forme
où . Cet ensemble est fini. Comme est
infini, il existe deux éléments distincts et tels que
. Nous avons
et
car . Nous avons aussi
. Il en résulte
Théorème
Toute extension finie de est engendrée sur par un nombre fini
d'éléments c.à.d. elle est de la forme
.
Démonstration Nous allons démontrer ce théorème par récurrence sur le
degré. Si et , alors
et
Il en résulte
et
. Si le théorème est vrai pour les
extensions de degrés , il est aussi vrai pour les extensions de
degré . En effet, si
, alors
. Il en résulte que s'écrit
.
Théorème
Si l'ensemble des corps intermédiaires entre et est fini, alors
est une extension simple de .
Démonstration Comme est une extension finie de , est de la forme
Nous allons prouver le théorème par récurrence sur . Pour , le théorème est vrai comme nous l'avons démontré ci-haut.
Supposons le théorème vrai pour . L'extension
est telle que l'ensemble des corps
intermédiaires est fini. C'est donc une extension simple
de . Nous obtenons
Mais cette extension est simple d'après ce qui a été
démontré. Donc est une extension simple de .
Théorème
Une extension finie de est simple si, seulement si, l'ensemble des
corps intermédiaires entre et est fini.
Exemple .
Définition
On appelle élément primitif d'une extension finie de ,
tout élément de tel que
.
Exemple est un élément primitif de l'extension
de
.
est un élément primitif de
l'extension
de
.