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Cas où $ K$ est infini

Théorème Si l'ensemble des corps intermédiaires entre $ K$ et $ E$ est fini et si $ E=K\left( a_{1},a_{2}\right) $, alors $ E$ est une extension simple de $ K$.

Démonstration Considérons l'ensemble des corps intermédiaires de la forme $ K\left(
a_{1}+ta_{2}\right) $$ t\in K$. Cet ensemble est fini. Comme $ K$ est infini, il existe deux éléments distincts $ t$ et $ u$ tels que

$\displaystyle K\left( a_{1}+ta_{2}\right) =K\left( a_{1}+ua_{2}\right) =L
$

. Nous avons

$\displaystyle \left( t-u\right) a_{2}=\left( a_{1}+ta_{2}\right) -\left( a_{1}%%
+ua_{2}\right) \in L
$

et $ a_{2}\in L$ car $ t-u\neq0$. Nous avons aussi $ a_{1}=\left( a_{1}%%
+ta_{2}\right) -ta_{2}\in L$. Il en résulte

$\displaystyle L=K\left( a_{1}+ta_{2}\right) =K\left( a_{1},a_{2}\right) =E.
$


Théorème Toute extension finie $ E$ de $ K$ est engendrée sur $ K$ par un nombre fini d'éléments c.à.d. elle est de la forme $ E=K\left( a_{1}%%
,a_{2},...,a_{n}\right) $.

Démonstration Nous allons démontrer ce théorème par récurrence sur le degré $ p=\left[ E:K\right] $. Si $ p=2$ et $ a\in{E-K}$, alors $ K\neq
K\left( a\right) \subseteq E$ et

$\displaystyle 1<\left[ K\left( a\right) :K\right] \leq\left[ E:K\right] =2.
$

Il en résulte $ \left[ K\left( a\right) :K\right] =\left[ E:K\right]
=2$ et $ E=K\left( a\right) $. Si le théorème est vrai pour les extensions de degrés $ \leq p-1$, il est aussi vrai pour les extensions de degré $ p$. En effet, si $ a_{1}\in E-K$, alors $ \left[ E:K\left(
a_{1}\right) \right] \leq p-1$. Il en résulte que $ E$ s'écrit $ E=K\left( a_{1}\right) \left( a_{2},...,a_{n}\right) =K\left(
a_{1},...,a_{n}\right) $.

Théorème Si l'ensemble des corps intermédiaires entre $ K$ et $ E$ est fini, alors $ E$ est une extension simple de $ K$.

Démonstration Comme $ E$ est une extension finie de $ K$, $ E$ est de la forme

$\displaystyle E=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right) .
$

Nous allons prouver le théorème par récurrence sur $ n$. Pour $ n=2
$, le théorème est vrai comme nous l'avons démontré ci-haut. Supposons le théorème vrai pour $ n-1$. L'extension $ E=K\left(
a_{1},a_{2},...,a_{n-1}\right) $ est telle que l'ensemble des corps intermédiaires est fini. C'est donc une extension simple $ K\left(
b\right) $ de $ K$. Nous obtenons

$\displaystyle E=K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right) =K\left( a_{1},a_{2},...,a_{n-1}%%
\right) \left( a_{n}\right) =K\left( b,a_{1}\right) .
$

Mais cette extension est simple d'après ce qui a été démontré. Donc $ E$ est une extension simple de $ K$.

Théorème Une extension finie $ E$ de $ K$ est simple si, seulement si, l'ensemble des corps intermédiaires entre $ K$ et $ E$ est fini.

Exemple $ \mathbb{Q}\left( \sqrt{2},\sqrt{3}\right) =\mathbb{Q}\left( \sqrt{2}%%
+\sqrt{3}\right) $.

Définition On appelle élément primitif d'une extension finie $ E$ de $ K$, tout élément $ a$ de $ E$ tel que $ E=K\left( a\right) $.

Exemple $ i$ est un élément primitif de l'extension $ \mathbb{C}$ de $ \mathbb{R}$. $ \sqrt{2}+\sqrt{3}$ est un élément primitif de l'extension $ \mathbb{Q}\left( \sqrt{2},\sqrt{3}\right) $ de $ \mathbb{Q}$.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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