Nous rappelons qu'un homomorphisme de corps est un homomorphisme d'anneaux qui
conserve l'élément neutre de la multiplication.
Théorème
Tout homomorphisme de corps est injectif.
Démonstration Soit
un homomorphisme de corps.
est un idéal de .
car
. Il en résulte
et par suite est injectif.
Un homomorphisme injectif de corps
sera dit un isomorphisme de dans . Le but de ce chapitre est
de répondre à la question suivante :
Question : Ayant un isomorphisme
, une extension simple de et une extension
de
, est-il possible de prolonger en un isomorphisme
de dans
?
Définition
Soit et deux extensions du même corps . Un isomorphisme
de dans sera appelé un
K-isomorphisme si, et seulement si, il laisse fixe tout élément de c.à.d.
pour tout .
Exemple L'application
définie par
(le conjugué de ) est un
-isomorphisme de
dans
.
Théorème
Soit et deux extensions du même corps et
un -isomorphisme. est une application
-linéaire.
Démonstration Nous avons
pour tout
Théorème
Soit
un isomorphisme de sur
, une extension de ,
une extension de
et
un
isomorphisme qui prolonge . Nous avons
.
Démonstration Soit
une base du -espace vectoriel
et soit
pour
. La famille
est une base du
-espace vectoriel
. En effet,
tout élément
peut s'écrire sous la forme
ce qui prouve que
est une famille
génératrice du
-espace vectoriel
. Les sont linéairement indépendants : Supposons
avoir
Comme est une application surjective, il existe, pour
,
tel que
. Nous obtenons
Cette relation implique
et
pour
. D'où pour
ce qui achève la
démonstration.