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Isomorphisme

Nous rappelons qu'un homomorphisme de corps est un homomorphisme d'anneaux qui conserve l'élément neutre de la multiplication.

Théorème Tout homomorphisme de corps est injectif.

Démonstration Soit $ \sigma;K\longrightarrow L$ un homomorphisme de corps. $ Ker\left(
\sigma\right) $ est un idéal de $ K$. $ Ker\left( \sigma\right) \neq K$ car $ \sigma\left( 1\right) =1$. Il en résulte $ Ker\left( \sigma\right)
=\left( 0\right) $ et par suite $ \sigma$ est injectif.

Un homomorphisme injectif de corps $ \sigma;K\longrightarrow L$ sera dit un isomorphisme de $ K$ dans $ L$. Le but de ce chapitre est de répondre à la question suivante :

Question : Ayant un isomorphisme $ \sigma;K\longrightarrow K^{\prime}%%
$, une extension simple $ E$ de $ K$ et une extension $ E^{\prime}$ de $ K^{\prime}$, est-il possible de prolonger $ \sigma$ en un isomorphisme $ \overline{\sigma}$ de $ E$ dans $ E^{\prime}$ ?

Définition Soit $ E$ et $ F$ deux extensions du même corps $ K$. Un isomorphisme $ \sigma;E\longrightarrow F$ de $ E$ dans $ F$ sera appelé un K-isomorphisme si, et seulement si, il laisse fixe tout élément de $ K$ c.à.d. $ \sigma\left( k\right) =k$ pour tout $ k\in K$.

Exemple L'application $ \varphi;\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}$ définie par $ \varphi\left( u\right) =\overline{u}$ (le conjugué de $ u$) est un $ \mathbb{R}$-isomorphisme de $ \mathbb{C}$ dans $ \mathbb{C}$.

Théorème Soit $ E$ et $ F$ deux extensions du même corps $ K$ et $ \sigma;E\longrightarrow F$ un $ K$-isomorphisme. $ \sigma$ est une application $ K$-linéaire.

Démonstration Nous avons

$\displaystyle \sigma\left( ax\right) =\sigma\left( a\right) \sigma\left( x\right)
=a\sigma\left( x\right)$    pour tout $\displaystyle \left( a,x\right) \in K\times
E.
$


Théorème Soit $ \sigma;K\longrightarrow K^{\prime}$ un isomorphisme de $ K$ sur $ K^{\prime}$, $ E$ une extension de $ K$, $ E^{\prime}$ une extension de $ K^{\prime}$ et $ \overline{\sigma};E\longrightarrow E^{\prime}$ un isomorphisme qui prolonge $ \sigma$. Nous avons $ \left[ \overline{\sigma
}\left( E\right) :K^{\prime}\right] =\left[ E:K\right] $.

Démonstration Soit $ b=\left\{ e_{1},...,e_{n}\right\} $ une base du $ K$-espace vectoriel $ E$ et soit $ f_{i}=\overline{\sigma}\left( e_{i}\right) $ pour $ i=1,2,...,n$. La famille $ \left\{ f_{1},...,f_{n}\right\} $ est une base du $ K^{\prime}$-espace vectoriel $ \overline{\sigma}\left( E\right) $. En effet, tout élément $ y=\overline{\sigma}\left( x\right) \in\overline
{\sigma}\left( E\right) $ peut s'écrire sous la forme

$\displaystyle y$ $\displaystyle =\overline{\sigma}\left( x\right) =\overline{\sigma}\left( x_{1} e_{1}+\cdot\cdot\cdot+x_{n}e_{n}\right)$    
  $\displaystyle =\overline{\sigma}\left( x_{1}\right) \overline{\sigma}\left( e_{...
...\cdot+\overline{\sigma}\left( x_{n}\right) \overline{\sigma}\left( e_{n}\right)$    
  $\displaystyle =\sigma\left( x_{1}\right) f_{1}+\cdot\cdot\cdot+\sigma\left( x_{n}\right) f_{n}$    

ce qui prouve que $ \left\{ f_{1},...,f_{n}\right\} $ est une famille génératrice du $ K^{\prime}$-espace vectoriel $ \overline{\sigma}\left( E\right) $. Les $ f_{i}$ sont linéairement indépendants : Supposons avoir

$\displaystyle b_{1}f_{1}+\cdot\cdot\cdot+b_{n}f_{n}=0.
$

Comme $ \sigma$ est une application surjective, il existe, pour $ i=1,2,...,n$, $ a_{i}\in K$ tel que $ b_{i}=\sigma\left( a_{i}\right) $. Nous obtenons

  $\displaystyle \overline{\sigma}\left( a_{1}e_{1}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}e_{n}\rig...
...cdot+\overline{\sigma}\left( a_{n}\right) \overline{\sigma }\left( e_{n}\right)$    
  $\displaystyle =b_{1}f_{1}+\cdot\cdot\cdot+b_{n}f_{n}=0.$    

Cette relation implique $ a_{1}e_{1}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}e_{n}=0$ et $ a_{i}=0$ pour $ i=1,2,..,n$. D'où $ b_{i}=0$ pour $ i=1,2,..,n$ ce qui achève la démonstration.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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