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Isomorphisme

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Isomorphisme

Nous rappelons qu'un homomorphisme de corps est un homomorphisme d'anneaux qui conserve l'élément neutre de la multiplication.

Théorème Tout homomorphisme de corps est injectif.

Démonstration Soit $\sigma;K\longrightarrow L$ un homomorphisme de corps. $Ker\left( \sigma\right)$ est un idéal de . $Ker\left( \sigma\right) \neq K$ car $\sigma\left( 1\right) =1$ . Il en résulte $Ker\left( \sigma\right) =\left( 0\right)$ et par suite $\sigma$ est injectif.

Un homomorphisme injectif de corps $\sigma;K\longrightarrow L$ sera dit un isomorphisme de dans . Le but de ce chapitre est de répondre à la question suivante :

Question : Ayant un isomorphisme $\sigma;K\longrightarrow K^{\prime}%%$ , une extension simple de et une extension $E^{\prime}$ de $K^{\prime}$ , est-il possible de prolonger $\sigma$ en un isomorphisme $\overline{\sigma}$ de dans $E^{\prime}$ ?

Définition Soit et deux extensions du même corps . Un isomorphisme $\sigma;E\longrightarrow F$ de dans sera appelé un K-isomorphisme si, et seulement si, il laisse fixe tout élément de c.à.d. $\sigma\left( k\right) =k$ pour tout $k\in K$ .

Exemple L'application $\varphi;\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}$ définie par $\varphi\left( u\right) =\overline{u}$ (le conjugué de ) est un $\mathbb{R}$ -isomorphisme de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ .

Théorème Soit et deux extensions du même corps et $\sigma;E\longrightarrow F$ un -isomorphisme. $\sigma$ est une application -linéaire.

Démonstration Nous avons

$\displaystyle \sigma\left( ax\right) =\sigma\left( a\right) \sigma\left( x\right) =a\sigma\left( x\right)$ pour tout $\displaystyle \left( a,x\right) \in K\times E.$

Théorème Soit $\sigma;K\longrightarrow K^{\prime}$ un isomorphisme de sur $K^{\prime}$ , une extension de , $E^{\prime}$ une extension de $K^{\prime}$ et $\overline{\sigma};E\longrightarrow E^{\prime}$ un isomorphisme qui prolonge $\sigma$ . Nous avons $\left[ \overline{\sigma }\left( E\right) :K^{\prime}\right] =\left[ E:K\right]$ .

Démonstration Soit $b=\left\{ e_{1},...,e_{n}\right\}$ une base du -espace vectoriel et soit $f_{i}=\overline{\sigma}\left( e_{i}\right)$ pour . La famille $\left\{ f_{1},...,f_{n}\right\}$ est une base du $K^{\prime}$ -espace vectoriel $\overline{\sigma}\left( E\right)$ . En effet, tout élément $y=\overline{\sigma}\left( x\right) \in\overline {\sigma}\left( E\right)$ peut s'écrire sous la forme

$\displaystyle y$	$\displaystyle =\overline{\sigma}\left( x\right) =\overline{\sigma}\left( x_{1} e_{1}+\cdot\cdot\cdot+x_{n}e_{n}\right)$
	$\displaystyle =\overline{\sigma}\left( x_{1}\right) \overline{\sigma}\left( e_{... ...\cdot+\overline{\sigma}\left( x_{n}\right) \overline{\sigma}\left( e_{n}\right)$
	$\displaystyle =\sigma\left( x_{1}\right) f_{1}+\cdot\cdot\cdot+\sigma\left( x_{n}\right) f_{n}$

ce qui prouve que $\left\{ f_{1},...,f_{n}\right\}$ est une famille génératrice

du $K^{\prime}$ -espace vectoriel $\overline{\sigma}\left( E\right)$ . Les $f_{i}$ sont linéairement indépendants

: Supposons avoir

$\displaystyle b_{1}f_{1}+\cdot\cdot\cdot+b_{n}f_{n}=0.$

Comme $\sigma$ est une application surjective, il existe, pour

, $a_{i}\in K$ tel que $b_{i}=\sigma\left( a_{i}\right)$ . Nous obtenons

	$\displaystyle \overline{\sigma}\left( a_{1}e_{1}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}e_{n}\rig... ...cdot+\overline{\sigma}\left( a_{n}\right) \overline{\sigma }\left( e_{n}\right)$
	$\displaystyle =b_{1}f_{1}+\cdot\cdot\cdot+b_{n}f_{n}=0.$