Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
89 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Cas où est transcendant sur next up previous
suivant: Cas où est algébrique monter: Prolongement d'isomorphismes précédent: Prolongement d'isomorphismes

Cas où $ a$ est transcendant sur $ K$

Théorème $ \sigma$ peut être prolongé d'une manière unique en un isomorphime

$\displaystyle \widehat{\sigma};K\left[ X\right] \longrightarrow K^{\prime}\left[
X\right]
$

qui transforme $ X$ en $ X$.

Démonstration Soit $ \widehat{\sigma};K\left[ X\right] \longrightarrow K^{\prime}\left[
X\right] $ l'application définie par

$\displaystyle \widehat{\sigma}\left( a_{0}+a_{1}X+\cdot\cdot\cdot+a_{n}X^{n}\ri...
...sigma\left( a_{1}\right) X+\cdot\cdot
\cdot+\sigma\left( a_{n}\right) X^{n}.
$

C'est un simple exercice de prouver que $ \widehat{\sigma}$ est un homomorphisme d'anneaux vérifiant $ \widehat{\sigma}\left( X\right) =X$ et $ \widehat{\sigma}\left( k\right) =\sigma\left( k\right) $ pour tout $ k\in K$. $ \widehat{\sigma}$ est injective, car si nous avons

$\displaystyle \widehat{\sigma}\left( P\right) =\widehat{\sigma}\left( a_{0}+a_{1}%%
X+\cdot\cdot\cdot+a_{n}X^{n}\right) =0
$

alors $ \sigma\left( a_{i}\right) =0$ pour $ i=0,1,...,n$. Il en résulte $ a_{i}=0$ pour $ i=0,1,...,n$ et $ P=0$. $ \widehat{\sigma}$ est l'unique isomorphisme qui vérifie $ \widehat{\sigma}\left( X\right) =X$ et $ \widehat{\sigma}\left( k\right) =\sigma\left( k\right) $ pour tout $ k\in K$ car, si $ \tau$ est une autre solution, alors nous avons

$\displaystyle \tau\left( a_{0}+a_{1}X+\cdot\cdot\cdot+a_{n}X^{n}\right)$ $\displaystyle =\tau\left( a_{0}\right) +\tau\left( a_{1}\right) +\cdot\cdot\cdot+\tau\left( a_{n}\right) X^{n}$    
  $\displaystyle =\sigma\left( a_{0}\right) +\sigma\left( a_{1}\right) X+\cdot\cdot \cdot+\sigma\left( a_{n}\right) X^{n}$    
  $\displaystyle =\widehat{\sigma}\left( P\right) .$    

pour tout $ P\in K\left[ X\right] $.

Théorème Si $ E^{\prime}$ est une extension de K' qui contient un élément $ a^{\prime}$ transcendant sur $ K^{\prime}$, alors on peut prolonger $ \sigma$: $ K\rightarrow K'$ d'une manière unique en un isomorphisme $ E \rightarrow E'$ qui transforme $ a$ en $ a^{\prime}$.

Démonstration Soit $ F^{\prime}=K^{\prime}\left( a^{\prime}\right) $. $ F^{\prime}$est une extension de $ K^{\prime}$ isomorphe à $ K^{\prime}\left( X\right) $ car $ a^{\prime}$ est transcendant sur $ K^{\prime}$. On peut prolonger $ \sigma$ en un isomorphisme $ \widehat{\sigma};K\left[ X\right] \longrightarrow K^{\prime}\left[
X\right] $ par

$\displaystyle \widehat{\sigma}\left( a_{0}+a_{1}X+\cdot\cdot\cdot+a_{n}X^{n}\ri...
...sigma\left( a_{1}X\right) +\cdot\cdot
\cdot+\sigma\left( a_{n}\right) X^{n}.
$

$ \widehat{\sigma}$ est l'unique prolongement de $ \sigma$ qui vérifie $ \widehat{\sigma}\left( X\right) =X$ et $ \widehat{\sigma}\left( k\right) =\sigma\left( k\right) $ pour tout $ k\in K$. Cet isomorphisme $ \widehat{\sigma}$ peut être prolongé, d'une manière unique, en un isomorphisme $ \sigma^{\prime}$ de $ K\left( X\right) $, corps des fractions de $ K\left[ X\right] $, dans $ K^{\prime}\left( X\right) $, corps des fractions de $ K^{\prime}\left[ X\right] $, tel que $ \sigma^{\prime}\left(
X\right) =X$ et $ \sigma^{\prime}\left( k\right) =\sigma\left( k\right) $ pour tout $ k\in K$. Finalement, soit $ u$ l'unique isomorphisme de $ K\left(
a\right) $ sur $ K\left( X\right) $ tel que $ u\left( a\right) =X$ et $ u^{\prime}$ l'unique isomorphisme de $ K^{\prime}\left( X\right) $ sur $ K^{\prime}\left( a^{\prime}\right) $ tel que $ u^{\prime}\left( X\right)
=a^{\prime}$. Nous avons

$\displaystyle %%
\begin{tabular}[c]{ccccccc}%%
& & $ K$ & $\overset{\sigma}...
...\longrightarrow}$ & $K^{\prime}\left( a^{\prime
}\right) $%%
\end{tabular}
$

où les flêches verticales sont les injections canoniques. Posons $ \overline{\sigma}=u^{\prime}\circ\sigma^{\prime}\circ u$. $ \overline{\sigma}$ est un isomorphisme et il vérifie

$\displaystyle \overline{\sigma}\left( a\right) =\left( u^{\prime}\circ\sigma^{\...
...gma^{\prime}\left(
X\right) \right) =u^{\prime}\left( X\right) =a^{\prime}%%
$

et

$\displaystyle \overline{\sigma}\left( k\right) =\left( u^{\prime}\circ\sigma^{\...
...ight) =u^{\prime}\left( \sigma\left( k\right) \right)
=\sigma\left( k\right)
$

$ \overline{\sigma}$ est unique, car $ \widehat{\sigma},\sigma^{\prime},u$ et $ u^{\prime}$ sont tous uniques.

Remarque Si $ E^{\prime}=K^{\prime}\left( a^{\prime}\right) $ alors $ \overline{\sigma}$ est bijectif.

Théorème Si $ \sigma$ peut être prolongé en un isomorphisme $ \overline{\sigma}$, alors
$ a^{\prime}=\overline{\sigma}\left( a\right) $ est transcendant sur $ K^{\prime}$.

Démonstration Sinon, il existe des éléments $ b_{0}^{\prime},b_{1}^{\prime}%%
,...,b_{n}^{\prime}$, non tous nuls, tels que

$\displaystyle b_{0}^{\prime}+b_{1}^{\prime}a^{\prime}+\cdot\cdot\cdot+b_{n}^{\prime}\left(
a^{\prime}\right) ^{n}=0.
$

Mais chaque $ b_{i}^{\prime}$ peut s'écrire sous la forme $ b_{i}^{\prime
}=\sigma\left( b_{i}\right) $, il en résulte

$\displaystyle \overline{\sigma}\left( b_{0}+b_{1}a+\cdot\cdot\cdot+b_{n}a^{n}\right)$ $\displaystyle =\overline{\sigma}\left( b_{0}\right) +\overline{\sigma}\left( b_...
...prime}+\cdot\cdot\cdot+\overline{\sigma}\left( b_{n}\right) \left( a^{n}\right)$    
  $\displaystyle =b_{0}^{\prime}+b_{1}^{\prime}a^{\prime}+\cdot\cdot\cdot+b_{n}^{\prime }\left( a^{\prime}\right) ^{n}=0$    

qui implique $ b_{0}+b_{1}a+\cdot\cdot\cdot+b_{n}a^{n}=0$, avec les $ b_{i}$ non tous nuls, qui prouve que $ a$ est algébrique sur $ K$ en contradiction l'hypothèse que $ a$ est transcendant sur $ K$.

Ce qui précède permet d'énoncer :

Théorème $ \sigma$ peut être prolongé en un isomorphisme $ \overline{\sigma}$ de $ E=K\left( a\right) $ dans $ E^{\prime}$ si, et seulement si, $ E^{\prime}$ contient un élément $ a^{\prime}$ transcendant sur $ K^{\prime}$.


next up previous
suivant: Cas où est algébrique monter: Prolongement d'isomorphismes précédent: Prolongement d'isomorphismes
I_El_Hage_Les-mathematiques.net
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page