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Cas où est algébrique sur next up previous
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Cas où $ a$ est algébrique sur $ K$

Théorème Si $ E^{\prime}$ contient un élément $ a^{\prime}$ algébrique sur $ K^{\prime}$ tel que

$\displaystyle \widehat{\sigma}\left( Irr\left( a,K\right) \right) =Irr\left( a^{\prime
},K^{\prime}\right) ,
$

alors on peut prolonger $ \sigma$ d'une manière unique en un isomorphisme qui transforme $ a$ en $ a^{\prime}$..

Démonstration Soit $ I\left( a\right) $ (resp. $ I\left( a^{\prime}\right) $) l'idéal de $ K\left[ X\right] $ (resp. de $ K^{\prime}\left[ X\right] $) engendré par $ Irr(a,K)$ (resp. par $ Irr(a^{\prime},K^{\prime})$), $ u$ (resp. $ u^{\prime}$) l'unique isomorphisme de $ K\left(
a\right) $ (resp. $ K^{\prime}\left[ X\right] /I\left( a^{\prime}\right) $) sur $ K\left[
X\right] /I\left( a\right) $ (resp. $ K^{\prime}\left( a^{\prime}\right) $) el que $ u\left( a\right) =\overline{X}$ (resp. $ u^{\prime}\left(
\overline{X}\right) =a^{\prime}$). Comme dans le cas où $ a$ est transcendant sur $ K$, $ \sigma$ peut être prolongé en $ \widehat{\sigma}$. $ \widehat{\sigma}$ peut être prolongé en un isomorphisme $ \sigma^{\prime}$ de $ K\left[
X\right] /I\left( a\right) $ sur $ K^{\prime}\left[ X\right] /I\left( a^{\prime}\right) $ car, nous avons $ \widehat{\sigma}\left( I\left( a\right) \right) \subseteq I\left(
a^{\prime},K^{\prime}\right) $ du fait que $ \widehat{\sigma}\left(
Irr\left( a,K\right) \right) =Irr\left( a^{\prime},K^{\prime}\right) $. Nous obtenons

$\displaystyle %%
\begin{tabular}[c]{ccccccc}%%
& & $ K$ & $\overset{\sigma}...
...}{\longrightarrow}$ & $K^{\prime}\left( a^{\prime}\right) $%%
\end{tabular}
$

où les flêches verticales du premier niveau sont les injections canoniques et celles du second niveau sont les surjections canoniques. Posons $ \overline{\sigma}=u^{\prime}\circ\sigma^{\prime}\circ u$. $ \overline{\sigma}$ est un isomorphisme et il vérifie

$\displaystyle \overline{\sigma}\left( a\right) =\left( u^{\prime}\circ\sigma^{\...
...erline{X}\right) \right) =u^{\prime}\left( \overline{X}\right)
=a^{\prime}%%
$

et

$\displaystyle \overline{\sigma}\left( k\right) =\left( u^{\prime}\circ\sigma^{\...
...ight) =u^{\prime}\left( \sigma\left( k\right) \right)
=\sigma\left( k\right)
$

$ \overline{\sigma}$ est unique car $ \widehat{\sigma},\sigma^{\prime},u$ et $ u^{\prime}$ sont tous uniques.

Remarque Si $ E^{\prime}=K^{\prime}\left( a^{\prime}\right) $, alors $ \overline{\sigma}$ est bijectif.

Théorème Si $ \sigma$ peut être prolongé en un isomorphisme $ \overline{\sigma}$, alors
$ a^{\prime}=\overline{\sigma}\left( a\right) $ est algébrique sur $ K^{\prime}$ et $ \widehat{\sigma}\left(
Irr\left( a,K\right) \right) =Irr\left( a^{\prime},K^{\prime}\right) $.

Démonstration Soit $ P=b_{0}+b_{1}X+\cdot\cdot\cdot+X^{n}$ le polynôme minimal de $ a$ sur $ K$. Nous avons

$\displaystyle b_{0}+b_{1}a+\cdot\cdot\cdot+b_{n}a^{n}=0
$

et

$\displaystyle 0=\overline{\sigma}\left( b_{0}+b_{1}a+\cdot\cdot\cdot+a^{n}\righ...
...a^{\prime}+\cdot\cdot\cdot+\overline{\sigma}\left( a^{\prime
}\right) ^{n}%%
$

qui prouve que $ a^{\prime}$ est algébrique sur $ K^{\prime}$. Le polynôme

$\displaystyle P^{\prime}=b_{0}^{\prime}+b_{1}^{\prime}X+\cdot\cdot\cdot+X^{n}%%
$

$ b_{i}^{\prime}=\overline{\sigma}\left( b_{i}\right) =\sigma\left(
b_{i}\right) $ est irréductible dans $ K^{\prime}\left[ X\right] $ car $ \widehat{\sigma}$ est un isomorphisme et $ P$ est irréductible dans $ K\left[ X\right] $. D'où

$\displaystyle Irr(a^{\prime},K^{\prime})=P^{\prime}=\widehat{\sigma}\left( P\right)
=\widehat{\sigma}\left( Irr(a,K\right) ).
$


Ce qui précède nous permet d'énoncer :

Théorème $ \sigma$ peut être prolongé en un isomorphisme $ \overline{\sigma}$ de $ E=K\left( a\right) $ dans $ E^{\prime}$ si, et seulement si, $ E^{\prime}$ contient un élément $ a^{\prime}$ algébrique sur $ K^{\prime}$ tel que $ \widehat{\sigma}\left(
Irr\left( a,K\right) \right) =Irr\left( a^{\prime},K^{\prime}\right) $.

Les théorèmes précédents peuvent être résumés en :

Théorème Si $ \sigma;K\longrightarrow K^{\prime}$, $ E=K\left( a\right) $ est une extension simple de $ K$ et $ E^{\prime}=K^{\prime}\left( a^{\prime}\right) $ une extension simple de $ K^{\prime}$, alors il est possible de prolonger $ \sigma$ en un isomorphisme $ \overline{\sigma}$ de $ E$ dans $ E^{\prime}$ tel que $ \overline{\sigma}\left( a\right) =a^{\prime}$ si, et seulement si, une des deux conditions suivantes est vérifiée :

  • $ a$ est transcendant sur $ K$ et $ a^{\prime}$ est transcendant sur $ K^{\prime}$.

  • $ a$ est algébrique sur $ K$, $ a^{\prime}$ est algébrique sur $ K^{\prime}$ et

    $\displaystyle \widehat{\sigma}\left( Irr\left( a,K\right) \right) =Irr\left( a^{\prime
},K^{\prime}\right).
$

$  $

Théorème Si $ E=K\left( a\right) $ et $ E^{\prime}=K\left( a^{\prime}\right) $ sont deux extensions simples du même corps $ K$, alors il existe un $ K$-isomorphisme $ \overline{\sigma}$ de $ E$ sur $ E^{\prime}$ tel que $ \overline{\sigma}\left( a\right) =a^{\prime}$ si, et seulement si, une des deux conditions suivantes est vérifiée :

  • $ a$ et $ a^{\prime}$ sont tous les deux transcendants sur $ K$.

  • $ a$ et $ a^{\prime}$ sont tous les deux algébriques sur $ K$ et $ Irr\left( a,K\right) =Irr\left( a^{\prime},K\right)$ .
$  $


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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