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Cas où est algébrique sur

suivant: Unicité du corps des monter: Prolongement d'isomorphismes précédent: Cas où est transcendant

Cas où est algébrique sur

Théorème Si $E^{\prime}$ contient un élément $a^{\prime}$ algébrique sur $K^{\prime}$ tel que

$\displaystyle \widehat{\sigma}\left( Irr\left( a,K\right) \right) =Irr\left( a^{\prime },K^{\prime}\right) ,$

alors on peut prolonger $\sigma$ d'une manière unique en un isomorphisme qui transforme

en $a^{\prime}$ ..

Démonstration Soit $I\left( a\right)$ (resp. $I\left( a^{\prime}\right)$ ) l'idéal de $K\left[ X\right]$ (resp. de $K^{\prime}\left[ X\right]$ ) engendré par (resp. par $Irr(a^{\prime},K^{\prime})$ ), (resp. $u^{\prime}$ ) l'unique isomorphisme de $K\left( a\right)$ (resp. $K^{\prime}\left[ X\right] /I\left( a^{\prime}\right)$ ) sur $K\left[ X\right] /I\left( a\right)$ (resp. $K^{\prime}\left( a^{\prime}\right)$ ) el que $u\left( a\right) =\overline{X}$ (resp. $u^{\prime}\left( \overline{X}\right) =a^{\prime}$ ). Comme dans le cas où est transcendant sur , $\sigma$ peut être prolongé en $\widehat{\sigma}$ . $\widehat{\sigma}$ peut être prolongé en un isomorphisme $\sigma^{\prime}$ de $K\left[ X\right] /I\left( a\right)$ sur $K^{\prime}\left[ X\right] /I\left( a^{\prime}\right)$ car, nous avons $\widehat{\sigma}\left( I\left( a\right) \right) \subseteq I\left( a^{\prime},K^{\prime}\right)$ du fait que $\widehat{\sigma}\left( Irr\left( a,K\right) \right) =Irr\left( a^{\prime},K^{\prime}\right)$ . Nous obtenons

$\displaystyle %% \begin{tabular}[c]{ccccccc}%% & & $ K$ & $\overset{\sigma}... ...}{\longrightarrow}$ & $K^{\prime}\left( a^{\prime}\right) $%% \end{tabular}$

où les flêches verticales du premier niveau sont les injections canoniques et celles du second niveau sont les surjections canoniques. Posons $\overline{\sigma}=u^{\prime}\circ\sigma^{\prime}\circ u$ . $\overline{\sigma}$ est un isomorphisme et il vérifie

$\displaystyle \overline{\sigma}\left( a\right) =\left( u^{\prime}\circ\sigma^{\... ...erline{X}\right) \right) =u^{\prime}\left( \overline{X}\right) =a^{\prime}%%$

$\displaystyle \overline{\sigma}\left( k\right) =\left( u^{\prime}\circ\sigma^{\... ...ight) =u^{\prime}\left( \sigma\left( k\right) \right) =\sigma\left( k\right)$

$\overline{\sigma}$ est unique car $\widehat{\sigma},\sigma^{\prime},u$ et $u^{\prime}$ sont tous uniques.

Remarque Si $E^{\prime}=K^{\prime}\left( a^{\prime}\right)$ , alors $\overline{\sigma}$ est bijectif.

Théorème Si $\sigma$ peut être prolongé en un isomorphisme $\overline{\sigma}$ , alors
$a^{\prime}=\overline{\sigma}\left( a\right)$ est algébrique sur $K^{\prime}$ et $\widehat{\sigma}\left( Irr\left( a,K\right) \right) =Irr\left( a^{\prime},K^{\prime}\right)$ .

Démonstration Soit $P=b_{0}+b_{1}X+\cdot\cdot\cdot+X^{n}$ le polynôme minimal de sur . Nous avons

$\displaystyle b_{0}+b_{1}a+\cdot\cdot\cdot+b_{n}a^{n}=0$

$\displaystyle 0=\overline{\sigma}\left( b_{0}+b_{1}a+\cdot\cdot\cdot+a^{n}\righ... ...a^{\prime}+\cdot\cdot\cdot+\overline{\sigma}\left( a^{\prime }\right) ^{n}%%$

qui prouve que $a^{\prime}$ est algébrique sur $K^{\prime}$ . Le polynôme

$\displaystyle P^{\prime}=b_{0}^{\prime}+b_{1}^{\prime}X+\cdot\cdot\cdot+X^{n}%%$

où $b_{i}^{\prime}=\overline{\sigma}\left( b_{i}\right) =\sigma\left( b_{i}\right)$ est irréductible

dans $K^{\prime}\left[ X\right]$ car $\widehat{\sigma}$ est un isomorphisme et

est irréductible dans $K\left[ X\right]$ . D'où

$\displaystyle Irr(a^{\prime},K^{\prime})=P^{\prime}=\widehat{\sigma}\left( P\right) =\widehat{\sigma}\left( Irr(a,K\right) ).$

Ce qui précède nous permet d'énoncer :

Théorème $\sigma$ peut être prolongé en un isomorphisme $\overline{\sigma}$ de $E=K\left( a\right)$ dans $E^{\prime}$ si, et seulement si, $E^{\prime}$ contient un élément $a^{\prime}$ algébrique sur $K^{\prime}$ tel que $\widehat{\sigma}\left( Irr\left( a,K\right) \right) =Irr\left( a^{\prime},K^{\prime}\right)$ .

Les théorèmes précédents peuvent être résumés en :

Théorème Si $\sigma;K\longrightarrow K^{\prime}$ , $E=K\left( a\right)$ est une extension simple de et $E^{\prime}=K^{\prime}\left( a^{\prime}\right)$ une extension simple de $K^{\prime}$ , alors il est possible de prolonger $\sigma$ en un isomorphisme $\overline{\sigma}$ de dans $E^{\prime}$ tel que $\overline{\sigma}\left( a\right) =a^{\prime}$ si, et seulement si, une des deux conditions suivantes est vérifiée :

est transcendant sur et $a^{\prime}$ est transcendant sur $K^{\prime}$ .
est algébrique sur , $a^{\prime}$ est algébrique sur $K^{\prime}$ et

$\displaystyle \widehat{\sigma}\left( Irr\left( a,K\right) \right) =Irr\left( a^{\prime },K^{\prime}\right).$

Théorème Si $E=K\left( a\right)$ et $E^{\prime}=K\left( a^{\prime}\right)$ sont deux extensions simples du même corps , alors il existe un -isomorphisme $\overline{\sigma}$ de sur $E^{\prime}$ tel que $\overline{\sigma}\left( a\right) =a^{\prime}$ si, et seulement si, une des deux conditions suivantes est vérifiée :

et $a^{\prime}$ sont tous les deux transcendants sur .
et $a^{\prime}$ sont tous les deux algébriques sur et $Irr\left( a,K\right) =Irr\left( a^{\prime},K\right)$ .