Théorème
Si
contient un élément
algébrique sur
tel que
alors on peut prolonger d'une manière unique en un isomorphisme
qui transforme en
..
Démonstration Soit
(resp.
) l'idéal
de
(resp. de
)
engendré par (resp. par
),
(resp.
) l'unique isomorphisme de
(resp.
) sur
(resp.
) el que
(resp.
). Comme dans le cas où est
transcendant sur , peut être prolongé en
.
peut être prolongé en un isomorphisme
de
sur
car, nous avons
du fait que
.
Nous obtenons
où les flêches verticales du premier niveau sont les injections
canoniques et celles du second niveau sont les surjections canoniques. Posons
.
est un isomorphisme et il vérifie
et
est unique car
et
sont tous uniques.
Remarque
Si
, alors
est bijectif.
Théorème
Si peut être prolongé en un isomorphisme
,
alors est
algébrique sur
et
.
Démonstration Soit
le polynôme minimal de sur
. Nous avons
et
qui prouve que
est algébrique sur
. Le
polynôme
où
est irréductible dans
car
est un isomorphisme et est irréductible dans
. D'où
Ce qui précède nous permet d'énoncer :
Théorème peut être prolongé en un isomorphisme
de
dans
si, et seulement si,
contient un élément
algébrique sur
tel
que
.
Les théorèmes précédents peuvent être résumés en :
Théorème
Si
,
est une
extension simple de et
une extension simple de
, alors il est possible de prolonger
en un isomorphisme
de dans
tel
que
si, et seulement si, une
des deux conditions suivantes est vérifiée :
est transcendant sur et
est transcendant sur
.
est algébrique sur ,
est algébrique sur
et
Théorème
Si
et
sont
deux extensions simples du même corps , alors il existe un
-isomorphisme
de sur
tel que
si, et seulement si, une des
deux conditions suivantes est vérifiée :