Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
104 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Unicité du corps des racines bbab6 next up previous
monter: Prolongement d'isomorphismes précédent: Cas où est algébrique

Unicité du corps des racines

Théorème Soit $ \sigma;K\longrightarrow K^{\prime}$ un isomorphisme de corps, $ P\in K\left[ X\right] $, $ P^{\prime}=\widehat{\sigma}\left( P\right)$, $ R$ un corps des racines pour $ P$ sur $ K$ et $ R^{\prime}$ un corps des racines pour $ P^{\prime}$ sur $ K^{\prime}$. $ R$ s'écrit $ R=K\left( a_{1}%%
,...,a_{n}\right) $ $ a_{1},...,a_{n}$ sont les racines de $ P$ dans $ R$. Nous avons aussi $ R^{\prime}=K^{\prime}\left( a_{1}^{\prime}%%
,...,a_{n}^{\prime}\right) $ $ a_{1}^{\prime},...,a_{n}^{\prime}$ sont les racines de $ P^{\prime}$ dans $ R^{\prime}$. Soit $ R_{i}=K\left(
a_{1},...,a_{i}\right) $ pour $ i=1,2,..,n$. Il est possible de prolonger $ \sigma$ en un isomorphisme de $ R$ sur $ R^{\prime}$.

Démonstration Nous allons prouver par récurrence sur $ i$, que $ \sigma$ peut être prolongé en un isomorphisme $ \sigma_{i}$ de $ R_{i}$ dans $ R^{\prime}$. Pour $ i=1$, le résultat est vrai. En effet, $ Irr\left( a_{1},K\right) $ est un facteur irréductible de $ P$. Ainsi, le polynôme $ \widehat
{\sigma}\left( Irr\left( a_{1},K\right) \right) $ est un facteur irréductible de $ P^{\prime}$. Un des éléments $ a_{1}^{\prime},...,a_{n}^{\prime}$, soit $ a_{1}^{^{\prime}}$, est une racine de ce facteur. On peut alors prolonger $ \sigma$ en un isomorphisme $ \sigma_{1}$ de $ R_{1}$ dans $ R^{\prime}$. Supposons $ \sigma$ prolongé en un isomorphisme $ \sigma_{i}$ de $ R_{i}$ dans $ R^{\prime}$. Or $ R_{i+1}=R_{i}\left(
a_{i}\right) $. En raisonnant comme avant, on peut prolonger $ \sigma_{i}$ en un isomorphisme $ \sigma_{i+1}$ de $ R_{i+1}$ dans $ R^{\prime}$. Pour $ i=n$, nous avons un isomorphisme $ \sigma_{n}$ de $ R_{n}=R$ dans $ R^{\prime}$ qui prolonge $ \sigma$. D'où

$\displaystyle \left[ R:K\right] =\left[ \sigma_{n}\left( R\right) :K^{\prime}\right]
\leq\left[ R^{\prime}:K^{\prime}\right] .
$

D'une manière similaire, nous avons $ \left[ R^{\prime}:K^{\prime}\right]
\leq\left[ R:K\right] $ et par suite,

$\displaystyle \left[ R:K\right] =\left[ \sigma_{n}\left( R\right) :K^{\prime}\right]
=\left[ R^{\prime}:K^{\prime}\right] .
$

Ceci prouve $ \sigma_{n}\left( R\right) =R^{\prime}$.

Corollaire Deux corps des racines pour le polynôme $ P\in K\left[ X\right] $ sur $ K$ sont $ K$-isomorphes.


next up previous
monter: Prolongement d'isomorphismes précédent: Cas où est algébrique
I_El_Hage_Les-mathematiques.net
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page