Théorème Soit
un isomorphisme de corps,
,
, un
corps des racines pour sur et
un corps des racines pour
sur
. s'écrit
où
sont les racines de dans
. Nous avons aussi
où
sont
les racines de
dans
. Soit
pour
. Il est possible de prolonger en un isomorphisme de sur
.
Démonstration Nous allons prouver par récurrence sur , que peut être
prolongé en un isomorphisme
de dans
.
Pour , le résultat est vrai. En effet,
est un facteur irréductible de . Ainsi, le polynôme
est un facteur
irréductible de
. Un des éléments
, soit
, est une racine de ce facteur.
On peut alors prolonger en un isomorphisme
de
dans
. Supposons prolongé en un isomorphisme
de dans
. Or
. En raisonnant comme avant, on peut prolonger
en
un isomorphisme
de dans
. Pour ,
nous avons un isomorphisme
de dans
qui
prolonge . D'où
D'une manière similaire, nous avons
et par suite,
Ceci prouve
.
Corollaire
Deux corps des racines pour le polynôme
sur
sont -isomorphes.