Unicité du corps des racines

Théorème Soit $\sigma;K\longrightarrow K^{\prime}$ un isomorphisme de corps, $P\in K\left[ X\right]$ , $P^{\prime}=\widehat{\sigma}\left( P\right)$ , un corps des racines pour sur et $R^{\prime}$ un corps des racines pour $P^{\prime}$ sur $K^{\prime}$ . s'écrit $R=K\left( a_{1}%% ,...,a_{n}\right)$ où $a_{1},...,a_{n}$ sont les racines de dans . Nous avons aussi $R^{\prime}=K^{\prime}\left( a_{1}^{\prime}%% ,...,a_{n}^{\prime}\right)$ où $a_{1}^{\prime},...,a_{n}^{\prime}$ sont les racines de $P^{\prime}$ dans $R^{\prime}$ . Soit $R_{i}=K\left( a_{1},...,a_{i}\right)$ pour . Il est possible de prolonger $\sigma$ en un isomorphisme de sur $R^{\prime}$ .

Démonstration Nous allons prouver par récurrence sur , que $\sigma$ peut être prolongé en un isomorphisme $\sigma_{i}$ de $R_{i}$ dans $R^{\prime}$ . Pour , le résultat est vrai. En effet, $Irr\left( a_{1},K\right)$ est un facteur irréductible de . Ainsi, le polynôme $\widehat {\sigma}\left( Irr\left( a_{1},K\right) \right)$ est un facteur irréductible de $P^{\prime}$ . Un des éléments $a_{1}^{\prime},...,a_{n}^{\prime}$ , soit $a_{1}^{^{\prime}}$ , est une racine de ce facteur. On peut alors prolonger $\sigma$ en un isomorphisme $\sigma_{1}$ de $R_{1}$ dans $R^{\prime}$ . Supposons $\sigma$ prolongé en un isomorphisme $\sigma_{i}$ de $R_{i}$ dans $R^{\prime}$ . Or $R_{i+1}=R_{i}\left( a_{i}\right)$ . En raisonnant comme avant, on peut prolonger $\sigma_{i}$ en un isomorphisme $\sigma_{i+1}$ de $R_{i+1}$ dans $R^{\prime}$ . Pour , nous avons un isomorphisme $\sigma_{n}$ de $R_{n}=R$ dans $R^{\prime}$ qui prolonge $\sigma$ . D'où