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Racines de l'unité

Soit $ K$ un corps et $ n$ un entier naturel non nul.

Définition Un élément $ a\in K$ est une racine n $ ^{\mathbf{\grave{e}me}}$ de l'unité si, et seulement si, $ a^{n}=1$ .Soit $ S_{n}\left( K\right) $ l'ensemble de toutes les racines $ n^{\grave
{e}me}$ de l'unité dans $ K$. Cet ensemble est non vide car $ 1\in
S_{n}\left( K\right) $.

Il résulte de cette définition que $ a\in K$ est une racine $ n^{\grave
{e}me}$ de l'unité si, et seulement si, $ a$ est une racine du polynôme $ U\left( X\right) =X^{n}-1\in K\left[ X\right] $.

Exemple $ 1\in K$ est une racine $ n^{\grave
{e}me}$ de l'unité pour tout $ n\in\mathbb{N}^{\ast}$. $ i$ est une racine $ 4^{\grave{e}me}$ de l'unité dans $ \mathbb{C}$. $ j=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est une racine cubique de l'unité dans $ \mathbb{C}$.

Théorème Si $ m$ divise $ n$, alors $ S_{m}\left( K\right) \subseteq S_{n}\left(
K\right) $.

Démonstration Si $ m$ divise $ n$, alors $ n$ s'écrit $ n=pm$ $ p\in\mathbb{N}^{\ast}%%
$. Il en résulte

$\displaystyle \left[ a\in S_{m}\left( K\right) \right] \Longrightarrow\left[
a...
...right)
^{p}=1\right] \Longrightarrow\left[ a\in S_{n}\left( K\right) \right]
$


Théorème L'ensemble des racines n $ ^{\mathbf{\grave{e}me}}$ de l'unité $ S_{n}\left( K\right) $ est un groupe multiplicatif.

Démonstration $ S_{n}\left( K\right) \neq\emptyset$ comme nous l'avons vu. D'un autre côté, si $ a$ et $ b$ sont des racines $ n^{\grave
{e}me}$ de l'unité, alors $ a$ et $ b$ sont non nuls et vérifient

$\displaystyle \left( ab^{-1}\right) ^{n}=a^{n}\left( b^{-1}\right) ^{n}=a^{n}\left(
b^{n}\right) ^{-1}=1
$

ce qui prouve le théorème.

Définition On appelle corps premier d'un corps $ K$ le plus petit sous-corps de $ K$.

Théorème Le corps premier de $ K$ est le sous-corps de $ K$ engendré par $ 1$.

Démonstration En effet, $ 1$ appartient à tous les sous-corps de $ K$ . Il en résulte que le sous-corps de $ K$ engendré par 1 est le plus petit sous-corps de $ K$ c.d. son corps premier.

Théorème Le corps premier de $ K$ est l'intersection de tous les sous-corps de $ K$.

Démonstration Facile à vérifier.

Théorème Le corps premier d'un corps $ K$ est isomorphe à $ \mathbb{Q}$ si sa caractéristique est nulle, et à $ \mathbb{Z}/\left( p\right) $ (où (p) est l'idéal engendré par p dans l'anneau $ \mathbb{Z}$) si cette caractéristique est $ p\neq0$.

Démonstration Soit $ u$ l'application de $ \mathbb{Z}$ dans $ K$ définie par
$ u\left( n\right) =n.1$. Il est facile de vérifier que $ u$ est un homomorphisme d'anneaux et que $ \operatorname{Im}\left( u\right) $ est le sous-anneau de $ K$ engendré par $ 1$. $ Ker\left( u\right) $ est un idéal de $ \mathbb{Z}$. Il est engendré par un élément $ p$ de $ \mathbb{Z}$. $ p$ est la caractéristique de $ K$. Si $ p=0$, alors $ \mathbb{Z}$ est isomorphe à $ \operatorname{Im}\left( u\right) $ et le corps des fractions de $ \mathbb{Z}$ (c.à.d. $ \mathbb{Q}$) au corps des fractions de $ \operatorname{Im}\left( u\right) $. Mais ce corps est le plus petit sous corps de $ K$ contenant $ 1$. Il est le corps premier de $ K$. Donc, si $ K$ est de caratéristique nulle, son corps premier est isomorphe à $ \mathbb{Q}$. Si $ p\neq0$, alors $ \operatorname{Im}\left( u\right) $ est isomorphe à $ \mathbb{Z}/Ker\left( u\right) =\mathbb{Z}/\left( p\right)
$ qui est un corps ($ p$ est premier). Ce sous-corps de $ K$ est le sous-corps engendré par $ 1$. Donc, si $ K$ est de caractéristique $ p\neq0$, son corps premier est isomorphe à $ \mathbb{Z}/\left( p\right) $.

Exemple $ \mathbb{Q}$ est le corps premier de $ \mathbb{R}$ et de $ \mathbb{C}$. $ \mathbb{Z}/\left( p\right) $ est égal à son corps premier.

Théorème Soit $ P$ le corps premier du corps $ K$. Nous avons $ U\left( X\right) =X^{n}-1\in
P\left[ X\right] $. Soit $ R$ le corps des racines de $ U$ sur $ P$. Si la caractéristique $ p$ de $ K$ est nulle ou si elle ne divise pas $ n$, alors $ R$ contient $ n$ racines $ n^{\grave
{e}me}$ de l'unité distinctes.

Démonstration Il suffit de prouver que les racines du polynôme $ U$ sont toutes simples. Sinon, $ U$ et son polynôme dérivé $ U^{\prime}=nX^{n-1}$ ont une racine commune. Or zéro est la seule racine de $ U^{\prime}$ car $ p=0$ ou $ n$ est non divisible par $ p$. Comme 0 n'est pas une racine de $ U$, toutes les racines de $ U$ sont simples et $ R$ en contient $ n$.

Pour démontrer que $ S_{n}\left( K\right) $ est un groupe cyclique, nous avons besoin d'un théorème de la théorie de groupes.

Lemme Soient $ a$ et $ b$ deux éléments d'un groupe abélien multiplicatif $ G$. Si $ p=Ord\left( a\right) $ et $ q=Ord\left( b\right) $ sont premiers entre eux, alors $ Ord\left( ab\right) =pq$.

Démonstration Tout d'abord, $ gr\left( a\right)$ désignant le sous groupe de $ G$engendré par a, $ gr\left( a\right) \cap gr\left( b\right) $ est réduit à $ \left\{ e\right\} $ car si $ x$ est un élément de cette intersection, alors l'ordre $ r$ de $ x$ est un diviseur commun de $ p$ et $ q$. Cet ordre est donc égal à 1 ($ p$ et $ q$ sont premiers entre eux) et $ x=e$. D'un autre côté, $ \left( ab\right) ^{pq}=a^{p}b^{q}=ee=e$. Enfin, si $ d$ est l'ordre de $ ab$, alors $ \left( ab\right) ^{d}=a^{d}b^{d}$. Il en résulte $ a^{d}=\left( b^{-1}\right) ^{d}\in gr\left( a\right)
\cap gr\left( b\right) =\left\{ e\right\} $ et par suite $ a^{d}=e=b^{d}$. On en déduit que $ d$ est donc un multiple commun de $ p$ et $ q$, donc de leur produit car ils sont premier entre eux. Ainsi $ pq$ est l'ordre de $ ab$.

Lemme Soient $ a_{1},...,a_{n}$ des élément d'un groupe abélien multiplicatif $ G$. Si les ordres des $ a_{1},...,a_{n}$ sont premiers deux à deux, l'ordre de leur produit est égal au produit des ordres de ces éléments.

Démonstration Par récurrence.

Théorème Si la caractéristique $ p$ de $ K$ est nulle ou si elle ne divise pas $ n$, alors le groupe des racines n$ ^{ièmes}$ de l'unité $ S_{n}\left( K\right) $ est un groupe cyclique.

Démonstration Soit $ n=p_{1}^{n_{1}}...p_{t}^{n_{t}}$ la décomposition de $ n$ comme produit de nombres premiers. Pour tout $ i=1,2,...,t$ il existe au plus $ \dfrac{n}{p_{i}}$ éléments $ a$ qui vérifient $ a^{\frac{n}{p_{i}}%%
}=1$, car le polynôme $ X^{\frac{n}{p_{i}}}-1$ possède au plus $ \dfrac{n}{p_{i}}$ racines. Soit, pour $ i=1,2,...,t$, $ a_{i}\in S_{n}\left(
K\right) $ tel que $ a_{i}^{\frac{n}{p_{i}}}\neq1$. Considérons $ m_{i}=\dfrac{n}{p_{i}^{n_{i}}}$ et $ b_{i}=a_{i}^{m_{i}}$. Les éléments $ b_{i}$ sont d'ordre $ p_{i}^{n_{i}}$ car $ b_i^{p_{i}^{n_{i}}}=1$ et $ b_i^{p_{i}^{n_{i}-1}}$ sont différents de $ 1$. Le produit $ b=b_{1}...b_{t}$ est un produit d'éléments dont les ordres sont premiers entre eux, il en résulte que l'ordre de $ b$ est le produits des ordres des $ b_{i}$. Ainsi $ b$ est d'ordre $ n$. Il engendre $ S_{n}\left( K\right) $.

Corollaire Le groupe des racines n$ ^{ièmes}$ de l'unité $ S_{n}\left( K\right) $ est isomorphe à $ \mathbb{Z}/\left( n\right) $$ (n)$ désigne l'idéal engendré par n dans $ \mathbb{Z}$.

Définition On dit qu'une racine $ n^{\grave
{e}me}$ de l'unité est une racine $ n^{\grave
{e}me}$ primitive de l'unité si, et seulement si, cette racine engendre le groupe $ S_{n}\left( K\right) $.

Si $ z\in S_{n}\left( K\right) $ est une racine $ n^{\grave
{e}me}$ primitive de l'unité, alors

$\displaystyle S_{n}\left( K\right) =\left\{ 1,z,z^{2},...,z^{n-1}\right\}
$

Le nombre de ces racines primitives est celui des générateurs du $  $groupe cyclique $ S_{n}\left( K\right) $. Nous savons, d'après la théorie des groupes, que ces générateurs sont les $ z^{q}$ $ q\in\left\{ 1,2,...,n-1\right\} $ et $ q$ est premier avec $ n$. Leur nombre est noté $ \varphi\left( n\right) $ $ \varphi$ est en fait la fonction caractéristique d'Euler.

Exemple Les racine $ 12^{\grave{e}me}$ primitives de l'unité dans $ \mathbb{C}$ sont $ \omega,\omega^{5},\omega^{7}$ et $ \omega^{11}$ $ \omega=\exp\left(
\dfrac{i\pi}{6}\right) $.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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