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Racines de l'unité

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Racines de l'unité

Soit un corps et un entier naturel non nul.

Définition Un élément $a\in K$ est une racine n $^{\mathbf{\grave{e}me}}$ de l'unité si, et seulement si, $a^{n}=1$ .Soit $S_{n}\left( K\right)$ l'ensemble de toutes les racines $n^{\grave {e}me}$ de l'unité dans . Cet ensemble est non vide car $1\in S_{n}\left( K\right)$ .

Il résulte de cette définition que $a\in K$ est une racine $n^{\grave {e}me}$ de l'unité si, et seulement si, est une racine du polynôme $U\left( X\right) =X^{n}-1\in K\left[ X\right]$ .

Exemple $1\in K$ est une racine $n^{\grave {e}me}$ de l'unité pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ . est une racine $4^{\grave{e}me}$ de l'unité dans $\mathbb{C}$ . $j=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est une racine cubique de l'unité dans $\mathbb{C}$ .

Théorème Si divise , alors $S_{m}\left( K\right) \subseteq S_{n}\left( K\right)$ .

Démonstration Si divise , alors s'écrit où $p\in\mathbb{N}^{\ast}%%$ . Il en résulte

$\displaystyle \left[ a\in S_{m}\left( K\right) \right] \Longrightarrow\left[ a... ...right) ^{p}=1\right] \Longrightarrow\left[ a\in S_{n}\left( K\right) \right]$

Théorème L'ensemble des racines n $^{\mathbf{\grave{e}me}}$ de l'unité $S_{n}\left( K\right)$ est un groupe multiplicatif.

Démonstration $S_{n}\left( K\right) \neq\emptyset$ comme nous l'avons vu. D'un autre côté, si et sont des racines $n^{\grave {e}me}$ de l'unité, alors et sont non nuls et vérifient

$\displaystyle \left( ab^{-1}\right) ^{n}=a^{n}\left( b^{-1}\right) ^{n}=a^{n}\left( b^{n}\right) ^{-1}=1$

ce qui prouve le théorème

Définition On appelle corps premier d'un corps le plus petit sous-corps de .

Théorème Le corps premier de est le sous-corps de engendré par .

Démonstration En effet, appartient à tous les sous-corps de . Il en résulte que le sous-corps de engendré par 1 est le plus petit sous-corps de c.d. son corps premier.

Théorème Le corps premier de est l'intersection de tous les sous-corps de .

Démonstration Facile à vérifier.

Théorème Le corps premier d'un corps est isomorphe à $\mathbb{Q}$ si sa caractéristique est nulle, et à $\mathbb{Z}/\left( p\right)$ (où (p) est l'idéal engendré par p dans l'anneau $\mathbb{Z}$ ) si cette caractéristique est $p\neq0$ .

Démonstration Soit l'application de $\mathbb{Z}$ dans définie par
$u\left( n\right) =n.1$ . Il est facile de vérifier que est un homomorphisme d'anneaux et que $\operatorname{Im}\left( u\right)$ est le sous-anneau de engendré par . $Ker\left( u\right)$ est un idéal de $\mathbb{Z}$ . Il est engendré par un élément de $\mathbb{Z}$ . est la caractéristique de . Si , alors $\mathbb{Z}$ est isomorphe à $\operatorname{Im}\left( u\right)$ et le corps des fractions de $\mathbb{Z}$ (c.à.d. $\mathbb{Q}$ ) au corps des fractions de $\operatorname{Im}\left( u\right)$ . Mais ce corps est le plus petit sous corps de contenant . Il est le corps premier de . Donc, si est de caratéristique nulle, son corps premier est isomorphe à $\mathbb{Q}$ . Si $p\neq0$ , alors $\operatorname{Im}\left( u\right)$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/Ker\left( u\right) =\mathbb{Z}/\left( p\right)$ qui est un corps ( est premier). Ce sous-corps de est le sous-corps engendré par . Donc, si est de caractéristique $p\neq0$ , son corps premier est isomorphe à $\mathbb{Z}/\left( p\right)$ .

Exemple $\mathbb{Q}$ est le corps premier de $\mathbb{R}$ et de $\mathbb{C}$ . $\mathbb{Z}/\left( p\right)$ est égal à son corps premier.

Théorème Soit le corps premier du corps . Nous avons $U\left( X\right) =X^{n}-1\in P\left[ X\right]$ . Soit le corps des racines de sur . Si la caractéristique de est nulle ou si elle ne divise pas , alors contient racines $n^{\grave {e}me}$ de l'unité distinctes.

Démonstration Il suffit de prouver que les racines du polynôme sont toutes simples. Sinon, et son polynôme dérivé $U^{\prime}=nX^{n-1}$ ont une racine commune. Or zéro est la seule racine de $U^{\prime}$ car ou est non divisible par . Comme 0 n'est pas une racine de , toutes les racines de sont simples et en contient .

Pour démontrer que $S_{n}\left( K\right)$ est un groupe cyclique, nous avons besoin d'un théorème de la théorie de groupes.

Lemme Soient et deux éléments d'un groupe abélien multiplicatif . Si $p=Ord\left( a\right)$ et $q=Ord\left( b\right)$ sont premiers entre eux, alors $Ord\left( ab\right) =pq$ .

Démonstration Tout d'abord, $gr\left( a\right)$ désignant le sous groupe de engendré par a, $gr\left( a\right) \cap gr\left( b\right)$ est réduit à $\left\{ e\right\}$ car si est un élément de cette intersection, alors l'ordre de est un diviseur commun de et . Cet ordre est donc égal à 1 ( et sont premiers entre eux) et . D'un autre côté, $\left( ab\right) ^{pq}=a^{p}b^{q}=ee=e$ . Enfin, si est l'ordre de , alors $\left( ab\right) ^{d}=a^{d}b^{d}$ . Il en résulte $a^{d}=\left( b^{-1}\right) ^{d}\in gr\left( a\right) \cap gr\left( b\right) =\left\{ e\right\}$ et par suite $a^{d}=e=b^{d}$ . On en déduit que est donc un multiple commun de et , donc de leur produit car ils sont premier entre eux. Ainsi est l'ordre de .

Lemme Soient $a_{1},...,a_{n}$ des élément d'un groupe abélien multiplicatif . Si les ordres des $a_{1},...,a_{n}$ sont premiers deux à deux, l'ordre de leur produit est égal au produit des ordres de ces éléments.

Démonstration Par récurrence.

Théorème Si la caractéristique de est nulle ou si elle ne divise pas , alors le groupe des racines n $^{ièmes}$ de l'unité $S_{n}\left( K\right)$ est un groupe cyclique.

Démonstration Soit $n=p_{1}^{n_{1}}...p_{t}^{n_{t}}$ la décomposition de comme produit de nombres premiers. Pour tout il existe au plus $\dfrac{n}{p_{i}}$ éléments qui vérifient $a^{\frac{n}{p_{i}}%% }=1$ , car le polynôme $X^{\frac{n}{p_{i}}}-1$ possède au plus $\dfrac{n}{p_{i}}$ racines. Soit, pour , $a_{i}\in S_{n}\left( K\right)$ tel que $a_{i}^{\frac{n}{p_{i}}}\neq1$ . Considérons $m_{i}=\dfrac{n}{p_{i}^{n_{i}}}$ et $b_{i}=a_{i}^{m_{i}}$ . Les éléments $b_{i}$ sont d'ordre $p_{i}^{n_{i}}$ car $b_i^{p_{i}^{n_{i}}}=1$ et $b_i^{p_{i}^{n_{i}-1}}$ sont différents de . Le produit $b=b_{1}...b_{t}$ est un produit d'éléments dont les ordres sont premiers entre eux, il en résulte que l'ordre de est le produits des ordres des $b_{i}$ . Ainsi est d'ordre . Il engendre $S_{n}\left( K\right)$ .

Corollaire Le groupe des racines n $^{ièmes}$ de l'unité $S_{n}\left( K\right)$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/\left( n\right)$ où désigne l'idéal engendré par n dans $\mathbb{Z}$ .

Définition On dit qu'une racine $n^{\grave {e}me}$ de l'unité est une racine $n^{\grave {e}me}$ primitive de l'unité si, et seulement si, cette racine engendre le groupe $S_{n}\left( K\right)$ .

Si $z\in S_{n}\left( K\right)$ est une racine $n^{\grave {e}me}$ primitive de l'unité, alors

$\displaystyle S_{n}\left( K\right) =\left\{ 1,z,z^{2},...,z^{n-1}\right\}$

Le nombre de ces racines primitives est celui des générateurs du

groupe cyclique $S_{n}\left( K\right)$ . Nous savons, d'après la théorie des groupes, que ces générateurs sont les $z^{q}$ où $q\in\left\{ 1,2,...,n-1\right\}$ et

est premier avec

. Leur nombre est noté $\varphi\left( n\right)$ $\varphi$ est en fait la fonction caractéristique d'Euler.

Exemple Les racine $12^{\grave{e}me}$ primitives de l'unité dans $\mathbb{C}$ sont $\omega,\omega^{5},\omega^{7}$ et $\omega^{11}$ où $\omega=\exp\left( \dfrac{i\pi}{6}\right)$ .