Définition
Un élément est une racinende l'unité si, et seulement si,
.Soit
l'ensemble de toutes les racines
de l'unité dans . Cet ensemble est non vide car
.
Il résulte de cette définition que est une racine de l'unité si, et seulement si, est une racine du
polynôme
.
Exemple est une racine
de l'unité pour tout
. est une racine
de l'unité
dans
.
est une racine
cubique de l'unité dans
.
Théorème
Si divise , alors
.
Démonstration Si divise , alors s'écrit où
. Il en résulte
Théorème
L'ensemble des racines n
de l'unité
est un groupe multiplicatif.
Démonstration comme nous l'avons vu. D'un autre
côté, si et sont des racines
de l'unité,
alors et sont non nuls et vérifient
ce qui prouve le théorème.
Définition
On appelle corps premier d'un corps le plus petit sous-corps de
.
Théorème
Le corps premier de est le sous-corps de engendré par .
Démonstration En effet, appartient à tous les sous-corps de . Il en résulte
que le sous-corps de engendré par 1 est le plus petit sous-corps de
c.d. son corps premier.
Théorème
Le corps premier de est l'intersection de tous les sous-corps de .
Démonstration Facile à vérifier.
Théorème
Le corps premier d'un corps est isomorphe à
si sa
caractéristique est nulle, et à
(où (p) est l'idéal engendré par p dans l'anneau
) si
cette caractéristique est .
Démonstration Soit l'application de
dans définie par . Il est facile de vérifier que est un
homomorphisme d'anneaux et que
est le
sous-anneau de engendré par .
est un
idéal de
. Il est engendré par un élément de
. est la caractéristique de . Si , alors
est isomorphe à
et le
corps des fractions de
(c.à.d.
) au corps des
fractions de
. Mais ce corps est le plus
petit sous corps de contenant . Il est le corps premier de . Donc,
si est de caratéristique nulle, son corps premier est isomorphe à
. Si , alors
est
isomorphe à
qui est un corps ( est premier). Ce sous-corps de est le sous-corps
engendré par . Donc, si est de caractéristique , son
corps premier est isomorphe à
.
Exemple est le corps premier de
et de
.
est égal à son corps premier.
Théorème Soit le corps premier du corps . Nous avons
. Soit le corps des racines de sur .
Si la caractéristique de est nulle ou si elle ne divise pas ,
alors contient racines
de l'unité distinctes.
Démonstration Il suffit de prouver que les racines du polynôme sont toutes simples.
Sinon, et son polynôme dérivé
ont une
racine commune. Or zéro est la seule racine de
car ou
est non divisible par . Comme 0 n'est pas une racine de , toutes les
racines de sont simples et en contient .
Pour démontrer que
est un groupe cyclique, nous
avons besoin d'un théorème de la théorie de groupes.
Lemme
Soient et deux éléments d'un groupe abélien multiplicatif. Si
et
sont premiers
entre eux, alors
.
Démonstration Tout d'abord,
désignant le sous groupe de engendré par a,
est réduit
à
car si est un élément de cette
intersection, alors l'ordre de est un diviseur commun de et .
Cet ordre est donc égal à 1 ( et sont premiers entre eux) et
. D'un autre côté,
.
Enfin, si est l'ordre de , alors
.
Il en résulte
et par suite
.
On en déduit que est donc un multiple commun de et , donc de
leur produit car ils sont premier entre eux. Ainsi est l'ordre de .
Lemme
Soient
des élément d'un groupe abélien
multiplicatif . Si les ordres des
sont premiers deux
à deux, l'ordre de leur produit est égal au produit des ordres de ces
éléments.
Démonstration Par récurrence.
Théorème
Si la caractéristique de est nulle ou si elle ne divise pas ,
alors le groupe des racines n de l'unité
est un groupe cyclique.
Démonstration Soit
la décomposition de comme
produit de nombres premiers. Pour tout
il existe au plus
éléments qui vérifient
, car le polynôme
possède au plus
racines. Soit, pour
,
tel que
. Considérons
et
. Les éléments sont d'ordre
car
et
sont différents de . Le produit
est un produit
d'éléments dont les ordres sont premiers entre eux, il en résulte
que l'ordre de est le produits des ordres des . Ainsi est
d'ordre . Il engendre
.
Corollaire Le groupe des racines n de l'unité
est isomorphe à
où désigne l'idéal engendré par n dans
.
Définition
On dit qu'une racine
de l'unité est une racine
primitive de l'unité si, et seulement si,
cette racine engendre le groupe
.
Si
est une racine
primitive
de l'unité, alors
Le nombre de ces racines primitives est celui des générateurs du
groupe cyclique
. Nous savons, d'après la
théorie des groupes, que ces générateurs sont les où
et est premier avec . Leur nombre
est noté
est en fait la fonction caractéristique d'Euler.
Exemple Les racine
primitives de l'unité dans
sont
et
où
.