Les exemples les plus simples de corps finis sont les corps
où est un nombre premier et où
.
Théorème Soit un corps fini.
La caractéristique de est non nulle.
Démonstration Car sinon, le corps premier de serait isomorphe à
.
Théorème Soit un corps fini.
Si
, alors est le corps des racines du
polynôme le corps premier de .
Démonstration Soit un élément de . Si , alors . Si ,
alors appartient au groupe multiplicatif de qui est un groupe fini
d'ordre . Il en résulte et . Ce qui
précède prouve que est un corps de décomposition pour
sur . Il est un corps des racines pour sur car tout
corps de décomposition pour pour ce polynôme sur doit contenir
tous les éléments de .
Théorème Soit un corps fini.
Si
, alors est une puissance de la
caratéristique de .
Démonstration est un -espace vectoriel. Si
, alors
.
Corollaire
Deux corps finis de même cardinal ont la même caractéristique.
Démonstration Soient
les cardinaux et
les caractéristiques
des deux corps. Nous avons
ce qui implique
car ces deux entiers sont des nombres premiers.
Théorème
Deux corps finis de même cardinal sont isomorphes.
Démonstration Soit et
de même cardinal . Soient le corps premier
de et
celui de
. et
sont
isomorphes car ils sont isomorphes chacun à
. Soit un isomorphisme entre et
. Le corps est
le corps des racines pour sur . Il est isomorphe à
, corps des racines pour
sur
.
Théorème
Pour tout nombre premier et tout entier , il existe un corps fini,
unique à un isomorphisme près, de cardinal .
Démonstration Il suffit de prendre le corps des racines pour sur
.
Théorème
Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.