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Corps finis

Les exemples les plus simples de corps finis sont les corps $ \mathbb{Z}%%
/\left( p\right) $$ p$ est un nombre premier et où $ (p)=\mathbb{Z/}p\mathbb{Z}$.

Théorème Soit $ K$ un corps fini. La caractéristique de $ K$ est non nulle.

Démonstration Car sinon, le corps premier de $ K$ serait isomorphe à $ \mathbb{Q}$.

Théorème Soit $ K$ un corps fini. Si $ Card\left( K\right) =q$, alors $ K$ est le corps des racines du polynôme $ X^{q}-X$ le corps premier $ P$ de $ K$.

Démonstration Soit $ a$ un élément de $ K$. Si $ a=0$, alors $ a^{q}-a=0$. Si $ a\neq0$, alors $ a$ appartient au groupe multiplicatif de $ K$ qui est un groupe fini d'ordre $ q-1$. Il en résulte $ a^{q-1}=1$ et $ a^{q}-a=0$. Ce qui précède prouve que $ K$ est un corps de décomposition pour $ X^{q}-X$ sur $ P$. Il est un corps des racines pour $ X^{q}-X$ sur $ P$ car tout corps de décomposition pour pour ce polynôme sur $ P$ doit contenir tous les éléments de $ K$.

Théorème Soit $ K$ un corps fini. Si $ Card\left( K\right) =q$, alors $ q$ est une puissance de la caratéristique $ p$ de $ K$.

Démonstration $ K$ est un $ P$-espace vectoriel. Si $ \left[ K:P\right] =n$, alors
$ q=Card(K)=\left( Card(P)\right) ^{n}=p^{n}$.

Corollaire Deux corps finis de même cardinal ont la même caractéristique.

Démonstration Soient $ Card(K)=q,q^{\prime}$ les cardinaux et $ p,p^{\prime}$ les caractéristiques des deux corps. Nous avons

$\displaystyle p^{n}=q=q^{\prime}=\left( p^{\prime}\right) ^{m}%%
$

ce qui implique $ p=p^{\prime}$ car ces deux entiers sont des nombres premiers.

Théorème Deux corps finis de même cardinal sont isomorphes.

Démonstration Soit $ K$ et $ K^{\prime}$ de même cardinal $ q$. Soient $ P$ le corps premier de $ K$ et $ P^{\prime}$ celui de $ K^{\prime}$. $ P$ et $ P^{\prime}$ sont isomorphes car ils sont isomorphes chacun à $ \mathbb{Z}/\left( p\right) $. Soit $ \sigma$ un isomorphisme entre $ K$ et $ K^{\prime}$. Le corps $ K$ est le corps des racines pour $ X^{q}-X$ sur $ P$. Il est isomorphe à $ K^{\prime}$, corps des racines pour $ X^{q}-X=\widehat{\sigma}\left(
X^{q}-X\right) $ sur $ P^{\prime}$.

Théorème Pour tout nombre premier $ p$ et tout entier $ n\geq1$, il existe un corps fini, unique à un isomorphisme près, de cardinal $ q=p^{n}$.

Démonstration Il suffit de prendre le corps des racines pour $ X^{q}-X$ sur $ P=\mathbb{Z}%%
/\left( p\right) $.

Théorème Le groupe multiplicatif $ K^{\ast}$ d'un corps fini $ K$ est cyclique.

Démonstration Nous avons $ K^{\ast}=S_{n}\left( K\right) $ $ n=Card(K)-1$.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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