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Corps finis

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Corps finis

Les exemples les plus simples de corps finis sont les corps $\mathbb{Z}%% /\left( p\right)$ où est un nombre premier et où $(p)=\mathbb{Z/}p\mathbb{Z}$ .

Théorème Soit un corps fini. La caractéristique de est non nulle.

Démonstration Car sinon, le corps premier de serait isomorphe à $\mathbb{Q}$ .

Théorème Soit un corps fini. Si $Card\left( K\right) =q$ , alors est le corps des racines du polynôme $X^{q}-X$ le corps premier de .

Démonstration Soit un élément de . Si , alors $a^{q}-a=0$ . Si $a\neq0$ , alors appartient au groupe multiplicatif de qui est un groupe fini d'ordre . Il en résulte $a^{q-1}=1$ et $a^{q}-a=0$ . Ce qui précède prouve que est un corps de décomposition pour $X^{q}-X$ sur . Il est un corps des racines pour $X^{q}-X$ sur car tout corps de décomposition pour pour ce polynôme sur doit contenir tous les éléments de .

Théorème Soit un corps fini. Si $Card\left( K\right) =q$ , alors est une puissance de la caratéristique de .

Démonstration est un -espace vectoriel. Si $\left[ K:P\right] =n$ , alors
$q=Card(K)=\left( Card(P)\right) ^{n}=p^{n}$ .

Corollaire Deux corps finis de même cardinal ont la même caractéristique.

Démonstration Soient $Card(K)=q,q^{\prime}$ les cardinaux et $p,p^{\prime}$ les caractéristiques des deux corps. Nous avons

$\displaystyle p^{n}=q=q^{\prime}=\left( p^{\prime}\right) ^{m}%%$

ce qui implique $p=p^{\prime}$ car ces deux entiers sont des nombres premiers.

Théorème Deux corps finis de même cardinal sont isomorphes.

Démonstration Soit et $K^{\prime}$ de même cardinal . Soient le corps premier de et $P^{\prime}$ celui de $K^{\prime}$ . et $P^{\prime}$ sont isomorphes car ils sont isomorphes chacun à $\mathbb{Z}/\left( p\right)$ . Soit $\sigma$ un isomorphisme entre et $K^{\prime}$ . Le corps est le corps des racines pour $X^{q}-X$ sur . Il est isomorphe à $K^{\prime}$ , corps des racines pour $X^{q}-X=\widehat{\sigma}\left( X^{q}-X\right)$ sur $P^{\prime}$ .