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Extensions normales

Soit $ E$ une extension algébrique d'un corps $ K$. $ E$ peut être un corps de rupture sur $ K$ pour un polynôme $ f\left( X\right) \in K\left[
X\right] $ sans être un corps de décomposition come le montre l'exemple suivant :

Exemple $ \mathbb{R}$ est un corps de rupture pour $ X^{3}-2$ sur $ \mathbb{Q}$ sans être un corps de décomposition car nous avons :

$\displaystyle X^{3}-2=\left( X-\sqrt[3]{2}\right) \left( X^{2}+\sqrt[3]{2}X+\sqrt[3]%%
{4}\right)
$

et $ X^{2}+\sqrt[3]{2}X+\sqrt[3]{4}$ est irréductible dans $ \mathbb{R}%%
\left[ X\right] $.

Définition Une extension algébrique $ E$ de $ K$ sera dite normale si, et seulement si, chaque fois que $ E$ est un corps de rupture pour un polynôme irréductible $ f\left( X\right) \in K\left[
X\right] $ sur $ K$, il est un corps de décomposition pour $ f$ sur $ K$.

Ainsi, $ E$ est une extension normale de $ K$ si, et seulement si, chaque fois qu'un polynôme irréductible $ f\left( X\right) \in K\left[
X\right] $ possède une racine dans $ E$, alors il se décompose en produit de facteurs linéaires dans $ E\left[ X\right] $. Parfois on exprime ceci en disant que $ E$ est une extension normale de $ K$ si, et seulement si, chaque fois qu'un polynôme irréductible $ f\left( X\right) \in K\left[
X\right] $ possède une racine dans $ E$, alors il possède toutes ses racines dans $ E$.

Exemple $ \mathbb{C}$ est une extension normale de $ \mathbb{R}$ car les polynôme irréductible dans $ \mathbb{R}\left[ X\right] $ sont de degré 1 ou 2.

Exemple L'extension $ E=\mathbb{Q}\left( \sqrt[3]{2}\right) $ de $ \mathbb{Q}$ n'est pas normale car le polynôme $ X^{3}-2\in\mathbb{Q}\left[ X\right] $ possède une racine dans $ E$ sans se décomposer en produit de facteurs linéaires dans $ E\left[ X\right] $.

Théorème Soit $ E$ un corps des racines pour le polynôme $ Q\left( X\right) \in
K\left[ X\right] $ sur $ K$. Soit $ f\in K\left[ X\right] $ un polynôme irréductible, $ a$ et $ b$ deux racines de $ f$. Nous avons $ \left[ E\left(
a\right) :E\right] =\left[ E\left( b\right) :E\right] $.

Démonstration Considérons le diagramme

\begin{displaymath}%%
\begin{array}[c]{ccccc}%%
& & & & \\
& & & & \\
E\le...
...t) \\
& \nwarrow & & \nearrow & \\
& & K & &
\end{array}
\end{displaymath}

Si $ a_{1},...,a_{n}$ sont les racines de $ Q$ dans $ E$, alors nous avons

  • $ E=K\left( a_{1},...,a_{n}\right) $.

  • $ E\left( a\right) =K\left( a_{1},...,a_{n},a\right) =K\left(
a\right) \left( a_{1},...,a_{n}\right) $ est le corps des racines de $ Q$ sur $ K\left( a\right) $.

  • $ E\left( b\right) $ est le corps des racines de $ Q$ sur $ K\left(
b\right) $.

  • Il existe un $ K$-isomorphisme $ \sigma$ de $ K\left( a\right) $ sur $ K\left(
b\right) $ tel que $ \sigma\left( a\right) =b$, car $ a$ et $ b$ sont deux racines du même polynôme irréductible $ f$ (donc $ Irr\left( a,K\right) =Irr\left( b,K\right) $).

  • $ \widehat{\sigma}\left( Q\right) =Q$ car $ Q\in K\left[ X\right] $. Il en résulte que $ E\left( b\right) $ est le corps des racines de $ \widehat{\sigma}\left( Q\right) $ sur $ K\left(
b\right) $.

  • Le $ K$-isomorphisme $ \sigma$ peut être prolongé en un isomorphisme de $ E\left( a\right) $ sur $ E\left( b\right) $.

  • On en déduit $ \left[ E\left( a\right) :K\left( a\right)
\right] =\left[ E\left( b\right) :K\left( b\right) \right] $ et

    $\displaystyle \left[ E\left( a\right) :E\right]$ $\displaystyle =\frac{\left[ E\left( a\right) :K\right] }{\left[ E:K\right] }=\f...
...\left( a\right) \right] \left[ K\left( a\right) :K\right] }{\left[ E:K\right] }$    
      $\displaystyle =\frac{\left[ E\left( b\right) :K\left( b\right) \right] \left[ K...
...eft[ E:K\right] }=\frac{\left[ E\left( b\right) :K\right] }{\left[ E:K\right] }$    
      $\displaystyle =\left[ E\left( b\right) :E\right]$    

$  $

Théorème Une extension finie $ E$ de $ K$ est normale si, et seulement si, elle est le corps des racines sur $ K$ pour un polynôme $ f\left( X\right) \in K\left[
X\right] $.

Démonstration Si l'extension $ E$ de $ K$ est finie, alors elle est algébrique et est de la forme $ E=K\left( a_{1},...,a_{n}\right) $. Soit $ P_{i}\left( X\right)
=Irr\left( a_{i},K\right) $ pour
$ i=1,2,...,n$ et soit $ P\left(
X\right) =\prod\limits_{i=1}^{i=n}P_{i}\left( X\right) $. Nous allons prouver que $ E$ est le corps des racines de $ P$ sur $ K$. Tout d'abord, chaque $ P_{i}\left( X\right) $ se décompose en produit de facteurs linéaires dans $ E\left[ X\right] $ car il est irréductible, il possède une racine dans $ E$ et $ E$ est normale sur $ K$. Il en résulte que $ P$ se décompose en produit de facteurs linéaires dans $ E\left[ X\right] $ et $ E$ est un corps de décomposition pour $ P$ sur $ K$. Ensuite, $ E$ est un corps de décomposition minimal pour $ P$ sur $ K$ car si $ F$ est un corps de décomposition pour $ P$ sur $ K$ contenu dans $ E$, alors $ F$ doit contenir tous les $ a_{i}$ ce qui prouve $ F=E$.

Réciproquement, supposons que $ E$ est le corps des racines pour un polynôme $ Q\in K\left[ X\right] $ sur $ K$ et soit $ f\in K\left[ X\right] $ un polynôme irréductible ayant une racine $ a$ dans $ E$. Soit $ M$ le corps des racines de $ f.Q$ sur $ K$. $ M$ s'écrit $ M=K\left(
a_{1},...,a_{n},b_{1},...,b_{m}\right) $ $ a_{1},...,a_{n}$ sont les racines de $ Q$ dans $ M$ et $ b_{1},...,b_{m}$ sont celles de $ f$. Nous avons, par le théorème précédent,

$\displaystyle \left[ E\left( b_{1}\right) :E\right] =\left[ E\left( b_{i}\right)
:E\right]$    pour $\displaystyle i=2,3,...,m.
$

Si $ b_{1}\in E$, alors $ \left[ E\left( b_{1}\right) :E\right] =1=\left[
E\left( b_{i}\right) :E\right] $ ce qui prouve $ b_{i}\in E$ pour $ i=2,3,...,m $. Il en résulte $ E=M$ et $ E$ est un corps de décomposition pour $ f$ sur $ K$.

Définition Soit $ E$ une extension de $ K$. Une clôture normale de $ E$ est une extension normale de $ K$ qui satisfait les deux conditions suivantes :

  1. $ K\subseteq E\subseteq N$.

  2. Si $ M$ est une extension normale de $ K$ vérifiant $ K\subseteq
E\subseteq M\subseteq N$, alors $ M=N$.
$  $

En d'autre termes, la clôture normale de $ E$ est une extension normale minimale de $ K$ contenant $ E$.

Exemple $ \mathbb{C}$ est une clôture normale de l'extension $ \mathbb{R}$ de $ \mathbb{Q}$.

Théorème Toute extension finie $ E$ de $ K$ possède une clôture normale.

Démonstration $ E$, étant une extension finie $ K$, elle est algébrique et elle s'écrit $ E=K\left( a_{1},...,a_{n}\right) $. Les éléments $ a_{i}$ sont tous algébrique sur $ K$. Soit

$\displaystyle P_{i}\left( X\right) =Irr\left( a_{i},K\right)  $    et $\displaystyle %%
P=P_{1}...P_{n}.
$

Soit $ N$ un corps des racines pour $ P$ sur $ K$. $ N$ est une extension normale de $ K$ contenant $ E$. D'un autre côté, si $ M$ est une extension normale de $ K$ vérifiant $ K\subseteq
E\subseteq M\subseteq N$, alors $ M$ est un corps de décomposition pour chaque $ P_{i}$ car elle contient une racine pour ce polynôme irréductible. Ainsi, $ M$ est un corps de décomposition pour $ P$ sur $ K$ contenu dans $ N$. Or $ N$ est un corps de racines pour $ P$ sur $ K$, d'où $ M=N$.

Théorème Deux clôtures normales d'une extension finie $ E$ de $ K$ sont $ K$-isomorphes.

Démonstration D'après ce qui précède, ces deux extensions de $ K$ sont deux corps de racines pour le polynôme $ P=\prod\limits_{i=1}^{i=n}Irr\left(
a,K\right) $ sur $ K$. Elles sont $ K$-isomorphes.

Théorème Soit $ E$ une extension normale finie de $ K$ et $ F$ une extension algébrique de $ K$ contenant $ E$. Tout $ K$-isomorphisme $ \sigma$ de $ E$ dans $ F$ est un $ K$-automorphisme de $ E$.

Démonstration $ E$, étant une extension normale finie de $ K$, elle est le corps des racines d'un polynôme $ P\in K\left[ X\right] $ et elle s'écrit $ E=K\left( a_{1},...,a_{n}\right) $ $ a_{1},...,a_{n}$ sont les racines du polynôme $ P$. Il suffit de prouver $ \sigma\left( E\right)
\subseteq E $, car $ E$ est un $ K$-espace vectoriel de dimension finie et $ \sigma$ est un endomorphisme injectif de cet espace vectoriel. Or $ \sigma\left( a_{i}\right) $ est une racine de $ P$ pour $ i=1,2,..,n$. Il en résulte $ \sigma\left( a_{i}\right) \in E$ pour $ i=1,2,..,n$. et par suite $ \sigma\left( E\right)
\subseteq E $.

Théorème Soit $ E$ une extension normale finie de $ K$ et $ F$ un corps intermédiaire entre $ K$ et $ E$. Tout $ K$-isomorphisme $ \sigma$ de $ F$ dans $ E$ peut être prolongé en un $ K$-automorphisme de $ E$.

Démonstration $ E$ est le corps des racines d'un polynôme $ P\in K\left[ X\right] $ sur $ K$. Il est aussi le corps des racines pour $ P$ sur $ F$ et sur $ \sigma\left(
F\right) $. Ainsi, le $ K$-isomorphisme $ \sigma$ de $ F$ sur $ \sigma\left(
F\right) $ peut être prolongé en un $ K$-isomorphisme de $ E$ dans $ E$. Ce prolongement de $ \sigma$ est, en réalité, un $ K$-automorphisme, car $ E$ est un $ K$-espace vectoriel de dimension finie.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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