Toutes les extensions considérées dans ce chapitre seront finies. Soit
une extension de , et
deux clôtures normales de
, l'ensemble des -isomorphismes de dans et
celui des -isomorphismes de dans
.
Théorème .
Démonstration et
sont deux clôtures normales de . Il existe un
-isomorphisme de sur
. Soit
l'application définie par
. Il est facile de prouver que l'application
est bijective. Donc
.
Définition
On appelle degré galoisien d'une extension de , le
cardinal de l'ensemble des -isomorphismes de dans une clôture
normale de .
La définition du degré galoisien ne dépend pas du choix de la
clôture normale de d'après le théorème précédent.
Le degré galoisien de l'extension de sera noté
.
Exemple .
Théorème
Soit une extension normale de contenant une clôture normale de . Le degré galoisien
est égal au
cardinal de l'ensemble des -isomorphismes de dans .
Démonstration Soit l'ensemble des -isomorphismes de dans . Nous avons
. Réciproquement, tout
peut être
prolongé en un -automorphisme
de ,
car est une extension normale de . La restriction de
à est un -automorphisme de car est une extension normale
de . Nous avons
. Il en résulte
que, est, en réalité, un -isomorphisme de dans
c.à.d.
. D'où .
Théorème
Soit
une extension de
. Si
est un
isomorphisme de sur
tel que sa restriction à
est un isomorphisme de sur
, alors
.
Démonstration Soit une clôture normale de et
une clôture
normale de
. L'isomorphisme
peut être
prolongé en un isomorphisme
de sur
.
L'application qui associe à chaque -isomorphisme de
dans , le
-isomorphisme
de
dans
est bijective. Il en
résulte
.
Théorème
Si nous avons
, alors
.
Démonstration Soit une clôture normale de . Pour tout -isomorphisme
de dans , on note
l'ensemble de tous les -isomorphismes
de dans qui prolongent . Si
,
alors
est un corps intermédiaire
entre
et . Soit
l'ensemble des tous
les
-isomorphismes de
dans . Nous allons prouver que
et
ont
le même cardinal. Considérons l'application
définie par
. Il est facile de voir que est injective. Elle
est aussi surjective; car si
,
peut
s'écrire sous la forme
, car
peut être regardé
comme un isomorphisme de sur
. Or,
nous avons
et, d'après
le théorème précédent,
. D'où
. Pour terminer la démonstration, remarquons que
est une partition de l'ensemble des tous les
-isomorphismes de dans . Ainsi, nous avons
Théorème
Si
, alors
est le
nombre des racines distinctes de
.
Démonstration Soit une clôture normale de , l'ensemble des tous les
-isomorphismes de dans et l'ensemble des racines distinctes de
dans . L'application de dans qui associe
à
est bijective. D'où
.
Corollaire
Si
, alors
.
Théorème
Si est une extension finie de , alors .
Démonstration Comme est une extension finie de , elle s'écrit . Si
, alors
. Démontrons par
récurrence sur que
. Pour , la propriété est vraie car nous avons
Supposons le propriété vraie pour et démontrons-la pour .
Nous avons