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Degré de Galois d'une extension

Toutes les extensions considérées dans ce chapitre seront finies. Soit $ E$ une extension de $ K$, $ N$ et $ N^{\prime}$ deux clôtures normales de $ E$, $ I$ l'ensemble des $ K$-isomorphismes de $ E$ dans $ N$ et $ I^{\prime}$ celui des $ K$-isomorphismes de $ E$ dans $ N^{\prime}$.

Théorème $ Card(I)=Card(I^{\prime})$.

Démonstration $ N$ et $ N^{\prime}$ sont deux clôtures normales de $ E$. Il existe un $ K$-isomorphisme $ \sigma$ de $ N$ sur $ N^{\prime}$. Soit $ \varphi
;I\longrightarrow I^{\prime}$ l'application définie par $ \varphi\left(
u\right) =\sigma\circ u$. Il est facile de prouver que l'application $ \varphi$ est bijective. Donc $ Card(I)=Card(I\prime)$.

Définition On appelle degré galoisien d'une extension $ E$ de $ K$, le cardinal de l'ensemble des $ K$-isomorphismes de $ E$ dans une clôture normale de $ E$.
La définition du degré galoisien ne dépend pas du choix de la clôture normale de $ E$ d'après le théorème précédent. Le degré galoisien de l'extension $ E$ de $ K$ sera noté $ \overline
{\left[ E:K\right] }$.

Exemple $ \overline{\left[ \mathbb{C}:\mathbb{R}\right] }=2$.

Théorème Soit $ L$ une extension normale de $ K$ contenant une clôture normale de $ E$. Le degré galoisien $ \overline
{\left[ E:K\right] }$ est égal au cardinal de l'ensemble des $ K$-isomorphismes de $ E$ dans $ L$.

Démonstration Soit $ J$ l'ensemble des $ K$-isomorphismes de $ E$ dans $ L$. Nous avons $ I\subseteq J$. Réciproquement, tout $ \sigma\in J$ peut être prolongé en un
$ K$-automorphisme $ \overline{\sigma}$ de $ L$, car $ L$ est une extension normale de $ K$. La restriction de $ \overline{\sigma}$ à $ N$ est un $ K$-automorphisme de $ N$ car $ N$ est une extension normale de $ K$. Nous avons $ \sigma\left( E\right) \subseteq\overline{\sigma}\left(
E\right) \subseteq\overline{\sigma}\left( N\right) =N$. Il en résulte que, $ \sigma$ est, en réalité, un $ K$-isomorphisme de $ E$ dans $ N$ c.à.d. $ \sigma\in I$. D'où $ I=J$.

Théorème Soit $ E^{\prime}$ une extension de $ K^{\prime}$. Si $ \overline{\sigma}$ est un isomorphisme de $ E$ sur $ E^{\prime}$ tel que sa restriction $ \sigma$ à $ K$ est un isomorphisme de $ K$ sur $ K^{\prime}$, alors $ \overline{\left[
E:K\right] }=\overline{\left[ E^{\prime}:K^{\prime}\right] }$.

Démonstration Soit $ N$ une clôture normale de $ E$ et $ N^{\prime}$ une clôture normale de $ E^{\prime}$. L'isomorphisme $ \overline{\sigma}$ peut être prolongé en un isomorphisme $ \sigma^{\prime}$ de $ N$ sur $ N^{\prime}$. L'application $ \varphi$ qui associe à chaque $ K$-isomorphisme $ u$ de $ E$ dans $ N$, le $ K^{\prime}$-isomorphisme $ u^{\prime}=\sigma\circ u\circ
\sigma^{-1}$ de $ E^{\prime}$ dans $ N^{\prime}$ est bijective. Il en résulte $ \overline{\left[
E:K\right] }=\overline{\left[ E^{\prime}:K^{\prime}\right] }$.

Théorème Si nous avons $ K\subseteq L\subseteq E$, alors $ \overline{\left[ E:K\right]
}=\overline{\left[ E:L\right] }\times\overline{\left[ L:K\right] }$.

Démonstration Soit $ N$ une clôture normale de $ E$. Pour tout $ K$-isomorphisme $ \sigma$ de $ L$ dans $ N$, on note $ J_{\sigma}$ l'ensemble de tous les $ K$-isomorphismes de $ E$ dans $ N$ qui prolongent $ \sigma$. Si $ \overline{\sigma}\in J_{\sigma}$, alors $ \overline{\sigma}\left( E\right) $ est un corps intermédiaire entre $ \sigma\left( L\right) $ et $ N$. Soit $ I_{\sigma}$ l'ensemble des tous les $ \sigma\left( L\right) $-isomorphismes de $ \overline{\sigma}\left( E\right) $ dans $ N$. Nous allons prouver que $ I_{\sigma}$ et $ J_{\sigma}$ ont le même cardinal. Considérons l'application $ f;I_{\sigma
}\longrightarrow J_{\sigma}$ définie par $ f\left( u\right)
=u\circ\overline{\sigma}$. Il est facile de voir que $ f$ est injective. Elle est aussi surjective; car si $ u^{\prime}\in J_{\sigma}$, $ u^{\prime}$ peut s'écrire sous la forme $ u^{\prime}=f\left( u^{\prime}\circ\overline
{\sigma}^{-1}\right) $, car $ \overline{\sigma}$ peut être regardé comme un isomorphisme de $ E$ sur $ \overline{\sigma}\left( E\right) $. Or, nous avons $ Card\left( I_{\sigma}\right) =\overline{\left[ \overline
{\sigma}\left( E\right) :\sigma\left( L\right) \right] }$ et, d'après le théorème précédent, $ \overline{\left[ \overline{\sigma
}\left( E\right) :\sigma\left( L\right) \right] }=\overline{\left[
E:L\right] }$. D'où $ Card\left( I_{\sigma}\right) =\overline{\left[
E:L\right] }$. Pour terminer la démonstration, remarquons que $ \left(
J_{\sigma}\right) $ est une partition de l'ensemble $ J$ des tous les $ K$-isomorphismes de $ E$ dans $ N$. Ainsi, nous avons

$\displaystyle \overline{\left[ E:K\right] }$ $\displaystyle =Card\left( J\right) =\sum \limits_{\sigma}Card\left( J_{\sigma}\right) =\sum\limits_{\sigma }Card\left( I_{\sigma}\right)$    
  $\displaystyle =\sum\limits_{\sigma}\overline{\left[ E:L\right] }=\overline{\left[ E:L\right] }\times\overline{\left[ L:K\right] }$    


Théorème Si $ E=K\left( a\right) $, alors $ \overline
{\left[ E:K\right] }$ est le nombre des racines distinctes de $ Irr\left( a,K\right) $.

Démonstration Soit $ N$ une clôture normale de $ E$, $ I$ l'ensemble des tous les $ K$-isomorphismes de $ E$ dans $ N$ et $ A$ l'ensemble des racines distinctes de $ Irr\left( a,K\right) $ dans $ N$. L'application de $ I$ dans $ A$ qui associe $ \sigma$ à $ \sigma\left( a\right) $ est bijective. D'où $ \overline{\left[ E:K\right] }=Card\left( I\right) =Card\left( A\right)
$.

Corollaire Si $ E=K\left( a\right) $, alors $ \overline{\left[ E:K\right] }\leq\left[
E:K\right] $.

Théorème Si $ E$ est une extension finie de $ K$, alors $ \overline{\left[ E:K\right] }\leq\left[
E:K\right] $.

Démonstration Comme $ E$ est une extension finie de $ K$, elle s'écrit
$ E=K\left( a_{1},...,a_{n}\right) $. Si $ K_{i}=K\left( a_{1},...,a_{i}%%
\right) $, alors $ K_{i}=K_{i-1}\left( a_{i}\right) $. Démontrons par récurrence sur $ i$ que $ \overline{\left[ K_{i}:K\right] }\leq\left[
K_{i}:K\right] $. Pour $ i=1 $, la propriété est vraie car nous avons

$\displaystyle \overline{\left[ K_{1}:K\right] }=\overline{\left[ K\left( a_{1}\...
...
:K\right] }\leq\left[ K\left( a_{1}\right) :K\right] =\left[
K_{1}:K\right]
$

Supposons le propriété vraie pour $ i$ et démontrons-la pour $ i+1$. Nous avons

$\displaystyle \overline{\left[ K_{i+1}:K\right] }=\overline{\left[ K_{i+1}:K_{i...
...t[ K_{i+1}:K_{i}\right]
\times\left[ K_{i}:K\right] =\left[ K_{i+1}:K\right]
$

Par récurrence, nous obtenons

$\displaystyle \overline{\left[ E:K\right] }=\overline{\left[ K_{n}:K\right] }\leq\left[
K_{n}:K\right] =\left[ E:K\right]
$



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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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