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Extensions Séparables

Soit $ E$ une extension of $ K$.

Définition L'extension $ E$ de $ K$ sera dite séparable si, et seulement si, $ \overline{\left[ E:K\right] }=\left[ E:K\right] $.

Exemple $ \mathbb{C}$ est une extension séparable de $ \mathbb{R}$.

Définition Un élément $ a$ d'une extension $ E$ de $ K$ sera dit séparable sur $ K$ si, et seulement si, toutes les racines de $ Irr\left( a,K\right) $ sont simples.

Exemple $ i$ est séparable sur $ \mathbb{R}$. $ \sqrt{2}$ séparable sur $ \mathbb{Q}$.

Théorème Une extension simple $ E=K\left( a\right) $ est séparable si, et seulement si, $ a$ est séparable sur $ K$.

Démonstration Soit $ \left[ E:K\right] =n=\deg\left( Irr\left( a,k\right) \right) $. Nous avons

$\displaystyle \left[ E\text{ est séparable sur }K\right]$ $\displaystyle \Longleftrightarrow \left[ \overline{\left[ E:K\right] }=\left[ E:K\right] \right]$    
  $\displaystyle \Longleftrightarrow\left[ Irr\left( a,K\right) \text{ possède }n\text{ racines distinctes}\right]$    
  $\displaystyle \Longleftrightarrow\left[ \text{toute racine de }Irr\left( a,K\right) \text{ est simple}\right]$    
  $\displaystyle \Longleftrightarrow\left[ a\text{ est séparable sur }K\right]$    


Théorème Une extension finie $ E$ de $ K$ est séparable si, et seulement si, tout élément $ a$ de $ E$ est séparable sur $ K$.

Démonstration Si $ E$ est séparable sur $ K$, Alors nous avons

$\displaystyle \overline{\left[ E:K\left( a\right) \right] }\times\overline{\left[ K\left( a\right) :K\right] }$ $\displaystyle =\overline{\left[ E:K\right] }=\left[ E:K\right]$    
  $\displaystyle =\left[ E:K\left( a\right) \right] \times\left[ K\left( a\right) :K\right]$    

Or

$\displaystyle \overline{\left[ E:K\left( a\right) \right] }\leq\left[ E:K\left(
a\right) \right]$    et $\displaystyle \overline{\left[ K\left( a\right) :K\right]
}\leq\left[ K\left( a\right) :K\right]
$

D'où

$\displaystyle \overline{\left[ E:K\left( a\right) \right] }=\left[ E:K\left( a\right)
\right]$    et $\displaystyle \overline{\left[ K\left( a\right) :K\right] }=\left[
K\left( a\right) :K\right]
$

et $ a$ est séparable sur $ K$. Réciproquement, $ E$ s'écrit $ E=K\left( a_{1},...,a_{n}\right) $ car elle est une extension finie de $ K$. Posons $ K_{i}=K\left( a_{1},...,a_{i}\right) $. Nous avons $ K_{i}%%
=K_{i-1}\left( a_{i}\right) $, $ Irr\left( a_{i},K_{i-1}\right) $ divise $ Irr\left( a_{i},K\right) $ et $ a_{i}$ est séparable sur $ K$. Il en résulte que $ a_{i}$ est séparable sur $ K_{i-1}$ et $ \overline{\left[
K_{i}:K_{i-1}\right] }=\left[ K_{i}:K_{i-1}\right] $ pour $ i=1,2,...,n$. Il en résulte

$\displaystyle \overline{\left[ E:K\right] }=\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left[ K_{i}%%
:K_{i-1}\right] =\left[ E:K\right]
$

ce qui prouve que $ E$ est séparable sur $ K$.

Théorème de l'élément primitif. Toute extension séparable finie $ E$ de $ K$ est simple.

Démonstration Il suffit de prouver que l'ensemble des corps intermédiaires entre $ K$ et $ E$ est fini. Soit $ \mathcal{F}$ cet ensemble et $ I$ l'ensemble des tous les $ K$-isomorphismes de $ E$ dans une clôture normale $ N$. Soit $ h:\mathcal{F}%%
\longrightarrow P\left( I\right) $ l'application qui associe à $ L\in\mathcal{F}$ le sous-ensemble de $ I$ défini par

$\displaystyle \left\{ \sigma\in I\quad/\quad\sigma\left( a\right) =a\text{ pour tout
}a\in L\right\} .
$

Cette application est injective; car si $ L\neq L^{\prime}$, et si $ a\in
L-L^{\prime}$, alors $ a$ est séparable sur $ K$, ce qui prouve que $ a$ est séparable sur $ L^{\prime}$. D'où

$\displaystyle \overline{\left[ L^{\prime}\left( a\right) :L^{\prime}\right] }=\left[
L^{\prime}\left( a\right) :L^{\prime}\right] >1.
$

Ce qui précède montre qu'il existe un $ L^{\prime}$-isomorphisme $ \sigma$ de $ L^{\prime}\left( a\right) $ dans $ N$ tel que $ \sigma\left(
a\right) \neq a$. Or $ \sigma$ peut être prolongé en un $ K$-automorphisme $ \overline{\sigma}$ de $ N$ car $ N$ est une clôture normale. La restriction $ \sigma^{\ast}$ de $ \overline{\sigma}$ à $ E$ est un $ K$-isomorphisme de $ E$ dans $ N$ qui vérifie $ \sigma^{\ast}\left(
a\right) =\overline{\sigma}\left( a\right) =\sigma\left( a\right) \neq
a$. Il en résulte $ \sigma^{\ast}\in h\left( L^{\prime}\right) $ et $ \sigma^{\ast}\notin h\left( L\right) $ qui prouve $ h\left( L\right) \neq
h\left( L^{\prime}\right) $. Pour finir la démonstration, notons que l'ensemble $ P\left( I\right) $ des parties de $ I$ est fini car $ I$ est fini.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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