Soit une extension normale finie d'un corps . L'ensemble des
-automorphismes de forment un groupe pour la composition d'application.
Définition
Soit une extension normale finie d'un corps . Le groupe de tous les -automorphismes de sera appelé le groupe de Galois de l'extension de . Le groupe de Galois d'une extension de sera noté
.
Exemple est une extension normale finie de
. Son groupe de
Galois possède deux éléments : l'identité et le
-automorphisme qui associe à chaque nombre complexe son
conjugué
.
Théorème Soit une extension normale finie d'un corps .
est un groupe fini dont l'ordre est le degré
galoisien
de l'extension.
Démonstration est l'ensemble de tous les -isomorphismes de
dans une clôture normale de . Or est sa propre clôture
normale car elle est une extension normale de . D'où
.
Corollaire Soit une extension normale finie d'un corps . .
une extension normale
. L'ensemble des
.
est une extension normale finie de
. Son groupe de
Galois possède deux éléments : l'identité et le
-automorphisme 
qui associe à chaque nombre complexe 
son
conjugué
.
![$ \overline{\left[ E:K\right] }$](/b/b/g/img10.gif){kind=small}
de tous les 
.
![$ Ord\left( G\left( E/K\right) \right) \leq\left[ E:K\right] $](/b/b/g/img13.gif){kind=small}
