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Groupe de Galois

Soit $ E$ une extension normale finie d'un corps $ K$. L'ensemble des
$ K$-automorphismes de $ E$ forment un groupe pour la composition d'application.

Définition Soit $ E$ une extension normale finie d'un corps $ K$. Le groupe de tous les $ K$-automorphismes de $ E$ sera appelé le groupe de Galois de l'extension $ E$ de $ K$. Le groupe de Galois d'une extension $ E$ de $ K$ sera noté $ G\left(
E/K\right) $.

Exemple $ \mathbb{C}$ est une extension normale finie de $ \mathbb{R}$. Son groupe de Galois possède deux éléments : l'identité et le $ \mathbb{R}%%
$-automorphisme $ \sigma$ qui associe à chaque nombre complexe $ z$ son conjugué $ \overline{z}$.

Théorème Soit $ E$ une extension normale finie d'un corps $ K$. $ G\left(
E/K\right) $ est un groupe fini dont l'ordre est le degré galoisien $ \overline{\left[ E:K\right] }$ de l'extension.

Démonstration $ G\left(
E/K\right) $ est l'ensemble $ I$ de tous les $ K$-isomorphismes de $ E$ dans une clôture normale de $ E$. Or $ E$ est sa propre clôture normale car elle est une extension normale de $ K$. D'où $ G\left(
E/K\right) =I$.

Corollaire Soit $ E$ une extension normale finie d'un corps $ K$. $ Ord\left( G\left( E/K\right) \right) \leq\left[ E:K\right] $.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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