Soit une extension normale finie d'un corps . L'ensemble des
-automorphismes de forment un groupe pour la composition d'application.
Définition
Soit une extension normale finie d'un corps . Le groupe de tous les -automorphismes de sera appelé le groupe de Galois de l'extension de . Le groupe de Galois d'une extension de sera noté
.
Exemple est une extension normale finie de
. Son groupe de
Galois possède deux éléments : l'identité et le
-automorphisme qui associe à chaque nombre complexe son
conjugué
.
Théorème Soit une extension normale finie d'un corps .
est un groupe fini dont l'ordre est le degré
galoisien
de l'extension.
Démonstration est l'ensemble de tous les -isomorphismes de
dans une clôture normale de . Or est sa propre clôture
normale car elle est une extension normale de . D'où
.
Corollaire Soit une extension normale finie d'un corps . .