Définition
L'extension finie de sera dite une extension galoisienne si, et
seulement si, est une extension normale et séparable de .
Exemple est une extension galoisienne de
.
Théorème
Si est une extension galoisienne de , alors
Démonstration Nous avons .
Soit
le groupe de Galois d'une extension galoisienne
finie de ,
l'ensemble des corps intermédiaires entre
et et
l'ensemble des sous-groupes de
. Pour tout
, on pose
et pour tout
Il est facile de prouver que est un sous-groupe de
et est un corps intermédiaire entre et .
Ainsi, nous avons deux applications
et
. Ces deux applications sont
visiblement décroissantes.
Théorème
Pour tout
, est une extension galoisienne finie de et
.
Démonstration , étant une extension normale de , elle est le corps des racines
pour un polynôme
sur . est aussi un
corps des racines pour sur . Donc, est une extension normale de . D'un autre côté, tout élément est séparable
sur . Ceci prouve que toutes les racines de
sont
simples. Il en résulte que
(qui divise
) possède la même propriété. On en
déduit que est une extension séparable de et par suite une
extension galoisienne de . Enfin,
est l'ensemble
des -automorphismes de .
Théorème .
Démonstration Nous avons à prouver
pour tout
. Soit
et
. Alors
et
. D'un autre côté, soit
et un élément primitif de l'extension de . Nous avons
. Le
polynôme
appartient à
, en effet
pour tout
, car
(
est un groupe). Nous avons
Or est un sous-groupe du groupe fini
. D'où
et par suite
,
car
est un groupe fini.
Théorème .
Démonstration Soit un élément de
. Posons
et . Nous avons
. D'un autre côté, si
, alors est laissé fixe par tout élément de
. Toutes les racines de
sont simples, car
divise
et est séparable sur . Or, si
est une autre racine de
, il existe un
-isomorphisme de
dans qui transforme en
. Ce -isomorphisme peut être prolongé en un
-automorphisme de . On en déduit qu'il existe
tel que
ce qui prouve
en contradiction avec le choix de . Il
en résulte que est l'unique racine de
et par
suite . Donc
.
Corollaire
L'application de
dans
qui associe à
l'élément
est une bijection décroissante.
Théorème
Si
, alors nous avons : est une extension normale
de si, et seulement si,
est un sous-groupe
distingué de
.
Démonstration Soit
. Nous avons
pour tout car est une extension normale de . Il en
résulte
pour tout
. Ainsi,
pour tout
, ce qui prouve que ce sous-groupe de
est
distingué. Réciproquement, si
est un
sous-groupe distingué de
, alors tout
-isomorphisme de dans est un -automorphisme de :
peut être prolongé en un -automorphisme
de
et
pour tout
. Si , alors
et
pour tout
. Il en résulte que
et
. D'où
et est un -automorphisme de ce qui prouve que est une
extension normale de .
Théorème
Soit un corps intermédiaire, extension normale de . Le groupe
est isomorphe au groupe quotient.
Démonstration est un sous-groupe distingué de
, car est une extension normale de . Soit
l'application de
dans
qui
associe à sa restriction à . C'est une application de
dans
car la restriction de
à est un -isomorphisme de dans et par suite un -automorphisme de , car est une extension normale de .
L'application est surjective, car tout
, étant un -isomorphisme de dans , peut
être prolongé en un -automorphisme
de .
Finalement, est un homomorphisme de groupes et son noyau est
, d'où
.