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Les correspondance de Galois

Soit $ E$ une extension finie de $ K$.

Définition L'extension finie $ E$ de $ K$ sera dite une extension galoisienne si, et seulement si, $ E$ est une extension normale et séparable de $ K$.

Exemple $ \mathbb{C}$ est une extension galoisienne de $ \mathbb{R}$.

Théorème Si $ E$ est une extension galoisienne de $ K$, alors

$\displaystyle Ord\left( G\left( E/K\right) \right) =\left[ E:K\right] .
$


Démonstration Nous avons $ Ord\left( G\left( E/K\right) \right) =\overline{\left[
E:K\right] }=\left[ E:K\right] $.

Soit $ G\left(
E/K\right) $ le groupe de Galois d'une extension galoisienne finie $ E$ de $ K$, $ \mathcal{C}$ l'ensemble des corps intermédiaires entre $ K$ et $ E$ et $ \mathcal{H}$ l'ensemble des sous-groupes de $ G\left(
E/K\right) $. Pour tout $ L\in\mathcal{C}$, on pose

$\displaystyle S\left( L\right) =\left\{ u\in G\left( E/K\right) \quad/\quad\left(
\forall x\in L\right) \left[ u\left( x\right) =x\right] \right\}
$

et pour tout $ H\in\mathcal{H}$

$\displaystyle I\left( H\right) =\left\{ x\in E\quad/\quad\left( \forall u\in H\right)
\left[ u\left( x\right) =x\right] \right\}
$

Il est facile de prouver que $ S(L)$ est un sous-groupe de $ G\left(
E/K\right) $ et $ I(H)$ est un corps intermédiaire entre $ K$ et $ E$. Ainsi, nous avons deux applications $ S;\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{H} $ et $ I;\mathcal{H}\longrightarrow\mathcal{C}$. Ces deux applications sont visiblement décroissantes.

Théorème Pour tout $ L\in\mathcal{C}$, $ E$ est une extension galoisienne finie de $ L$ et $ G\left( E/L\right) =S\left( L\right) $.

Démonstration $ E$, étant une extension normale de $ K$, elle est le corps des racines pour un polynôme $ P\in K\left[ X\right] $ sur $ K$. $ E$ est aussi un corps des racines pour $ P$ sur $ L$. Donc, $ E$ est une extension normale de $ L$. D'un autre côté, tout élément $ a\in E$ est séparable sur $ K$. Ceci prouve que toutes les racines de $ Irr\left( a,K\right) $ sont simples. Il en résulte que $ Irr\left( a,L\right) $ (qui divise $ Irr\left( a,K\right) $) possède la même propriété. On en déduit que $ E$ est une extension séparable de $ L$ et par suite une extension galoisienne de $ L$. Enfin, $ G\left( E/L\right) $ est l'ensemble des $ L$-automorphismes de $ E$.

Théorème $ S\circ I=id_{\mathcal{H}}$.

Démonstration Nous avons à prouver $ \left( S\circ I\right) \left( H\right) =S\left(
I\left( H\right) \right) =H$ pour tout $ H\in\mathcal{H}$. Soit $ L=I\left(
H\right) $ et $ H^{\prime}=S\left( L\right) =\left( S\circ I\right)
\left( H\right) $. Alors $ H^{\prime}=G\left( E/L\right) $ et $ H\subseteq
H^{\prime}$. D'un autre côté, soit $ H=\left\{ \sigma_{1}%%
,...,\sigma_{n}\right\} $ et $ a$ un élément primitif de l'extension $ E$ de $ K$. Nous avons $ E=K\left( a\right) =L\left( a\right) $. Le polynôme $ P=\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-\sigma_{i}\left( a\right)
\right) $ appartient à $ L\left[ X\right] $, en effet

$\displaystyle \widehat{\sigma}\left( P\right) =\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-\left(
\sigma\circ\sigma_{i}\right) \left( a\right) \right) =P
$

pour tout $ \sigma\in H$, car $ \left\{ \sigma_{1},...,\sigma_{n}\right\}
=H=\left\{ \sigma\circ\sigma_{1},...,\sigma\circ\sigma_{n}\right\} $ ($ H$ est un groupe). Nous avons

$\displaystyle \left[ P\left( a\right) =0\right]$ $\displaystyle \Longrightarrow\left[ Irr\left( a,L\right) /P\right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ \begin{array}[c]{c} Ord\left( H^{\prime}\ri...
...\;\;\;\;\;\;\;\leq\deg\left( P\right) =n=Ord\left( H\right) \end{array} \right]$    

Or $ H$ est un sous-groupe du groupe fini $ H^{\prime}$. D'où $ Ord\left(
H\right) \leq Ord\left( H^{\prime}\right) $ et par suite $ H=H^{\prime}$, car $ H^{\prime}$ est un groupe fini.

Théorème $ I\circ S=id_{\mathcal{C}}$.

Démonstration Soit $ L$ un élément de $ \mathcal{C}$. Posons $ H=S\left( L\right) $ et
$ L^{\prime}=I\left( H\right) =\left( I\circ S\right) \left(
L\right) $. Nous avons $ L\subseteq L^{\prime}$. D'un autre côté, si $ b\in L^{\prime}$, alors $ b$ est laissé fixe par tout élément de $ H=S\left( L\right) =G\left( E/L\right) $. Toutes les racines de $ Irr\left( b,L\right) $ sont simples, car $ Irr\left( b,L\right) $ divise $ Irr\left( b,K\right) $ et $ b$ est séparable sur $ K$. Or, si $ b^{\prime
}$ est une autre racine de $ Irr\left( b,L\right) $, il existe un $ L$-isomorphisme de $ L\left( b\right) $ dans $ E$ qui transforme $ b$ en $ b^{\prime
}$. Ce $ L$-isomorphisme peut être prolongé en un $ L$-automorphisme $ \sigma$ de $ E$. On en déduit qu'il existe $ \sigma\in
G\left( E/L\right) =H$ tel que $ \sigma\left( b\right) =b^{\prime}\neq b$ ce qui prouve $ b\notin L^{\prime}$ en contradiction avec le choix de $ b$. Il en résulte que $ b$ est l'unique racine de $ Irr\left( b,L\right) $ et par suite $ b\in L$. Donc $ L=L^{\prime}$.

Corollaire L'application de $ \mathcal{C}$ dans $ \mathcal{H}$ qui associe à $ L$ l'élément $ G\left( E/L\right) $ est une bijection décroissante.

Théorème Si $ K\subseteq L\subseteq E$, alors nous avons : $ L$ est une extension normale de $ K$ si, et seulement si, $ G\left( E/L\right) $ est un sous-groupe distingué de $ G\left(
E/K\right) $.

Démonstration Soit $ \sigma\in G\left( E/K\right) $. Nous avons $ \sigma\left( x\right)
\in L$ pour tout $ x\in L$ car $ L$ est une extension normale de $ K$. Il en résulte

$\displaystyle \left( \sigma^{-1}\circ\tau\circ\sigma\right) \left( x\right) =\s...
...x\right) \right) \right)
=\sigma^{-1}\left( \sigma\left( x\right) \right) =x
$

pour tout $ \tau\in G\left( E/L\right) $. Ainsi, $ \sigma^{-1}\circ\tau
\circ\sigma\in G\left( E/L\right) $ pour tout $ \tau\in G\left( E/L\right) $, ce qui prouve que ce sous-groupe de $ G\left(
E/K\right) $ est distingué. Réciproquement, si $ G\left( E/L\right) $ est un sous-groupe distingué de $ G\left(
E/K\right) $, alors tout $ K$-isomorphisme $ \tau$ de $ L$ dans $ E$ est un $ K$-automorphisme de $ L$ : $ \tau$ peut être prolongé en un $ K$-automorphisme $ \overline{\tau}$ de $ E$ et $ \overline{\tau}^{-1}\circ\sigma\circ\overline{\tau}\in G\left(
E/L\right) $ pour tout $ \sigma\in G\left( E/L\right) $. Si $ x\in L$, alors $ x=\left( \overline{\tau}^{-1}\circ\sigma\circ\overline{\tau}\right) \left(
x\right) $ et $ \overline{\tau}\left( x\right) =\left( \sigma\circ
\overline{\tau}\right) \left( x\right) $ pour tout $ \sigma\in G\left( E/L\right) $. Il en résulte que $ \overline{\tau}\left( x\right) \in L$ et $ \tau\left( x\right) \in L$. D'où $ \tau\left( L\right) \subseteq L$ et $ \tau$ est un $ K$-automorphisme de $ L$ ce qui prouve que $ L$ est une extension normale de $ K$.

Théorème Soit $ L$ un corps intermédiaire, extension normale de $ K$. Le groupe $ G\left( L/K\right) $ est isomorphe au groupe quotient $ G\left( E/K\right)
/G\left( E/L\right) $.

Démonstration $ G\left( E/L\right) $ est un sous-groupe distingué de $ G\left(
E/K\right) $, car $ L$ est une extension normale de $ K$. Soit $ \varphi$ l'application de $ G\left(
E/K\right) $ dans $ G\left( L/K\right) $ qui associe à $ \sigma$ sa restriction à $ L$. C'est une application de $ G\left(
E/K\right) $ dans $ G\left( L/K\right) $ car la restriction de $ \sigma$ à $ L$ est un $ K$-isomorphisme de $ L$ dans $ E$ et par suite un $ K$-automorphisme de $ L$, car $ L$ est une extension normale de $ K$. L'application $ \varphi$ est surjective, car tout $ \alpha\in G\left(
L/K\right) $, étant un $ K$-isomorphisme de $ L$ dans $ E$, peut être prolongé en un $ K$-automorphisme $ \overline{\sigma}$ de $ E$. Finalement, $ \varphi$ est un homomorphisme de groupes et son noyau est $ G\left( L/K\right) $, d'où $ G\left( E/K\right) /G\left( E/L\right)
\approx G\left( L/K\right) $.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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