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Les correspondance de Galois

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Les correspondance de Galois

Soit une extension finie de .

Définition L'extension finie de sera dite une extension galoisienne si, et seulement si, est une extension normale et séparable de .

Exemple $\mathbb{C}$ est une extension galoisienne de $\mathbb{R}$ .

Théorème Si est une extension galoisienne de , alors

$\displaystyle Ord\left( G\left( E/K\right) \right) =\left[ E:K\right] .$

Démonstration Nous avons $Ord\left( G\left( E/K\right) \right) =\overline{\left[ E:K\right] }=\left[ E:K\right]$ .

Soit $G\left( E/K\right)$ le groupe de Galois d'une extension galoisienne finie de , $\mathcal{C}$ l'ensemble des corps intermédiaires entre et et $\mathcal{H}$ l'ensemble des sous-groupes de $G\left( E/K\right)$ . Pour tout $L\in\mathcal{C}$ , on pose

$\displaystyle S\left( L\right) =\left\{ u\in G\left( E/K\right) \quad/\quad\left( \forall x\in L\right) \left[ u\left( x\right) =x\right] \right\}$

et pour tout $H\in\mathcal{H}$

$\displaystyle I\left( H\right) =\left\{ x\in E\quad/\quad\left( \forall u\in H\right) \left[ u\left( x\right) =x\right] \right\}$

Il est facile de prouver que

est un sous-groupe de $G\left( E/K\right)$ et

est un corps intermédiaire entre

. Ainsi, nous avons deux applications $S;\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{H}$ et $I;\mathcal{H}\longrightarrow\mathcal{C}$ . Ces deux applications sont visiblement décroissantes.

Théorème Pour tout $L\in\mathcal{C}$ , est une extension galoisienne finie de et $G\left( E/L\right) =S\left( L\right)$ .

Démonstration , étant une extension normale de , elle est le corps des racines pour un polynôme $P\in K\left[ X\right]$ sur . est aussi un corps des racines pour sur . Donc, est une extension normale de . D'un autre côté, tout élément $a\in E$ est séparable sur . Ceci prouve que toutes les racines de $Irr\left( a,K\right)$ sont simples. Il en résulte que $Irr\left( a,L\right)$ (qui divise $Irr\left( a,K\right)$ ) possède la même propriété. On en déduit que est une extension séparable de et par suite une extension galoisienne de . Enfin, $G\left( E/L\right)$ est l'ensemble des -automorphismes de .

Théorème $S\circ I=id_{\mathcal{H}}$ .

Démonstration Nous avons à prouver $\left( S\circ I\right) \left( H\right) =S\left( I\left( H\right) \right) =H$ pour tout $H\in\mathcal{H}$ . Soit $L=I\left( H\right)$ et $H^{\prime}=S\left( L\right) =\left( S\circ I\right) \left( H\right)$ . Alors $H^{\prime}=G\left( E/L\right)$ et $H\subseteq H^{\prime}$ . D'un autre côté, soit $H=\left\{ \sigma_{1}%% ,...,\sigma_{n}\right\}$ et un élément primitif de l'extension de . Nous avons $E=K\left( a\right) =L\left( a\right)$ . Le polynôme $P=\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-\sigma_{i}\left( a\right) \right)$ appartient à $L\left[ X\right]$ , en effet

$\displaystyle \widehat{\sigma}\left( P\right) =\prod\limits_{i=1}^{i=n}\left( X-\left( \sigma\circ\sigma_{i}\right) \left( a\right) \right) =P$

pour tout $\sigma\in H$ , car $\left\{ \sigma_{1},...,\sigma_{n}\right\} =H=\left\{ \sigma\circ\sigma_{1},...,\sigma\circ\sigma_{n}\right\}$ (

est un groupe). Nous avons

$\displaystyle \left[ P\left( a\right) =0\right]$	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ Irr\left( a,L\right) /P\right]$
	$\displaystyle \Longrightarrow\left[ \begin{array}[c]{c} Ord\left( H^{\prime}\ri... ...\;\;\;\;\;\;\;\leq\deg\left( P\right) =n=Ord\left( H\right) \end{array} \right]$

est un sous-groupe du groupe fini $H^{\prime}$ . D'où $Ord\left( H\right) \leq Ord\left( H^{\prime}\right)$ et par suite $H=H^{\prime}$ , car $H^{\prime}$ est un groupe fini.

Théorème $I\circ S=id_{\mathcal{C}}$ .

Démonstration Soit un élément de $\mathcal{C}$ . Posons $H=S\left( L\right)$ et
$L^{\prime}=I\left( H\right) =\left( I\circ S\right) \left( L\right)$ . Nous avons $L\subseteq L^{\prime}$ . D'un autre côté, si $b\in L^{\prime}$ , alors est laissé fixe par tout élément de $H=S\left( L\right) =G\left( E/L\right)$ . Toutes les racines de $Irr\left( b,L\right)$ sont simples, car $Irr\left( b,L\right)$ divise $Irr\left( b,K\right)$ et est séparable sur . Or, si $b^{\prime }$ est une autre racine de $Irr\left( b,L\right)$ , il existe un -isomorphisme de $L\left( b\right)$ dans qui transforme en $b^{\prime }$ . Ce -isomorphisme peut être prolongé en un -automorphisme $\sigma$ de . On en déduit qu'il existe $\sigma\in G\left( E/L\right) =H$ tel que $\sigma\left( b\right) =b^{\prime}\neq b$ ce qui prouve $b\notin L^{\prime}$ en contradiction avec le choix de . Il en résulte que est l'unique racine de $Irr\left( b,L\right)$ et par suite $b\in L$ . Donc $L=L^{\prime}$ .

Corollaire L'application de $\mathcal{C}$ dans $\mathcal{H}$ qui associe à l'élément $G\left( E/L\right)$ est une bijection décroissante.

Théorème Si $K\subseteq L\subseteq E$ , alors nous avons : est une extension normale de si, et seulement si, $G\left( E/L\right)$ est un sous-groupe distingué de $G\left( E/K\right)$ .

Démonstration Soit $\sigma\in G\left( E/K\right)$ . Nous avons $\sigma\left( x\right) \in L$ pour tout $x\in L$ car est une extension normale de . Il en résulte

$\displaystyle \left( \sigma^{-1}\circ\tau\circ\sigma\right) \left( x\right) =\s... ...x\right) \right) \right) =\sigma^{-1}\left( \sigma\left( x\right) \right) =x$

pour tout $\tau\in G\left( E/L\right)$ . Ainsi, $\sigma^{-1}\circ\tau \circ\sigma\in G\left( E/L\right)$ pour tout $\tau\in G\left( E/L\right)$ , ce qui prouve que ce sous-groupe de $G\left( E/K\right)$ est distingué. Réciproquement, si $G\left( E/L\right)$ est un sous-groupe distingué de $G\left( E/K\right)$ , alors tout

-isomorphisme $\tau$ de

dans

est un

-automorphisme de

: $\tau$ peut être prolongé en un

-automorphisme $\overline{\tau}$ de

et $\overline{\tau}^{-1}\circ\sigma\circ\overline{\tau}\in G\left( E/L\right)$ pour tout $\sigma\in G\left( E/L\right)$ . Si $x\in L$ , alors $x=\left( \overline{\tau}^{-1}\circ\sigma\circ\overline{\tau}\right) \left( x\right)$ et $\overline{\tau}\left( x\right) =\left( \sigma\circ \overline{\tau}\right) \left( x\right)$ pour tout $\sigma\in G\left( E/L\right)$ . Il en résulte que $\overline{\tau}\left( x\right) \in L$ et $\tau\left( x\right) \in L$ . D'où $\tau\left( L\right) \subseteq L$ et $\tau$ est un

-automorphisme de

ce qui prouve que

est une extension normale de

Théorème Soit un corps intermédiaire, extension normale de . Le groupe $G\left( L/K\right)$ est isomorphe au groupe quotient $G\left( E/K\right) /G\left( E/L\right)$ .

Démonstration $G\left( E/L\right)$ est un sous-groupe distingué de $G\left( E/K\right)$ , car est une extension normale de . Soit $\varphi$ l'application de $G\left( E/K\right)$ dans $G\left( L/K\right)$ qui associe à $\sigma$ sa restriction à . C'est une application de $G\left( E/K\right)$ dans $G\left( L/K\right)$ car la restriction de $\sigma$ à est un -isomorphisme de dans et par suite un -automorphisme de , car est une extension normale de . L'application $\varphi$ est surjective, car tout $\alpha\in G\left( L/K\right)$ , étant un -isomorphisme de dans , peut être prolongé en un -automorphisme $\overline{\sigma}$ de . Finalement, $\varphi$ est un homomorphisme de groupes et son noyau est $G\left( L/K\right)$ , d'où $G\left( E/K\right) /G\left( E/L\right) \approx G\left( L/K\right)$ .