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EXEMPLE

Soit $ R$ le corps des racine du polynôme $ X^{4}-2\in\mathbb{Q}\left[
X\right] $ sur $ \mathbb{Q}$. Nous avons $ R=\mathbb{Q}\left( i,\sqrt[4]
{2}\right) $.

Degré de $ \mathbf{R}$ sur $ \mathbb{Q}$ : Nous avons $ \left[ R:\mathbb{Q}\right] =\left[ R:\mathbb{Q}\left( \sqrt[4]{2}\right)
\right] \left[ \mathbb{Q}\left( \sqrt[4]{2}\right) :\mathbb{Q}\right] $. $ \left[ \mathbb{Q}\left( \sqrt{2}\right) :\mathbb{Q}\right] =4$, car $ X^{4}-2$ est irréductible dans $ \mathbb{Q}\left[ X\right] $. $ \left[
R:\mathbb{Q}\left( \sqrt[4]{2}\right) \right] =2$, car $ Irr\left(
i,\mathbb{Q}\left( \sqrt[4]{2}\right) \right) =X^{2}+1$. D'où $ \left[
R:\mathbb{Q}\right] =8 $.

Groupe $ G\left( R/\mathbb{Q}\right) $ : Si $ \sigma\in G\left(
R/\mathbb{Q}\right) $, alors

  • $ \sigma\left( i\right) $ est une racine de $ X^{2}+1$. Donc $ \sigma\left( i\right) =\pm i$.

  • $ \sigma\left( \sqrt[4]{2}\right) $ est une racine de $ X^{4}-2$. Donc

    $\displaystyle \sigma\left( \sqrt[4]{2}\right) =\pm\sqrt[4]{2}
$

    ou

    $\displaystyle \sigma\left( \sqrt[4]{2}\right) =\pm i\sqrt[4]{2}
$

    .

Or $ \sigma$ est complètement déterminé par son action sur $ i$ et $ \sqrt[4]{2}$ car ces éléments engendrent $ R$ sur $ \mathbb{Q}$. Il en résulte que le groupe de Galois de l'extension $ R$ de $ \mathbb{Q}$ est

     Groupe de Galois de l'extension de $\displaystyle R/\mathbb{Q}$    
  $\displaystyle \begin{tabular}[c]{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\ver...
...$ & $-\sqrt[4]{2}$ & $i\sqrt[4]{2}$ & $-i\sqrt[4]{2}$ \hline \end{tabular}$       

La loi de composition de ce groupe est définie par le tableau suivant

$\displaystyle \begin{tabular}[c]{\vert l\vert l\vert l\vert l\vert l\vert l\ver...
...{4}$ & $\sigma_{3}$ & $\sigma_{2}$ & $\sigma_{1}$  \hline
\end{tabular}
$

Sous-groupes de $ G\left( R/\mathbb{Q}\right) $ :

  • Sous-groupe d'ordre 1 : $ \left\{ \sigma_{1}\right\} $

  • Sous-groupe d'ordre 2 : $ A=\left\{ \sigma_{1},\sigma_{2}\right\} $, $ B=\left\{ \sigma_{1},\sigma_{5}\right\} $, $ C=\left\{ \sigma_{1}
,\sigma_{6}\right\} $, $ D=\left\{ \sigma_{1},\sigma_{7}\right\} $ et $ E=\left\{ \sigma_{1},\sigma_{8}\right\} $.

  • Sous-groupe d'ordre 4 : $ F=\left\{ \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma
_{3},\sigma_{4}\right\} $, $ G=\left\{ \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma
_{5},\sigma_{6}\right\} $ et $ H=\left\{ \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma
_{7},\sigma_{8}\right\} $.

  • Sous-groupe d'ordre : $ G\left( R/\mathbb{Q}\right) $.

Diagramme des sous-groupes :

\begin{displaymath}
\begin{array}[c]{ccccccccccccc}
& & & & & & G\left( R/\math...
...& & & & & \left\{ \sigma_{1}\right\} & & & & & &
\end{array}
\end{displaymath}

Diagramme des corps intermédiaires :

\begin{displaymath}
\begin{array}[c]{ccccccccccccc}
& & & & & & G\left( R/\math...
...& & & & & \left\{ \sigma_{1}\right\} & & & & & &
\end{array}
\end{displaymath}

$ C\left( M\right) $ est le corps intermédiaire associé au sous-groupe $ M$ de $ G\left( R/\mathbb{Q}\right) $. Pour déterminer ces corps intermédiaires, on considère une base du $ \mathbb{Q}$-espace vectoriel $ R$ exprimée en termes de $ i$ et $ \sqrt[4]{2}$. Nous avons la base

$\displaystyle \left\{ 1,\sqrt[4]{2},\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{2},\left( \sqrt...
...]{2},i\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{2},i\left(
\sqrt[4]{2}\right) ^{3}\right\}
$

obtenue en multipliant terme à terme la base $ \left\{ 1,\sqrt[4]
{2},\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{2},\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{3}\right\}
$ de l'extension $ \mathbb{Q}\left( \sqrt[4]{2}\right) $ de $ \mathbb{Q}$ et la base $ \left\{ 1,i\right\} $ de l'extension $ R$ de $ \mathbb{Q}\left( \sqrt[4]{2}\right) $. Un élément $ x\in R$ s'écrit, d'une manière unique, sous la forme

$\displaystyle x=b_{0}+b_{1}\sqrt[4]{2}+b_{2}\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{2}+b_{3...
...}+c_{2}i\left( \sqrt[4]
{2}\right) ^{2}+c_{3}i\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{3}
$

Pour déterminer $ C\left( A\right) $, on utilise l'équivalence

$\displaystyle \left[ x\in C\left( A\right) \right] \Longleftrightarrow\left[ \sigma
_{2}\left( x\right) =x\right]
$

Or

$\displaystyle \sigma_{2}\left( x\right) =b_{0}-b_{1}\sqrt[4]{2}+b_{2}\left( \sq...
...2}+c_{2}i\left( \sqrt[4]{2}\right) ^{2}-c_{3}i\left( \sqrt[4]{2}\right)
^{3}
$

Donc

$\displaystyle \left[ x\in C\left( A\right) \right]$ $\displaystyle \Longleftrightarrow\left[ \sigma_{2}\left( x\right) =x\right] \Longleftrightarrow\left[ b_{1} =b_{3}=c_{1}=c_{3}=0\right]$    
  $\displaystyle \Longleftrightarrow\left[ x\in\mathbb{Q}\left( i,\left( \sqrt[4] {2}\right) ^{2}\right) \right]$    

et $ C\left( A\right) =\mathbb{Q}\left( i,\left( \sqrt[4]{2}\right)
^{2}\right) =\mathbb{Q}\left( i,\sqrt{2}\right) $. D'une manière analogue, on détermine les autres corps intermédiaires Les résultats sont résumés dans le tableau suivant :

$\displaystyle \begin{tabular}[c]{\vert c\vert c\vert}\hline
Sous-groupe & Corp...
...  \hline
$I$ & $\mathbb{Q}\left( \sqrt{2}\right) $  \hline
\end{tabular}
$

Sous-groupes distingués de $ G\left( R/\mathbb{Q}\right) $ : Les sous-groupes d'ordre 4 sont distingués. $ A$ est la seule sous-groupe distingué d'ordre 2.

Extensions normale de $ \mathbb{Q}$ : Les corps intermédiaires qui sont des extensions normales de $ \mathbb{Q}$ sont ceux associés aux sous-groupes distingués de $ G\left( R/\mathbb{Q}\right) $. Ces corps sont : $ \mathbb{Q}\left( i\right) $, $ \mathbb{Q}\left( \sqrt{2}\right) $, $ \mathbb{Q}\left( i\sqrt{2}\right) $ and $ \mathbb{Q}\left( i,\sqrt
{2}\right) $.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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