Soit le corps des racine du polynôme
sur
. Nous avons
.
Degré de sur : Nous avons
.
, car
est irréductible dans
.
, car
. D'où
.
Groupe : Si
, alors
est une racine de . Donc
.
est une racine de . Donc
ou
.
Or est complètement déterminé par son action sur et
car ces éléments engendrent sur
. Il
en résulte que le groupe de Galois de l'extension de
est
Groupe de Galois de l'extension de
La loi de composition de ce groupe est définie par le tableau suivant
Sous-groupes de :
Sous-groupe d'ordre 1 :
Sous-groupe d'ordre 2 :
,
,
,
et
.
Sous-groupe d'ordre 4 :
,
et
.
Sous-groupe d'ordre :
.
Diagramme des sous-groupes :
Diagramme des corps intermédiaires :
où
est le corps intermédiaire associé au
sous-groupe de
. Pour déterminer ces
corps intermédiaires, on considère une base du
-espace
vectoriel exprimée en termes de et
. Nous avons la
base
obtenue en multipliant terme à terme la base
de l'extension
de
et
la base
de l'extension de
. Un élément s'écrit, d'une
manière unique, sous la forme
Pour déterminer
, on utilise l'équivalence
Or
Donc
et
. D'une manière
analogue, on détermine les autres corps intermédiaires Les
résultats sont résumés dans le tableau suivant :
Sous-groupes distingués de : Les
sous-groupes d'ordre 4 sont distingués. est la seule sous-groupe
distingué d'ordre 2.
Extensions normale de : Les corps intermédiaires qui
sont des extensions normales de
sont ceux associés aux
sous-groupes distingués de
. Ces corps
sont :
,
,
and
.