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Quelques théorèmes

Soit $ f:G\longrightarrow G^{\prime}$ un homomorphisme de groupes surjectif. Nous allons désigner par $ S\left( G^{\prime}\right) $ l'ensemble des sous-groupes de $ G^{\prime}$ et par $ S_{f}\left( G\right) $ celui des sous-groupes de $ G$ contenant $ Ker\left( f\right) $.

Théorème Il existe une bijection de $ S\left( G^{\prime}\right) $ sur $ S_{f}\left( G\right) $.

Démonstration Soit $ \varphi$ l'application de $ S\left( G^{\prime}\right) $ dans $ S_{f}\left( G\right) $ qui associe à $ H^{\prime}$ le sous-groupe $ f^{-1}\left( H^{\prime}\right) $ de $ G$. $ \varphi$ est injective, car nous avons

$\displaystyle \left[ \varphi\left( H^{\prime}\right) =\varphi\left( K^{\prime}\right) \right]$ $\displaystyle \Longrightarrow\left[ f^{-1}\left( H^{\prime}\right) =f^{-1}\left( K^{\prime}\right) \right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( f^{-1}\left( H^{\prime}\right) \right) =f\left( f^{-1}\left( K^{\prime}\right) \right) \right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ H^{\prime}=K^{\prime}\right]$    

vu que $ f$ est surjective. D'un autre côté, si $ H\in S_{f}\left(
G\right) $, alors

$\displaystyle H^{\prime}=f\left( H\right) \in S\left( G^{\prime}\right)$    et $\displaystyle \varphi\left( H^{\prime}\right) =f^{-1}\left( H^{\prime}\right) =H
$

car nous avons

$\displaystyle \left[ x\in f^{-1}\left( f\left( H\right) \right) \right]$ $\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x\right) \in f\left( H\right) \right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left( \exists y\in H\right) \left[ f\left( x\right) =f\left( y\right) \right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ x-y\in Ker\left( f\right) \subseteq H\right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ x\in H\right]$    

D'où $ f^{-1}\left( f\left( H\right) \right) \subseteq H$. L'autre inclusion est évidente. Ainsi $ \varphi$ est surjective.

Théorème La bijection $ \varphi$ est croissante.

Démonstration Si $ H^{\prime}\subseteq K^{\prime}$, alors

$\displaystyle \left[ x\in\varphi\left( H^{\prime}\right) \right]$ $\displaystyle \Longrightarrow \left[ x\in f^{-1}\left( H^{\prime}\right) \right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x\right) \in H^{\prime}\right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x\right) \in K^{\prime}\right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ x\in f^{-1}\left( K^{\prime}\right) =\varphi \left( K^{\prime}\right) \right]$    

D'où $ \varphi\left( H^{\prime}\right) \subseteq\varphi\left( K^{\prime
}\right) $.

Théorème $ H^{\prime}$ est un sous-groupe distingué de $ G^{\prime}$ si, et seulement si, le sous-groupe $ H=\varphi\left( H^{\prime}\right) $ de $ G$ est distingué.

Démonstration Si $ H^{\prime}$ est un sous-groupe distingué de $ G^{\prime}$, alors nous avons

$\displaystyle \left[ x\in G\text{, }y\in H\right]$ $\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x\right) \in G^{\prime}\text{, }f\left( y\right) \in H^{\prime}\right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x^{-1}yx\right) =f\left( x\right) ^{-1}f\left( y\right) f\left( x\right) \in H^{\prime}\right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ x^{-1}yx\in f^{-1}\left( H^{\prime}\right) =H\right]$    

Réciproquement, si le sous-groupe $ H$ de $ G$ est distingué, alors $ H^{\prime}$ est un sous-groupe distingué de $ G^{\prime}$. En effet, si $ x^{\prime}\in G^{\prime}$ et $ y^{\prime}\in H^{\prime}$, alors il existe $ x\in G$ et $ y\in H$ tels que $ x^{\prime}=f\left( x\right) $ et $ y^{\prime
}=f\left( y\right) $ ( $ H^{\prime}=f\left( f^{-1}\left( H^{\prime}\right)
\right) =f\left( H\right) $ car $ f$ est surjective). Nous avons

$\displaystyle \left( x^{\prime}\right) ^{-1}y^{\prime}x^{\prime}=f\left( x\righ...
...f\left( x\right) =f\left( x^{-1}yx\right) \in
f\left( H\right) =H^{\prime}%%
$

car $ x^{-1}yx\in H$.

Théorème Si $ H^{\prime}$ est distingué dans $ G^{\prime}$ et $ H=\varphi\left( H^{\prime}\right) $, alors $ G^{\prime}/H^{\prime}$ est isomorphe à $ G/H$.

Démonstration L'application

$\displaystyle g;G\overset{f}{\longrightarrow}G^{\prime}\overset{p^{\prime}}{\longrightarrow
}G^{\prime}/H^{\prime}%%
$

$ p^{\prime}$ est la surjection canonique qui est un homomorphisme de groupes. Il est surjectif et son noyau est $ H$ car

$\displaystyle \left[ x\in Ker\left( g\right) \right] \Longleftrightarrow\left[ ...
...left( x\right)
\in H^{\prime}\right] \Longleftrightarrow\left[ x\in H\right]
$

D'où $ G^{\prime}/H^{\prime}=\operatorname{Im}\left( g\right) \simeq G/H$.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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