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Chaînes normales

Soient $ G_{1}$ et $ G_{2}$ deux sous-groupes de $ G$ tels que $ G_{1}\subseteq
G_{2}$.

Définition On appelle chaîne normale de $ G$ entre $ G_{2}$ et $ G_{1}$ toute chaîne de sous-groupes de $ G$

$\displaystyle G_{1}=H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}=G_{2}%%
$

telle que chaque $ H_{i}$ soit un sous-groupe distingué de son successeur $ H_{i+1}$. Les groupes quotients $ F_{i}=H_{i+1}/H_{i}$ pour $ i=0,1,...,n-1$ sont appelés les facteurs de la chaîne.

Définition On appelle chaîne normale du groupe $ G$ toute chaîne normale de $ G$ entre $ \left\{ e\right\} $ et $ G$.

Exemple Soit $ S_{3}$ le groupe des permutations de l'ensemble $ \left\{ 1,2,3\right\}
$ et $ A_{3}$ le groupe alterné d'ordre 3. La chaîne

$\displaystyle \left\{ i\right\} \subseteq A_{3}\subseteq S_{3}%%
$

est une chaîne normale du groupe $ S_{3}$.

Théorème Si $ f;G\longrightarrow G^{\prime}$ est un homomorphisme surjectif, alors $ f$ transforme toute chaîne normale

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq
H_{n}=G
$

de $ G$ en une chaîne normale

$\displaystyle \left\{ e^{\prime}\right\} =H_{0}^{\prime}\subseteq H_{1}^{\prime}%%
\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}^{\prime}=G^{\prime}%%
$

de $ G^{\prime}$ et il existe un homomorphisme surjectif $ u_{i}$ du facteur $ F_{i}=H_{i+1}/H_{i}$ sur le facteur $ F_{i}^{\prime}=H_{i+1}^{\prime}%%
/H_{i}^{\prime}$ pour $ i=0,1,...,n-1$.

Démonstration L'homomorphisme $ f$ transforme la chaîne

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq
H_{n}=G
$

en la chaîne

$\displaystyle \left\{ e^{\prime}\right\} =H_{0}^{\prime}\subseteq H_{1}^{\prime}%%
\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}^{\prime}=G^{\prime}%%
$

$ H_{i}^{\prime}=f\left( H_{i}\right) $ pour $ i=0,1,...,n-1$. Cette chaîne est normale, car l'image d'un sous-groupe distingué par un homomorphisme surjectif est un sous-groupe distingué. D'un autre côté, L'application $ u_{i}$ définie par

$\displaystyle u_{i}\left( p_{i}\left( x\right) \right) =p_{i}^{\prime}\left( f\left(
x\right) \right)
$

est bien définie, car nous avons

$\displaystyle \left[ p_{i}\left( x\right) =p_{i}\left( y\right) \right]$ $\displaystyle \Longrightarrow\left[ xy^{-1}\in H_{i}\right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x\right) f\left( y\right) ^{-1}=f\left( xy^{-1}\right) \in f\left( H_{i}\right) =H_{i}^{\prime}\right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ p_{i}^{\prime}\left( f\left( x\right) \right) =p_{i}^{\prime}\left( f\left( y\right) \right) \right]$    

$ p_{i}$ et $ p_{i}^{\prime}$ sont les surjections canoniques. Il est facile de vérifier que $ u_{i}$ est un homomorphisme de groupes surjectif.

Théorème Si $ f;G\longrightarrow G^{\prime}$ est un homomorphisme injectif, alors toute chaîne normale

$\displaystyle \left\{ e^{\prime}\right\} =H_{0}^{\prime}\subseteq H_{1}^{\prime}%%
\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}^{\prime}=G^{\prime}%%
$

de $ G^{\prime}$ est transformée par $ f^{-1}$ en une chaîne normale

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq
H_{n}=f^{-1}\left( G\right) =G
$

de $ f^{-1}\left( G\right) $ et il existe un homomorphisme injectif $ v_{i}$ du facteur $ F_{i}=H_{i+1}/H_{i}$ dans le facteur $ F_{i}^{\prime}%%
=H_{i+1}^{\prime}/H_{i}^{\prime}$ pour $ i=0,1,...,n-1$.

Démonstration Soit $ H_{i}=f^{-1}\left( H_{i}^{\prime}\right) $ pour $ i=0,1,...,n-1$. Les sous-groupes $ H_{i}$ de $ G$ forment une chaîne

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq
H_{n}=f^{-1}\left( G\right) =G
$

$ H_{0}=f^{-1}\left( H_{0}^{\prime}\right) =f^{-1}\left( e^{\prime
}\right) =Ker\left( f\right) =\left\{ e\right\} $. Cette chaîne est normale car nous avons

$\displaystyle \left[ x\in H_{i+1}\text{, }y\in H_{i}\right]$ $\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x\right) \in H_{i+1}^{\prime}\text{, }f\left( y\right) \in H_{i}^{\prime}\right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x^{-1}yx\right) =f\left( x\right) ^{-1}f\left( y\right) f\left( x\right) \in H_{i}^{\prime}\right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ x^{-1}yx\in H_{i}\right]$    

L'application $ v_{i}$ est définie comme l'application $ u_{i}$ du théorème précédent. C'est un homomorphisme de groupes. Il est injectif car nous avons

$\displaystyle \left[ v_{i}\left( p_{i}\left( x\right) \right) =\overline{e^{\prime} }\right]$ $\displaystyle \Longrightarrow\left[ p_{i}^{\prime}\left( f\left( x\right) \right) =\overline{e^{\prime}}\right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ f\left( x\right) \in H_{i}^{\prime}\right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ x\in f^{-1}\left( H_{i}^{\prime}\right) =H_{i}\right]$    
  $\displaystyle \Longrightarrow\left[ p_{i}\left( x\right) =\overline{e}\right]$    


Théorème Si chaque facteur d'une chaîne normale de $ G$ possède une chaîne normale, alors nous obtenons une chaîne normale de $ G$ en concaténant les différentes chaînes des facteurs. Les facteurs de la nouvelle chaîne sont isomorphes aux facteurs des chaînes des différents facteurs.

Démonstration Soit

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq
H_{n}=G
$

une chaîne normale de $ G$ et soit

$\displaystyle \left\{ \overline{e}\right\} =K_{i,0}\subseteq K_{i,1}\subseteq\cdot
\cdot\cdot\subseteq K_{i,n_{i}}=F_{i}%%
$

une chaîne normale du facteur $ F_{i}$ pour $ i=1,2,...,n-1$. La surjection canonique $ p_{i};H_{i+1}\longrightarrow F_{i}$ transforme cette chaîne en une chaîne normale de $ G$ entre $ H_{i}$ et $ H_{i+1}$

$\displaystyle H_{i}=L_{i,0}\subseteq L_{i,1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq L_{i,n_{i}%%
}=H_{i+1}%%
$

$ L_{ij}=p_{i}^{-1}\left( K_{ij}\right) $ $ L_{i,j}/H_{i}\approx
K_{i,j} $. Il en résulte que la chaîne

$\displaystyle \left\{ e\right\}$ $\displaystyle =H_{0}=L_{0,0}\subseteq L_{0,1}\subseteq\cdot \cdot\cdot\subseteq L_{0,n_{0}}=H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n-1}$    
  $\displaystyle =L_{n-1,0}\subseteq L_{n-1,1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq L_{n-1,n_{i}}=H_{n}=G$    

est une chaîne normale de $ G$. Il nous reste à prouver que le facteur $ L_{i,j+1}/L_{i,j}$ est isomorphe au facteur $ K_{i,j+1}/K_{i,j}$ et ceci pour $ j=0,1,...,n_{i}-1$ et pour $ i=0,1,...,n-1$. La restriction de $ p_{i}$ à $ L_{i,j+1}$ est un homomorphisme surjectif de $ L_{i,j+1}$ sur $ K_{i,j+1}$. Le dernier théorème de la section précédente nous donne l'isomorphisme recherché (prendre $ G^{\prime}=K_{i,j+1}$, $ H^{\prime
}=K_{i,j}$ et $ H=L_{i,j}$).


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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