Définition
On dit qu'un groupe est résoluble si, et seulement si, il possède
une chaîne normale dont les facteurs sont abéliens.
Exemple Le groupe symétrique est résoluble.
Théorème
Tout groupe abélien est résoluble.
Démonstration Il suffit de prendre la chaîne
.
Théorème
Tout groupe cyclique est résoluble.
Démonstration Car un groupe cyclique est abélien.
Théorème
Toute image par un homomorphisme d'un groupe résoluble est un groupe résoluble.
Démonstration Si
est une image homomorphe du groupe résoluble , alors il
existe un homomorphisme surjectif
. Si
est une chaîne normale de à facteurs abéliens, alors la
chaîne
où
pour
est
normale et ses facteurs sont des images homomorphes de ceux de la chaîne
de (par l'homomorphisme ). Il en résulte que la chaîne
est une chaîne normale à facteurs abélien. Ceci
prouve que
est résoluble.
Corollaire
Tout groupe quotient d'un groupe résoluble est un groupe résoluble.
Démonstration En effet, un groupe quotient de est une image homomorphe de par la
surjection canonique.
Théorème
Si
est un homomorphisme injectif et si
est résoluble, alors est résoluble.
Démonstration Si
est résoluble, alors il possède une chaîne
normale
à facteurs abéliens. La chaîne
où
pour
est
une chaîne normale et il existe homomorphisme injectif
. Il en
résulte que les facteurs de la chaîne de sont tous abéliens,
ce qui prouve que est résoluble.
Corollaire
Tout sous-groupe d'un groupe résoluble est un groupe résoluble.
Démonstration Il suffit d'appliquer le théorème précédent à l'injection canonique.
Théorème
Si possède une chaîne normale dont les facteurs sont des groupes
résolubles, alors est résoluble.
Démonstration Soit
une chaîne normale de telle que tous les facteurs
sont résolubles. Nous avons démontré que l'on peut
utiliser ces chaînes normales des facteurs pour construire une chaîne
normale de dont les facteurs sont isomorphes aux facteurs des
différentes chaînes normales des facteurs. Mais les chaînes des
peuvent être choisies à facteurs abéliens, il en
résulte que les facteurs de la chaîne concaténée sont tous
abéliens et est résoluble.
Théorème
Soit un sous-groupe distingué de . est résoluble si, et
seulement si, et sont résolubles.
Démonstration Si est résoluble, alors et sont résolubles comme nous
l'avons vu. Réciproquement, si et sont résolubles, alors
est une chaîne normale de dont les facteurs
et sont résolubles. Il en résulte
que est résoluble.
Dans la suite, nous allons prouver que est résoluble si, et seulement
si, possède une chaîne normale dont les facteurs sont des groupes
cycliques d'ordres premiers. Il est clair que si satisfait cette
condition, alors est résoluble. Pour démontrer la réciproque,
nous démontrons les théorèmes préliminaires suivants :
Théorème
Si est un facteur premier de l'ordre d'un groupe cyclique fini, alors
possède un élément d'ordre .
Démonstration Si est un générateur de , alors l'élément
est d'ordre , car et est premier.
Théorème
Si est un facteur premier de l'ordre d'un groupe abélien fini,
alors possède un élément d'ordre .
Démonstration Par récurrence sur l'ordre de . Si , le théorème est
vrai. Supposons le théorème vrai pour tous les groupes finis d'ordre
et démontrons-le pour les groupes finis d'ordre . Soit un tel
groupe. Si est cyclique, alors on est ramené au théorème
précédent. Sinon, possède un élément d'ordre
tel que . Soit
le sous groupe de engendré par . Le groupe quotient est
d'un ordre . Deux cas sont possibles :
divise : dans ce cas, divise l'ordre du groupe qui est
d'ordre . Ainsi contient un élément d'ordre .
ne divise pas : divise l'ordre de car
et est premier. Il existe
d'ordre .
L'élément vérife (sinon
et divise
) et
car
(
) et est l'ordre de . On en
déduit que est l'ordre de car est premier.
Corollaire
Si est un groupe abélien fini d'ordre non premier, alors
possède un sous-groupe propre( c.a.d distint de et .
Démonstration Si est un facteur premier de l'ordre de , alors possède un
élément d'ordre . Le sous-groupe
qui est le sous groupe de engendré par est un
sous-groupe propre de .
Théorème
Si est un groupe résoluble, alors possède une chaîne
normale dont les facteurs sont des groupes cycliques d'ordres premiers.
Démonstration Soit
une chaîne normale à facteurs abéliens. Nous supposons que cette
chaîne est la plus longue des chaînes normales de à facteurs
abéliens. Si un facteur n'était pas un groupe cyclique d'ordre
premier, alors possède un sous-groupe propre et possède un
sous-groupe tel que
. est
distingué dans , car si
et , alors
( est
abélien). Il en résulte
et
. D'un autre côté,
est abélien (sous-groupe de ) et est
abélien car nous avons
et
est abélien
car c'est un quotient du groupe abélien . Ainsi, si nous
insérons entre et nous obtenons une chaîne
normale à facteurs abéliens plus longue que la plus longue des telles
chaînes.