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Groupes résolubles

Définition On dit qu'un groupe $ G$ est résoluble si, et seulement si, il possède une chaîne normale dont les facteurs sont abéliens.

Exemple Le groupe symétrique $ S_{3}$ est résoluble.

Théorème Tout groupe abélien est résoluble.

Démonstration Il suffit de prendre la chaîne $ \left\{ e\right\} \subseteq G$.

Théorème Tout groupe cyclique est résoluble.

Démonstration Car un groupe cyclique est abélien.

Théorème Toute image par un homomorphisme d'un groupe résoluble est un groupe résoluble.

Démonstration Si $ G^{\prime}$ est une image homomorphe du groupe résoluble $ G$, alors il existe un homomorphisme surjectif $ f;G\longrightarrow G^{\prime}$. Si

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq
H_{n}=G
$

est une chaîne normale de $ G$ à facteurs abéliens, alors la chaîne

$\displaystyle \left\{ e^{\prime}\right\} =H_{0}^{\prime}\subseteq H_{1}^{\prime}%%
\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}^{\prime}=G^{\prime}%%
$

$ H_{i}^{\prime}=f\left( H_{i}\right) $ pour $ i=0,1,...,n-1$ est normale et ses facteurs sont des images homomorphes de ceux de la chaîne de $ G$ (par l'homomorphisme $ u_{i}$). Il en résulte que la chaîne $ G^{\prime}$ est une chaîne normale à facteurs abélien. Ceci prouve que $ G^{\prime}$ est résoluble.

Corollaire Tout groupe quotient d'un groupe résoluble est un groupe résoluble.

Démonstration En effet, un groupe quotient de $ G$ est une image homomorphe de $ G$ par la surjection canonique.

Théorème Si $ f;G\longrightarrow G^{\prime}$ est un homomorphisme injectif et si $ G^{\prime}$ est résoluble, alors $ G$ est résoluble.

Démonstration Si $ G^{\prime}$ est résoluble, alors il possède une chaîne normale

$\displaystyle \left\{ e^{\prime}\right\} =H_{0}^{\prime}\subseteq H_{1}^{\prime}%%
\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}^{\prime}=G^{\prime}%%
$

à facteurs abéliens. La chaîne

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq
H_{n}=G
$

$ H_{i}=f^{-1}\left( H_{i}^{\prime}\right) $ pour $ i=0,1,...,n$ est une chaîne normale et il existe homomorphisme injectif $ v_{i}%%
;H_{i+1}/H_{i}\longrightarrow H_{i+1}^{\prime}/H_{i}^{\prime}$. Il en résulte que les facteurs de la chaîne de $ G$ sont tous abéliens, ce qui prouve que $ G$ est résoluble.

Corollaire Tout sous-groupe $ K$ d'un groupe résoluble est un groupe résoluble.

Démonstration Il suffit d'appliquer le théorème précédent à l'injection canonique.

Théorème Si $ G$ possède une chaîne normale dont les facteurs sont des groupes résolubles, alors $ G$ est résoluble.

Démonstration Soit

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq
H_{n}=G
$

une chaîne normale de $ G$ telle que tous les facteurs $ F_{i}=H_{i+1}%%
/H_{i}$ sont résolubles. Nous avons démontré que l'on peut utiliser ces chaînes normales des facteurs pour construire une chaîne normale de $ G$ dont les facteurs sont isomorphes aux facteurs des différentes chaînes normales des facteurs. Mais les chaînes des $ F_{i}$ peuvent être choisies à facteurs abéliens, il en résulte que les facteurs de la chaîne concaténée sont tous abéliens et $ G$ est résoluble.

Théorème Soit $ H$ un sous-groupe distingué de $ G$. $ G$ est résoluble si, et seulement si, $ H$ et $ G/H$ sont résolubles.

Démonstration Si $ G$ est résoluble, alors $ H$ et $ G/H$ sont résolubles comme nous l'avons vu. Réciproquement, si $ H$ et $ G/H$ sont résolubles, alors

$\displaystyle \left\{ e\right\} \subseteq H\subseteq G
$

est une chaîne normale de $ G$ dont les facteurs $ F_{1}=H/\left\{
e\right\} \approx H$ et $ F_{2}=G/H$ sont résolubles. Il en résulte que $ G$ est résoluble.

Dans la suite, nous allons prouver que $ G$ est résoluble si, et seulement si, $ G$ possède une chaîne normale dont les facteurs sont des groupes cycliques d'ordres premiers. Il est clair que si $ G$ satisfait cette condition, alors $ G$ est résoluble. Pour démontrer la réciproque, nous démontrons les théorèmes préliminaires suivants :

Théorème Si $ p$ est un facteur premier de l'ordre d'un groupe cyclique fini $ G$, alors $ G$ possède un élément d'ordre $ p$.

Démonstration Si $ a$ est un générateur de $ G$, alors l'élément $ b=a^{\frac{n}{p}}$ est d'ordre $ p$, car $ b^{p}=e$ et $ p$ est premier.

Théorème Si $ p$ est un facteur premier de l'ordre d'un groupe abélien fini $ G$, alors $ G$ possède un élément d'ordre $ p$.

Démonstration Par récurrence sur l'ordre $ n$ de $ G$. Si $ n=1$, le théorème est vrai. Supposons le théorème vrai pour tous les groupes finis d'ordre $ <n$ et démontrons-le pour les groupes finis d'ordre $ n$. Soit $ G$ un tel groupe. Si $ G$ est cyclique, alors on est ramené au théorème précédent. Sinon, $ G$ possède un élément $ h$ d'ordre $ m$ tel que $ 1<m<n$. Soit $ H=gr\left( h\right) $ le sous groupe de $ G$ engendré par $ h$. Le groupe quotient $ G/H$ est d'un ordre $ <n$. Deux cas sont possibles :

  1. $ p$ divise $ m$ : dans ce cas, $ p$ divise l'ordre du groupe $ H$ qui est d'ordre $ m<n$. Ainsi $ H$ contient un élément d'ordre $ p$.

  2. $ p$ ne divise pas $ m$ : $ p$ divise l'ordre de $ G/H$ car $ n=m\times
ord(G/H)$ et $ p$ est premier. Il existe $ \overline{y}\in G/H$ d'ordre $ p$. L'élément $ x=y^{m}$ vérife $ x\neq e$ (sinon $ \overline{y}%%
^{m}=\overline{e}$ et $ p$ divise $ m=Ord\left( \overline{y}\right) $) et $ x^{p}=\left( y^{m}\right) ^{p}=\left( y^{p}\right) ^{m}=e$ car $ y^{p}\in
H$ ( $ \overline{y}^{p}=\overline{e}$) et $ m$ est l'ordre de $ H$. On en déduit que $ p$ est l'ordre de $ x$ car $ p$ est premier.
$  $

Corollaire Si $ G$ est un groupe abélien fini d'ordre non premier, alors $ G$ possède un sous-groupe propre( c.a.d distint de $ \{e \}$ et $ G$.

Démonstration Si $ p$ est un facteur premier de l'ordre de $ G$, alors $ G$ possède un élément d'ordre $ p$. Le sous-groupe $ H=gr\left( a\right) $ qui est le sous groupe de $ G$ engendré par $ a$ est un sous-groupe propre de $ G$.

Théorème Si $ G$ est un groupe résoluble, alors $ G$ possède une chaîne normale dont les facteurs sont des groupes cycliques d'ordres premiers.

Démonstration Soit

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq
H_{n}=G
$

une chaîne normale à facteurs abéliens. Nous supposons que cette chaîne est la plus longue des chaînes normales de $ G$ à facteurs abéliens. Si un facteur $ F_{i}$ n'était pas un groupe cyclique d'ordre premier, alors $ F_{i}$ possède un sous-groupe propre et $ G$ possède un sous-groupe $ H$ tel que $ H_{i}\subseteq H\subseteq H_{i+1}$. $ H$ est distingué dans $ H_{i+1}$, car si $ x\in H_{i+1}$ et $ y\in H$, alors $ \overline{x}^{-1}\overline{y}\overline{x}=\overline{y}$ ($ F_{i}$ est abélien). Il en résulte $ x^{-1}yxy^{-1}\in H_{i}\subseteq H$ et $ x^{-1}yx=\left( x^{-1}yxy^{-1}\right) y\in H$. D'un autre côté, $ H/H_{i}$ est abélien (sous-groupe de $ F_{i}$) et $ H_{i+1}/H$ est abélien car nous avons

$\displaystyle H_{i+1}/H\simeq\left( H_{i+1}/H_{i}\right) /\left( H/H_{i}\right)
$

et $ \left( H_{i+1}/H_{i}\right) /\left( H/H_{i}\right) $ est abélien car c'est un quotient du groupe abélien $ F_{i}$. Ainsi, si nous insérons $ H$ entre $ H_{i}$ et $ H_{i+1}$ nous obtenons une chaîne normale à facteurs abéliens plus longue que la plus longue des telles chaînes.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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