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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

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Loi forte grd nbre

Nains magiques

Groupes résolubles

suivant: Groupe dérivé monter: Compléments sur les groupes précédent: Chaînes normales

Groupes résolubles

Définition On dit qu'un groupe est résoluble si, et seulement si, il possède une chaîne normale dont les facteurs sont abéliens.

Exemple Le groupe symétrique $S_{3}$ est résoluble.

Théorème Tout groupe abélien est résoluble.

Démonstration Il suffit de prendre la chaîne $\left\{ e\right\} \subseteq G$ .

Théorème Tout groupe cyclique est résoluble.

Démonstration Car un groupe cyclique est abélien.

Théorème Toute image par un homomorphisme d'un groupe résoluble est un groupe résoluble.

Démonstration Si $G^{\prime}$ est une image homomorphe du groupe résoluble , alors il existe un homomorphisme surjectif $f;G\longrightarrow G^{\prime}$ . Si

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}=G$

est une chaîne normale

à facteurs abéliens, alors la chaîne

$\displaystyle \left\{ e^{\prime}\right\} =H_{0}^{\prime}\subseteq H_{1}^{\prime}%% \subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}^{\prime}=G^{\prime}%%$

où $H_{i}^{\prime}=f\left( H_{i}\right)$ pour

est normale et ses facteurs sont des images homomorphes de ceux de la chaîne de

(par l'homomorphisme $u_{i}$ ). Il en résulte que la chaîne $G^{\prime}$ est une chaîne normale à facteurs abélien. Ceci prouve que $G^{\prime}$ est résoluble.

Corollaire Tout groupe quotient d'un groupe résoluble est un groupe résoluble.

Démonstration En effet, un groupe quotient de est une image homomorphe de par la surjection canonique.

Théorème Si $f;G\longrightarrow G^{\prime}$ est un homomorphisme injectif et si $G^{\prime}$ est résoluble, alors est résoluble.

Démonstration Si $G^{\prime}$ est résoluble, alors il possède une chaîne normale

$\displaystyle \left\{ e^{\prime}\right\} =H_{0}^{\prime}\subseteq H_{1}^{\prime}%% \subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}^{\prime}=G^{\prime}%%$

à facteurs abéliens. La chaîne

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}=G$

où $H_{i}=f^{-1}\left( H_{i}^{\prime}\right)$ pour

est une chaîne normale et il existe homomorphisme injectif $v_{i}%% ;H_{i+1}/H_{i}\longrightarrow H_{i+1}^{\prime}/H_{i}^{\prime}$ . Il en résulte que les facteurs de la chaîne de

sont tous abéliens, ce qui prouve que

est résoluble.

Corollaire Tout sous-groupe d'un groupe résoluble est un groupe résoluble.

Démonstration Il suffit d'appliquer le théorème précédent à l'injection canonique.

Théorème Si possède une chaîne normale dont les facteurs sont des groupes résolubles, alors est résoluble.

Démonstration Soit

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}=G$

une chaîne normale de

telle que tous les facteurs $F_{i}=H_{i+1}%% /H_{i}$ sont résolubles. Nous avons démontré que l'on peut utiliser ces chaînes normales des facteurs pour construire une chaîne normale de

dont les facteurs sont isomorphes aux facteurs des différentes chaînes normales des facteurs. Mais les chaînes des $F_{i}$ peuvent être choisies à facteurs abéliens, il en résulte que les facteurs de la chaîne concaténée sont tous abéliens et

est résoluble.

Théorème Soit un sous-groupe distingué de . est résoluble si, et seulement si, et sont résolubles.

Démonstration Si est résoluble, alors et sont résolubles comme nous l'avons vu. Réciproquement, si et sont résolubles, alors

$\displaystyle \left\{ e\right\} \subseteq H\subseteq G$

est une chaîne normale

dont les facteurs $F_{1}=H/\left\{ e\right\} \approx H$ et $F_{2}=G/H$ sont résolubles. Il en résulte que

est résoluble.

Dans la suite, nous allons prouver que est résoluble si, et seulement si, possède une chaîne normale dont les facteurs sont des groupes cycliques d'ordres premiers. Il est clair que si satisfait cette condition, alors est résoluble. Pour démontrer la réciproque, nous démontrons les théorèmes préliminaires suivants :

Théorème Si est un facteur premier de l'ordre d'un groupe cyclique fini , alors possède un élément d'ordre .

Démonstration Si est un générateur de , alors l'élément $b=a^{\frac{n}{p}}$ est d'ordre , car $b^{p}=e$ et est premier.

Théorème Si est un facteur premier de l'ordre d'un groupe abélien fini , alors possède un élément d'ordre .

Démonstration Par récurrence sur l'ordre de . Si , le théorème est vrai. Supposons le théorème vrai pour tous les groupes finis d'ordre et démontrons-le pour les groupes finis d'ordre . Soit un tel groupe. Si est cyclique, alors on est ramené au théorème précédent. Sinon, possède un élément d'ordre tel que . Soit $H=gr\left( h\right)$ le sous groupe de engendré par . Le groupe quotient est d'un ordre . Deux cas sont possibles :

divise : dans ce cas, divise l'ordre du groupe qui est d'ordre . Ainsi contient un élément d'ordre .
ne divise pas : divise l'ordre de car $n=m\times ord(G/H)$ et est premier. Il existe $\overline{y}\in G/H$ d'ordre . L'élément $x=y^{m}$ vérife $x\neq e$ (sinon $\overline{y}%% ^{m}=\overline{e}$ et divise $m=Ord\left( \overline{y}\right)$ ) et $x^{p}=\left( y^{m}\right) ^{p}=\left( y^{p}\right) ^{m}=e$ car $y^{p}\in H$ ( $\overline{y}^{p}=\overline{e}$ ) et est l'ordre de . On en déduit que est l'ordre de car est premier.

Corollaire Si est un groupe abélien fini d'ordre non premier, alors possède un sous-groupe propre( c.a.d distint de $\{e \}$ et .

Démonstration Si est un facteur premier de l'ordre de , alors possède un élément d'ordre . Le sous-groupe $H=gr\left( a\right)$ qui est le sous groupe de engendré par est un sous-groupe propre de .

Théorème Si est un groupe résoluble, alors possède une chaîne normale dont les facteurs sont des groupes cycliques d'ordres premiers.

Démonstration Soit

$\displaystyle \left\{ e\right\} =H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq\cdot\cdot\cdot\subseteq H_{n}=G$

une chaîne normale à facteurs abéliens. Nous supposons que cette chaîne est la plus longue des chaînes normales de

à facteurs abéliens. Si un facteur $F_{i}$ n'était pas un groupe cyclique d'ordre premier, alors $F_{i}$ possède un sous-groupe propre et

possède un sous-groupe

tel que $H_{i}\subseteq H\subseteq H_{i+1}$ .

est distingué dans $H_{i+1}$ , car si $x\in H_{i+1}$ et $y\in H$ , alors $\overline{x}^{-1}\overline{y}\overline{x}=\overline{y}$ ( $F_{i}$ est abélien). Il en résulte $x^{-1}yxy^{-1}\in H_{i}\subseteq H$ et $x^{-1}yx=\left( x^{-1}yxy^{-1}\right) y\in H$ . D'un autre côté, $H/H_{i}$ est abélien (sous-groupe de $F_{i}$ ) et $H_{i+1}/H$ est abélien car nous avons

$\displaystyle H_{i+1}/H\simeq\left( H_{i+1}/H_{i}\right) /\left( H/H_{i}\right)$