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Groupe dérivé

Définition Soit $ G$ un groupe distinct de $ \left\{ e\right\} $. Pour tout $ \left(
a,b\right) \in G\times G$, l'élément $ a^{-1}b^{-1}ab$ sera noté $ \left[ a,b\right] $ et appelé le commutateur de $ a$ et $ b$.

Théorème Les propriétés suivantes sont vraies :

  1. $ \left[ G\text{ est abélien} \right] \Longleftrightarrow\left[
\left[ a,b\right] =e\text{ pour tout }\left( a,b\right) \in G\times
G\right] $.

  2. L'inverse d'un commutateur est un commutateur.

  3. Si $ c$ est un commutateur, alors $ x^{-1}cx$ est un commutateur pour tout $ x\in G$.
$  $

Démonstration Ces propriétés sont faciles à vérifier.

Définition Le sous-groupe de $ G$ engendré par tous les commutateurs $ \left[ a,b\right] $, $ \left(
a,b\right) \in G\times G$, sera appelé groupe dérivé du groupe $ G$. Il sera noté $ G^{\prime}$. $  $

Théorème Le groupe dérivé $ G^{\prime}$ de $ G$ est l'ensemble des produits finis de commutateurs.

Démonstration Soit $ H$ l'ensemble des produits finis de commutateurs. $ H$ est un sous-groupe de $ G$ et il contient tous les commutateurs. Il est le plus petit sous-groupe de $ G$ qui contient tous les commutateurs car si un sous-groupe $ K$ de $ G$ contient tous les commutateurs, alors $ K$ contient tous les produits finie de commutateurs. Ainsi $ H\subseteq K$ et $ H=G^{\prime}$.

Théorème Le groupe dérivé $ G^{\prime}$ de $ G$ est un sous-groupe distingué de $ G$.

Démonstration Car, si $ y\in G^{\prime}$, alors $ y$ est un produit fini de commutateurs, soit $ y=c_{1}\cdot\cdot\cdot c_{t}$. Il en résulte

$\displaystyle x^{-1}yx=x^{-1}c_{1}\cdot\cdot\cdot c_{t}x=\left( x^{-1}c_{1}x\ri...
...{-1}c_{2}x\right) \cdot\cdot\cdot\left( x^{-1}c_{t}x\right) \in
G^{\prime}%%
$

car le conjugué d'un commutateur est un commutateur.

Théorème Si $ H$ est un sous-groupe distingué de $ G$, alors $ G/H$ est abélien si, et seulement si, $ G^{\prime}\subseteq H$.

Démonstration Si $ c=a^{-1}b^{-1}ab$ est un commutateur, alors

$\displaystyle \overline{c}=\overline{a^{-1}}\overline{b^{-1}}\overline{a}\overl...
...
{b}=\overline{a}^{-1}\overline{b}^{-1}\overline{a}\overline{b}=\overline{e}.
$

Il en résulte $ c\in H$ qui prouve $ G^{\prime}\subseteq H$. Réciproquement, si $ G^{\prime}\subseteq H$, alors nous avons pour tout $ \left(
\overline{a},\overline{b}\right) \in G/H\times G/H$

$\displaystyle \overline{a}^{-1}\overline{b}^{-1}\overline{a}\overline{b}=\overl...
...{b^{-1}}\overline{a}\overline{b}=\overline{a^{-1}b^{-1}ab}%%
=\overline{e}%%
$

et par suite $ G/H$ est abélien.

Corollaire Soit $ G'$ le groupe dérivé du goupe $ G$. $ G/G^{\prime}$ est abélien.

Définition On définit, par récurrence, le groupe dérivé d'ordre $ i$ comme étant le groupe dérivé du groupe $ G^{\left(
i-1\right) }$ : $ G^{\left( i\right) }=\left( G^{\left( i-1\right)
}\right) ^{\prime}$. On définit $ G^{\left( 0\right) }$ comme étant le groupe $ G$.

Nous avons :

Théorème Si $ G$ est un groupe résoluble, et si

$\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq\cdot\cdot\cdot\supseteq G_{n}=\left\{
e\right\}
$

est une chaîne normale à facteurs abéliens, alors $ G^{\left(
i\right) }\subseteq G_{i}$ pour $ i=0,1,...,n$.

Démonstration Par récurrence . Si $ i=0$, nous avons $ G_{0}=G=G^{\left( 0\right) }$. Supposons avoir $ G^{\left(
i\right) }\subseteq G_{i}$. Nous avons $ G^{\left( i+1\right) }=\left( G^{\left( i\right) }\right) ^{\prime
}\subseteq G_{i}^{^{\prime}}$. Comme $ G_{i}/G_{i+1}$ est abélien, on a $ G_{i}^{^{\prime}}\subseteq G_{i+1}$ et par suite

$\displaystyle G^{\left( i+1\right) }=\left( G^{\left( i\right) }\right) ^{\prime
}\subseteq G_{i}^{^{\prime}}\subseteq G_{i+1}.
$


Théorème $ G$ est résoluble si, et seulement si, $ G^{\left( n\right) }=\left\{
e\right\} $ pour certains $ n$.

Démonstration Si $ G$ est résoluble et si

$\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq\cdot\cdot\cdot\supseteq G_{n}=\left\{
e\right\}
$

est une chaîne normale à facteurs abéliens, alors $ G^{\left(
n\right) }\subseteq G_{n}=\left\{ e\right\} $, d'où $ G^{\left( n\right) }=\left\{
e\right\} $. Réciproquement, si $ G^{\left( n\right) }=\left\{
e\right\} $ pour un entier naturel $ n$, alors la chaîne

$\displaystyle G=G^{\left( 0\right) }\supseteq G^{\prime}=G^{\left( 1\right) }%%
\supseteq\cdot\cdot\cdot\supseteq G^{\left( n\right) }=\left\{ e\right\}
$

est une chaîne normale à facteurs abéliens car $ G^{\left(
i\right) }/G^{\left( i+1\right) }$ est abélien car $ G^{\left(
i+1\right) }=\left( G^{\left( i\right) }\right) ^{\prime}$. Ainsi $ G$ est résoluble.

Théorème Le groupe alterné $ A_{n}$ n'est pas résoluble pour $ n\geq5$.

Démonstration Nous allons démontrer que $ A_{n}^{^{\prime}}$ contient tous les cycles de longueur 3. Si $ \left( abc\right) $ est un tel cycle, alors

$\displaystyle \left( abc\right) =\left( adc\right) \left( bec\right) \left(
ac...
... bce\right)
^{-1}\left( acd\right) \left( bce\right) \in A_{n}^{^{\prime}}%%
$

$ d$ et $ e$ des éléments distincts et distinct de $ a,b,c$ ($ n\geq5$). Il en résulte que $ A_{n}$, engendré par les cycles de longueur 3, est égal à son groupe dérivé $ A_{n}^{^{\prime}}$. Ceci prouve que $ A_{n}$ n'est pas résoluble pour $ n\geq5$, car son groupe dérivé de n'importe quel ordre est distinct de $ \left\{ i\right\} $.

Corollaire Le groupe symétrique $ S_{n}$ n'est pas résoluble pour $ n\geq5$.

Démonstration Sinon, $ A_{n}$ serait résoluble.

Théorème Le groupe symétrique $ S_{n}$ est résoluble pour $ n\in\left\{ 1,2,3,4\right\} $.

Démonstration Ceci est claire pour $ n=1,2,3$. Pour $ n=4$, nous avons la chaîne

$\displaystyle \left\{ i\right\} \subseteq W\subseteq V\subseteq A_{4}\subseteq S_{4}%%
$

$ V$ est le groupe

$\displaystyle V=\left\{ i,\left( 12\right) \left( 34\right) ,\left( 13\right) \left(
24\right) ,\left( 14\right) \left( 23\right) \right\}
$

et $ W$ est un sous-groupe d'ordre 2 de $ V$. Cette chaîne est normale. La seule vérification à faire est que $ V$ est un sous-groupe distingué de $ A_{4}$. Mais $ V$ est distingué dans $ S_{4}$. Ainsi la chaîne est normale. Les facteurs sont tous d'ordre 2 ou 3, ils sont abéliens. Il en résulte que $ S_{4}$ est résoluble.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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