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Groupe de Galois d'un polynôme

Dans ce chapitre, tous corps considérés sont de caractéristique nulle. Soient $ K$ une corps et $ f$ un polynôme dans $ K[X]$.

Définition On appelle groupe de Galois du polynôme $ f$ sur le corps $ K$ le groupe de Galois $ G(E/K)$$ E$ est un corps des racines pour $ f$ sur $ K$. Il sera noté $ G_{K}\left( f\right) $.

Lemme Soit $ f\in K\left[ X\right] $ et $ M$ une extension de $ K$. Le groupe $ G_{M}\left( f\right) $ est isomorphe à un sous-groupe de $ G_{K}\left( f\right) $.

Démonstration Soit $ N$ un corps des racines pour $ f$ sur $ M$. On a
$ N=M\left(
a_{1},...,a_{n}\right) $ $ a_{1},...,a_{n}$ sont les racines de $ f$ dans $ N$. Le corps $ E=K\left( a_{1},...,a_{n}\right) $ est un corps de racines pour $ f$ sur $ K$. Si $ \sigma\in G\left( N/M\right) $, alors sa restriction à $ E$ est un $ K-$automorphisme de $ E$ car $ E$ est une extension normale de $ K$. Soit $ \varphi;G\left( N/M\right) \longrightarrow
G\left( E/K\right) $ l'application qui associe à chaque $ \sigma\in G\left( N/M\right) $ sa restriction à $ E$. $ \varphi$ est un homomorphisme de groupes. Il est injectif car si $ \varphi\left(
\sigma\right) =id_{E}$, alors $ \sigma\left( a_{i}\right) =a_{i}$ pour tout $ i$. Il en résulte $ \sigma=id_{M}$. Ainsi $ G\left( N/M\right) $ est isomorphe à $ \operatorname{Im}\left( \varphi\right) $ qui est un sous-groupe de $ G\left( E/K\right) $.

Soit $ f\in K\left[ X\right] $ et $ L=K\left( a_{1},...,a_{n}\right) $ un corps des racines pour $ f$ sur $ K$, où $ a_{1},...,a_{n}$ sont les racines de $ f$ dans $ L$. Tout $ \sigma\in G\left( L/K\right) $ permute les racines de $ f$. D'un autre côté, deux $ K-$automorphismes $ \sigma$ et $ \tau$ de $ L$ sont égaux si, et seulement si, $ \sigma\left( a_{i}\right)
=\tau\left( a_{i}\right) $ pour tout $ i$. Ainsi le groupe de Galois de $ f$ peut être regardé comme un sous-groupe de du groupe des permutations de ses racines. Nous avons alors

Lemme Soit $ f\in K\left[ X\right] $. Le groupe de Galois de $ f$ sur $ K$ est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique $ S_{n}$$ n$ est le nombre des racines distinctes de $ f$.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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