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Discriminant

Soit

$\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_{1}x+a_{0}=0
$

l'équation générale de degré $ n$ sur un corps $ K$.

Définition Soit $ P=K\left( a_{0},a_{1},...,a_{n-1}\right) $ et $ R$ un corps des racines sur $ P $ pour le polynôme

$\displaystyle f\left( X\right) =X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_{1}X+a_{0}%%
$

Le groupe de Galois de $ f$ est isomorphe à $ S_{n}$. Soit $ u_{1}%%
,u_{2},...,u_{n}$ les racines de $ f$ dans $ R$. On appelle discriminant de $ f$ l'élément $ D=\Delta^{2}$$ \Delta$ est l'élément $ \prod\limits_{i<j}\left( u_{i}%%
-u_{j}\right) \in R$.

Exemple Le discriminant de l'équation générale de degré 2 sur $ K$ est

$\displaystyle D=\Delta^{2}=\left( u_{0}-u_{1}\right) ^{2}=a_{1}^{2}-4a_{0}%%
$


Théorème $ \sigma\left( \Delta\right) =\pm\Delta$ pour tout $ \sigma\in G\left(
R/P\right) $.

Démonstration Nous avons

$\displaystyle \sigma\left( \Delta\right) =\sigma\left( \prod\limits_{i<j}\left(...
...left( u_{j}\right) \right) =\varepsilon\left(
\sigma\right) \Delta=\pm\Delta
$

$ \varepsilon\left( \sigma\right) $ est la signature de la permutation $ \sigma$.

Corollaire $ \Delta^{2}\in P$.

Démonstration Car $ \sigma\left( \Delta^{2}\right) =\sigma\left( \Delta\right)
^{2}=\Delta^{2}$ pour tout $ \sigma\in G\left(
R/P\right) $.

Théorème Le corps des éléments laissés fixe par le groupe alterné $ A_{n}$ est $ P\left( \Delta\right) $.

Démonstration Soit $ L$ le corps des éléments laissés fixes par $ A_{n}$. Nous avons $ A_{n}=G\left( R/L\right) $. L'extension $ L$ de $ P $ est normale, car $ A_{n}=G\left( R/L\right) $ est un sous-groupe distingué de $ S_{n}=G\left( R/P\right) $. En plus, le groupe de Galois $ G\left(
L/P\right) $ est isomorphe au groupe quotient $ S_{n}/A_{n}$ qui est un groupe d'ordre $ 2 $. Ainsi $ \left[ L:P\right] =2$. L'élément $ \Delta$ est invariant par chaque élément de $ A_{n}$ car $ \sigma\left( \Delta\right) =\pm\Delta$ . Il en résulte $ \Delta\in L$ et $ \left[
P\left( \Delta\right) :P\right] =2$. D'où $ L=P\left( \Delta\right) $.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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