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Equation de degré 3

Cette équation es de la forme

$\displaystyle x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0
$

En posant $ y=x-\dfrac{a_{2}}{3}$, nous obtenons

$\displaystyle x^{3}+px+q=0
$

Le discriminant de cette équation est

$\displaystyle \Delta=-4p^{3}-27q^{2}
$

Son groupe de Galois, identifié à $ S_{3}$, est résoluble et

$\displaystyle S_{3}\supseteq A_{3}\supseteq\left\{ e\right\}
$

est une chaîne normale à facteurs abéliens de $ S_{3}$. Il correspond à cette chaîne par la correspondance de Galois, la chaîne suivante de corps intermédiaires

$\displaystyle P\subseteq P\left( \Delta\right) \subseteq R
$

Le groupe de Galois de l'extension $ R$ de $ P\left( \Delta\right) $ est $ A_{3}$. Mais $ A_{3}$ est un groupe cyclique d'ordre $ 3$. Il est engendré par le cycle $ \left( 123\right) $. Il en résulte que le groupe de Galois $ G\left( R/P\left( \Delta\right) \right) $ est engendré par le $ P\left( \Delta\right) $-automorphisme $ \sigma$ de $ R$ qui vérifie

$\displaystyle \sigma\left( u_{1}\right) =u_{2}$, $\displaystyle \sigma\left( u_{2}\right)
=u_{3}$ et $\displaystyle \sigma\left( u_{3}\right) =u_{1}
$

Ainsi, $ \left[ P\left( \Delta\right) \left( u_{1}\right) :P\left(
\Delta\right) \right] =3$ et $ R=P\left( \Delta\right) \left(
u_{1}\right) =P\left( \Delta,u_{1}\right) $.

On applique la méthode de la résolvante de Lagrange. Nous avons

$\displaystyle \beta_{1}$ $\displaystyle =u_{1}+z\sigma\left( u_{1}\right) +z^{2}\sigma^{2}\left( u_{1}\right) =u_{1}+zu_{2}+z^{2}u_{3}$    
$\displaystyle \beta_{2}$ $\displaystyle =u_{1}+z^{2}u_{2}+zu_{3}$    
$\displaystyle \beta_{3}$ $\displaystyle =u_{1}+u_{2}+u_{3}$    

Un calcul assez complexe nous donne

$\displaystyle \beta_{1}^{3}$ $\displaystyle =\left( u_{1}+zu_{2}+z^{2}u_{3}\right) ^{3}=-\frac{27} {2}q+\frac{3}{2}\sqrt{-3}\Delta$    
$\displaystyle \beta_{2}^{3}$ $\displaystyle =-\frac{27}{2}q-\frac{3}{2}\sqrt{-3}\Delta$    
$\displaystyle \beta_{1}\beta_{2}$ $\displaystyle =-3p$    

Donc, $ u_{1},u_{2},u_{3}$ forment une solution du système linéaire suivant

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}[c]{c}
u_{1}+u_{2}+u_{3}=0\\
u_{1}+...
...}\\
u_{1}+z^{2}u_{2}+zu_{3}=\beta_{2}
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

Pour résoudre ce système, nous devons calculer $ \beta_{1}$ et $ \beta_{2}$. Parmi les solutions possibles, on choisit celle qui vérifie $ \beta_{1}\beta_{2}=-3p$. La résolution du système linéaire nous donne alors

$\displaystyle u_{0}=\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{3}$, $\displaystyle u_{1}=\frac{z^{2}\beta_{1}
+z\beta_{2}}{3}\text{ et }u_{2}=\frac{z\beta_{1}+z^{2}\beta_{2}}{3}
$


Exemple Pour résoudre l'équation de degré 3 suivante

$\displaystyle x^{3}-5x^{2}+19x+25=0
$

on pose $ y=x-\dfrac{5}{3}$. Nous obtenons l'équation suivante

$\displaystyle x^{3}+\frac{32}{3}x+\frac{1280}{27}=0
$

Le discriminant de cette équation est

$\displaystyle \Delta^{2}=-4p^{3}-27q^{2}=-4\left( \frac{32}{3}\right) ^{3}-27\left(
\frac{1280}{27}\right) ^{2}=-65536
$

D'où

$\displaystyle \beta_{1}^{3}=\left( 4\left( \sqrt{3}+1\right) \right) ^{3}$ et $\displaystyle \beta_{2}^{3}=\left( -4\left( \sqrt{3}-1\right) \right) ^{3}
$

et $ \beta_{1}\beta_{2}=-3p=-32$. On en déduit

$\displaystyle \beta_{1}=4\left( \sqrt{3}-1\right)$    et $\displaystyle \beta_{2}=-4\left( \sqrt
{3}+1\right)
$

ce qui donne

$\displaystyle u_{0}$ $\displaystyle =\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{3}=-\frac{8}{3}$    
$\displaystyle u_{1}$ $\displaystyle =\frac{z^{2}\beta_{1}+z\beta_{2}}{3}=\frac{4}{3}-i$    
$\displaystyle u_{2}$ $\displaystyle =\frac{z\beta_{1}+z^{2}\beta_{2}}{3}=\frac{4}{3}+i$    

et

$\displaystyle x_{0}$ $\displaystyle =u_{0}+\frac{5}{3}=-1$    
$\displaystyle x_{1}$ $\displaystyle =u_{1}+\frac{5}{3}=3-4i$    
$\displaystyle x_{2}$ $\displaystyle =u_{2}+\frac{5}{3}=3+4i$    



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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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